1 개요
[math]E=mc^2[/math]
특수상대론에서 도출되는 원리 중 하나. 많은 사람들에게 저 식으로 많이 알려져 있다.
질량과 에너지의 본질은 같다로 이야기할 수 있다. 많은 사람들이 일반 상대성 이론의 질량-에너지 등가 원리를 '질량을 광속으로 가속하면 에너지로 바뀐다'라고 생각하지만, 등가 원리의 정확한 뜻은 질량과 에너지는 똑같은 본질의 다른 형태라는 것뿐이다. 질량과 에너지가 전환하는 예로는 화학 반응이나 핵융합, 핵분열 과정에서 에너지가 출입하는 것을 들 수 있다. 이 때문에 핵 발전은 적은 질량의 연료로도 많은 에너지를 방출할 수 있다. 이를 당연한 상식으로 여기는 핵물리에서는 에너지와 질량의 단위를 구분하지 않는다.
특수상대성이론에서 가정하고 있는 광속 c는 299,792,458m/s니까 1g의 질량이 완전히 에너지로 전환될 경우 89,875,517,900,000J(89조!)이라는 말도 안되는 에너지가 방출되게 된다. 즉 "1g의 질량"과 "89,875,517,900,000J의 에너지"는 같은 대상을 서로 다르게 표현한 것이라 할 수 있다. 이 에너지는 0℃물 약 22만톤을 100℃까지 가열시킬 수 있는 에너지다. 22만톤이면 대략 한변의 길이가 60,36m인 정육면체에 담긴 물의 무게와 같다.(1톤=1㎥의 물)
2 도출 과정
2.1 로런츠 불변성
- 같이 보기 : 상대론적 역학
위 상대론적 역학 링크에서는 로런츠 불변성과 연관지어 설명되어 있다. 상대론적 운동량과 에너지는 다음과 같이 써진다.
[math]p=\gamma mv,\ E=\gamma mc^2[/math] ([math]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} } })[/math]
그런데, 테일러 전개라는 미적분학의 매우 간단한 기술을 사용하면 상대론적 에너지를 아래와 같이 쓸 수 있다.[1]
[math]E=mc^2+(\gamma -1) mc^2 = mc^2 + mc^2 \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot (2n-1)}{2^n \cdot n!} (\frac{v^2 }{c^2})^k = [/math][math]mc^2[/math][math]+\frac{1}{2}mv^2[/math] [math] +\frac{3}{8} m \frac{v^4}{c^2} + \cdot \cdot \cdot \approx [/math] [math]mc^2[/math][math]+\frac{1}{2}mv^2[/math] (근사 식은 충분히 작은 속력)
두 번째 항은 고전물리학에서 나타난 운동에너지이다. 위 상대론적 에너지는 느린 속력에서 고전물리학을 근사적으로 쓸 수 있음을 말한다. 첫 번째 항은 속력이 0일 때 나오는 항이다. 속력이 0일 때 운동에너지도 0이어야 한다. 이 항이 바로 질량 자체가 가진 에너지이다.
2.2 가상 실험
그런데 이 로런츠 불변성을 이용한 설명 외에 다른 방법이 있다. 시간 지연, 길이 수축에서 달리는 열차 모형을 도입하여 도출하는 방법이 나와 있다. 이와 비슷하게, 질량과 에너지의 정량적 관계를 계산하는 모형을 세울 수 있다. 출처
파일:E=mc^2 모형.png
- (1) 위 그림에서 상자의 왼쪽 벽에서 질량([math]m[/math]) 결손[2]으로 에너지가 발생한다.
- 그 에너지가 전부 빛의 형태로 나온다고 가정한다. 빛을 가정하는 것은 운동량과 에너지의 관계식이 명확히 주어져 있기 때문이다. [math]E=pc[/math]
- 빛의 일부는 벽에 반사하면서 상자에게 왼쪽으로 운동량 [math]p[/math]를 가한다.
- 이 때 상자의 질량 [math]M[/math]은 충분히 크다고 가정한다. 질량을 크게 잡음으로써 충분히 느린 속도 [math]v[/math]에서 고전적인 운동량의 식 [math]p=Mv[/math]를 쓸 수 있도록 한다. 또한 상자로 전달되는 에너지도 작아져서 빛의 에너지 손실도 충분히 줄일 수 있다.[3]
- (2) 빛이 반대편 벽으로 움직인다. 이 때 빛이 [math]X[/math]를 움직이는 사이 상자는 반대쪽으로 [math]\Delta x[/math]만큼 움직인다고 잡는다.
- (3) 빛이 모여서 에너지가 다시 질량 형태로 생겨나고 상자는 다시 멈춘다. 외부로 나오는 에너지 손실은 없다고 가정한다.
이 상황에서 운동량과 소요시간 관계식을 세울 수 있다.
[math]E=pc=Mcv[/math]
[math]\displaystyle \Delta t={X\over c}={\Delta x \over v}[/math]
또한 계에서의 운동량 총합은 0으로 일정하다. 처음과 끝에서 상자와 입자가 모두 정지해 있기 때문이다. 따라서 질량중심의 위치는 변하지 않는다.([math]x_1,\ x_2[/math]는 상자의 질량중심과 입자의 처음 위치)
[math]\displaystyle \frac{Mx_1+mx_2}{M+m}=\frac{M(x_1-\Delta x)+m(x_2+X)}{M+m}[/math]
이 식을 이항하면 [math]M\Delta x=mX[/math]가 되고, 여기에 두번째 식을 대입하면 [math]Mv=mc[/math]가 된다. 양변에 [math]c[/math]를 곱하고 첫번째 식을 대입하면 [math]E=mc^2[/math]을 이끌어낼 수 있다.