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푸리에 변환

영어: Fourrier Transformation

1 정의

함수 h(x)에 대해 F[h]라는 함수를

F[h](t)=e2πitxh(x)dx

(적분구간은 [,], i는 허수 단위)로 정의하고, 위 변환 F를 푸리에 변환이라 정의한다. [1]

역시 위의 식을 언제 정의할 수 있는지가 문제가 된다. 예를 들어 위에서 h(x)=1인 경우는 적분이 전혀 의미가 없다. 따라서 보통 변환의 정의역과 공역을 먼저 정해준다. [2] 자주 쓰이는 정의역과 공역의 조합은 (정의역공역) L1L,L2L2,SS 등이 있다. 여기서 Lp 공간은 적분 |h(x)|p가 존재하는 함수들의 공간, L는 유계함수들의 공간, S슈바르츠 공간(Schwartz space)으로 모든 도함수들이 (x가 커짐에 따라) 빠르게 감소하는 공간이다.

2 다른 적분변환과의 관계

이 푸리에 변환은 라플라스 변환과 매우 비슷하다. 당장 위의 tis를 넣어보시라. 함수의 미분은 푸리에 변환을 하면 변수와의 곱이 되고, 곱은 합성곱(컨볼루션, convolution)으로 옮겨진다. 따라서 미분방정식의 라플라스 변환 풀이는 그대로 푸리에 변환 풀이로 고칠 수 있다. 하지만 라플라스 변환보다 훨씬 좋은 점은, 보다 넓은 범위에서 정의되고, 역변환이 매우 쉽다는 것이다. 아니 자기 자신이 그냥 역변환이다! 엄밀하게는 F2h(t)=F[F[h]](t)=h(t)가 성립. [3]

3 역변환

푸리에 변환의 역변환 F1[g](x)=e2πitxg(t)dt에서 g=F[h]로 놓으면 h(x)=e2πitxF[h]dt가 되고, 이는 h(x)를 지수함수 e2πitx 들의 '연속적 일차결합'으로 나타낼 수 있다는 의미이다. 이러한 취지에서 푸리에 급수와 푸리에 변환을 같이 묶어 푸리에 해석이라 말할 수 있는 것.

4 Fast Fourier Transform

Fast Fourier Transform (FFT) 는 한국어로 '고속 푸리에 변환' 이라고 번역된다.

이산적인 n 개의 데이터가 주어질 때 이를 O(nlogn)의 연산량만으로 빠르게 푸리에 변환할 수 있다. 1965년에 쿨리와 튜키가 개발하여 쿨리-튜키 알고리즘이란 이름으로 많이 사용되지만, 이미 이전에 여러 번 다른 수학자들에 의해 독립적으로 발견되었다가 잊혀져 왔으며, 거슬러 올라가면 카를 프리드리히 가우스조차도 유사한 방법을 개발하여 사용하였다고 한다. 괜히 수학의 신이라 불리는 게 아니다. 그 외에도 여러가지 다른 방법의 알고리즘이 다양한 수학자들에 의해서 발견되었다.

5 응용

전자기파주파수 같은 것이 들어 가는 분야라면 거의 필수적으로 사용된다.

MP3 같은 음악 압축 알고리즘에서도 사용된다. MP3 의 압축 기법중에는 FFT 변환해서 사람이 듣기 힘든 고음역이나 저음역을 날려 버려서 데이터 양을 줄이는 방법이 포함되어 있다.

MRI의 영상 구성 원리는 수소원자와 자기장에 대한 물리학적인 지식이 기본인데, 얻은 데이터를 처리하는 과정에서 k-space라는 가상공간을 사용한다. 푸리에 변환이 정보처리 과정에서 사용된다. MRI 영상 만드는데 많이 사용되는 변환은 sinc 함수의 변환이 사각파라는 것이다.
  1. 이동 주의: 푸리에변환을 eitxh(x)dx로 정의하는 수학자들도 있다. 역시 절반 정도의 비율.
  2. 이동 마치 역삼각함수의 정의역 공역 정하는 걸 생각해 보면 되겠다.
  3. 이동 주의: 앞에서 말한 eitxdx를 사용하는 다른 버전에서는 이렇게 두번 합성을 하면 상수 2π가 붙는다. 이것을 해결하기 위해 푸리에 변환과 역변환 모두에 1/2π를 곱해주거나, 역변환만 1/2π 배를 해주는 서로 다른 관습이 있다.