푸리에 변환

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영어: Fourrier Transformation

1 정의

함수 [math]h\left(x\right)[/math]에 대해 [math]F\left[h\right][/math]라는 함수를

[math]F\left[h\right]\left(t\right) = \int e^{-2 \pi itx} h\left(x\right) dx[/math]

(적분구간은 [math]\left[-\infty,\infty\right][/math], [math]i[/math]는 허수 단위)로 정의하고, 위 변환 [math]F[/math]를 푸리에 변환이라 정의한다.

역시 위의 식을 언제 정의할 수 있는지가 문제가 된다. 예를 들어 위에서 [math]h\left(x\right)=1[/math]인 경우는 적분이 전혀 의미가 없다. 따라서 보통 변환의 정의역과 공역을 먼저 정해준다. 자주 쓰이는 정의역과 공역의 조합은 (정의역[math]\rightarrow[/math]공역) [math]L^{1} \rightarrow L^{\infty} , L^{2} \rightarrow L^{2} , S \rightarrow S [/math] 등이 있다. 여기서 [math]L^{p}[/math] 공간은 적분 [math]\int |h\left(x\right)|^p[/math]가 존재하는 함수들의 공간, [math]L^\infty[/math]는 유계함수들의 공간, [math]S[/math]는 슈바르츠 공간(Schwartz space)으로 모든 도함수들이 ([math]x[/math]가 커짐에 따라) 빠르게 감소하는 공간이다.

2 다른 적분변환과의 관계

이 푸리에 변환은 라플라스 변환과 매우 비슷하다. 당장 위의 [math]t[/math]에 [math]is[/math]를 넣어보시라. 함수의 미분은 푸리에 변환을 하면 변수와의 곱이 되고, 곱은 합성곱(컨볼루션, convolution)으로 옮겨진다. 따라서 미분방정식의 라플라스 변환 풀이는 그대로 푸리에 변환 풀이로 고칠 수 있다. 하지만 라플라스 변환보다 훨씬 좋은 점은, 보다 넓은 범위에서 정의되고, 역변환이 매우 쉽다는 것이다. 아니 자기 자신이 그냥 역변환이다! 엄밀하게는 [math]F^{2} h\left(t\right) = F\left[F\left[h\right]\right]\left(t\right) = h\left(-t\right)[/math]가 성립.

3 역변환

푸리에 변환의 역변환 [math]F^{-1} \left[g\right]\left(x\right) = \int e^{2\pi itx} g\left(t\right) dt[/math]에서 [math]g = F\left[h\right][/math]로 놓으면 [math]h\left(x\right) = \int e^{2\pi itx} F\left[h\right] dt[/math]가 되고, 이는 [math]h\left(x\right)[/math]를 지수함수 [math]e^{2\pi itx}[/math] 들의 '연속적 일차결합'으로 나타낼 수 있다는 의미이다. 이러한 취지에서 푸리에 급수와 푸리에 변환을 같이 묶어 푸리에 해석이라 말할 수 있는 것.

4 Fast Fourier Transform

Fast Fourier Transform (FFT) 는 한국어로 '고속 푸리에 변환' 이라고 번역된다.

이산적인 [math] n [/math] 개의 데이터가 주어질 때 이를 [math] \mathcal{O}(n \log n) [/math]의 연산량만으로 빠르게 푸리에 변환할 수 있다. 1965년에 쿨리와 튜키가 개발하여 쿨리-튜키 알고리즘이란 이름으로 많이 사용되지만, 이미 이전에 여러 번 다른 수학자들에 의해 독립적으로 발견되었다가 잊혀져 왔으며, 거슬러 올라가면 카를 프리드리히 가우스조차도 유사한 방법을 개발하여 사용하였다고 한다. 괜히 수학의 신이라 불리는 게 아니다. 그 외에도 여러가지 다른 방법의 알고리즘이 다양한 수학자들에 의해서 발견되었다.

5 응용

전자기파나 주파수 같은 것이 들어 가는 분야라면 거의 필수적으로 사용된다.

MP3 같은 음악 압축 알고리즘에서도 사용된다. MP3 의 압축 기법중에는 FFT 변환해서 사람이 듣기 힘든 고음역이나 저음역을 날려 버려서 데이터 양을 줄이는 방법이 포함되어 있다.

MRI의 영상 구성 원리는 수소원자와 자기장에 대한 물리학적인 지식이 기본인데, 얻은 데이터를 처리하는 과정에서 k-space라는 가상공간을 사용한다. 푸리에 변환이 정보처리 과정에서 사용된다. MRI 영상 만드는데 많이 사용되는 변환은 sinc 함수의 변환이 사각파라는 것이다.