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롤의 정리

Rolle's Theorem
이 아니다

1 개요

미분 가능한 함수에 대한 정리로 12세기 인도의 바스카라에 의해 처음 발견되어 17세기 미셸 롤(Rolle)에 의해 처음으로 증명되었다. 미분 가능한 함수에서 같은 함수 값을 가지는 두 점 a, b가 있을 때 구간 (a,b)에서 접선의 기울기(= 미분계수)가 0이 되는 점이 적어도 하나 있다는 내용을 담는다. 즉 더욱 엄밀하게 설명하면 다음과 같다.

함수 f:[a,b]R

1) 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고
2) 열린구간 (a,b)에서 미분가능하며
3) f(a)=f(b)이면,
f(c)=0을 만족하는 c(a,b)가 존재한다.

이를 기하학적으로 보면 이렇다. 함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 열린구간(a,b)에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)(axb)에서 접선의 기울기가 0이 되는 점 (c,f(c))가 적어도 1개 존재한다.

2 증명

 1. 함수 f:[a,b]R가 상수함수일 경우, 임의의 x(a,b)에 대해 f(x)=0이다.
따라서 f(c)=0을 만족하는 c(a,b)가 존재한다.
 1. 함수 f:[a,b]R가 상수함수가 아닐 경우, f(a)=f(b)f(x)x(a,b)가 존재한다. 그런데 f는 닫힌구간 [a,b]에서 연속이므로 최대·최소의 정리에 의해 이 구간내에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 f(a)=f(b)<f(x)x(a,b)가 존재한다고 하자.[1] 그러면 f는 열린구간 (a,b)에서 최댓값을 가져야 한다. x=c에서 최댓값 f(c)를 가진다고 하면, 임의의 x[a,b]에 대해 f(x)f(c)0이다. 그러면 다음이 성립한다.
lim
그런데 x=c에서 f는 미분가능하므로 두 값이 같아야 한다. 따라서 f'\left(c\right)=0

3 활용

롤의 정리를 일반화하면 평균값의 정리[2]로 나타낼 수 있다. 정확히 말하면 평균값의 정리를 미분계수가 0인 경우에 한정한 특별한 경우가 롤의 정리라고 할 수 있다.

롤의 정리를 이용하여 로피탈의 정리를 증명할 수 있다.
  1. 이동 f\left(a\right)=f\left(b\right)\gt f\left(x\right)x\in \left(a, b\right)가 존재하는 경우는 최솟값을 이용해 증명할 수 있다.
  2. 이동 미분가능할 때 평균변화율=미분계수 일때가 적어도 하나이상