롤의 정리

• 관련 항목 : 수학 관련 정보

Rolle's Theorem
이 롤이 아니다

1 개요

미분 가능한 함수에 대한 정리로 12세기 인도의 바스카라에 의해 처음 발견되어 17세기 미셸 롤(Rolle)에 의해 처음으로 증명되었다. 미분 가능한 함수에서 같은 함수 값을 가지는 두 점 $$a$$ , $$b$$ 가 있을 때 구간 $$\left(a,b\right)$$ 에서 접선의 기울기(= 미분계수)가 $$0$$ 이 되는 점이 적어도 하나 있다는 내용을 담는다. 즉 더욱 엄밀하게 설명하면 다음과 같다.

함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$ 가

1) 닫힌구간 $$\left[a,b\right]$$ 에서 연속이고
2) 열린구간 $$\left(a,b\right)$$ 에서 미분가능하며
3) $$f\left(a\right)=f\left(b\right)$$ 이면,
$$f'\left(c\right)=0$$ 을 만족하는 $$c\in\left(a,b\right)$$ 가 존재한다.

이를 기하학적으로 보면 이렇다. 함수 $$f\left(x\right)$$ 가 닫힌구간 $$\left[a,b\right]$$ 에서 연속이고 열린구간 $$\left(a,b\right)$$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $$y=f\left(x\right) \left(a\leq x\leq b \right)$$ 에서 접선의 기울기가 $$0$$ 이 되는 점 $$\left(c,f\left(c\right)\right)$$ 가 적어도 1개 존재한다.

2 증명

 1. 함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$ 가 상수함수일 경우, 임의의 $$x\in \left(a, b\right)$$ 에 대해 $$f'\left(x\right)=0$$ 이다.
따라서 $$f'\left(c\right)=0$$ 을 만족하는 $$c\in\left(a,b\right)$$ 가 존재한다.
 1. 함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$ 가 상수함수가 아닐 경우, $$f\left(a\right)=f\left(b\right)\ne f\left(x\right)$$ 인 $$x\in \left(a, b\right)$$ 가 존재한다. 그런데 $$f$$ 는 닫힌구간 $$\left[a,b\right]$$ 에서 연속이므로 최대·최소의 정리에 의해 이 구간내에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 $$f\left(a\right)=f\left(b\right)\lt f\left(x\right)$$ 인 $$x\in \left(a, b\right)$$ 가 존재한다고 하자. 그러면 $$f$$ 는 열린구간 $$\left(a, b\right)$$ 에서 최댓값을 가져야 한다. $$x=c$$ 에서 최댓값 $$f\left(c\right)$$ 를 가진다고 하면, 임의의 $$x\in \left[a, b\right]$$ 에 대해 $$\displaystyle f\left(x\right)-f\left(c\right)\leq 0$$ 이다. 그러면 다음이 성립한다.
$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c+}\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\leq0 \, \,\,\,\, \displaystyle \lim_{x\rightarrow c-}\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\geq0$$
그런데 $$x=c$$ 에서 $$f$$ 는 미분가능하므로 두 값이 같아야 한다. 따라서 $$f'\left(c\right)=0$$

3 활용

롤의 정리를 일반화하면 평균값의 정리로 나타낼 수 있다. 정확히 말하면 평균값의 정리를 미분계수가 0인 경우에 한정한 특별한 경우가 롤의 정리라고 할 수 있다.

롤의 정리를 이용하여 로피탈의 정리를 증명할 수 있다.