롤의 정리

Rolle's Theorem
이 롤이 아니다

1 개요

미분 가능한 함수에 대한 정리로 12세기 인도의 바스카라에 의해 처음 발견되어 17세기 미셸 롤(Rolle)에 의해 처음으로 증명되었다. 미분 가능한 함수에서 같은 함수 값을 가지는 두 점 [math]a[/math], [math]b[/math]가 있을 때 구간 [math]\left(a,b\right)[/math]에서 접선의 기울기(= 미분계수)가 [math]0[/math]이 되는 점이 적어도 하나 있다는 내용을 담는다. 즉 더욱 엄밀하게 설명하면 다음과 같다.

함수 [math]f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R[/math]가

1) 닫힌구간 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이고
2) 열린구간 [math]\left(a,b\right)[/math]에서 미분가능하며
3) [math]f\left(a\right)=f\left(b\right)[/math]이면,
[math]f'\left(c\right)=0[/math]을 만족하는 [math]c\in\left(a,b\right)[/math]가 존재한다.

이를 기하학적으로 보면 이렇다. 함수 [math]f\left(x\right)[/math]가 닫힌구간 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이고 열린구간[math]\left(a,b\right)[/math]에서 미분가능할 때, 곡선 [math]y=f\left(x\right) \left(a\leq x\leq b \right) [/math]에서 접선의 기울기가 [math]0[/math]이 되는 점 [math]\left(c,f\left(c\right)\right)[/math]가 적어도 1개 존재한다.

2 증명

 1. 함수 [math]f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R[/math]가 상수함수일 경우, 임의의 [math]x\in \left(a, b\right)[/math]에 대해 [math]f'\left(x\right)=0[/math]이다.
따라서 [math]f'\left(c\right)=0[/math]을 만족하는 [math]c\in\left(a,b\right)[/math]가 존재한다.
 1. 함수 [math]f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R[/math]가 상수함수가 아닐 경우, [math]f\left(a\right)=f\left(b\right)\ne f\left(x\right)[/math]인 [math]x\in \left(a, b\right)[/math]가 존재한다. 그런데 [math]f[/math]는 닫힌구간 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이므로 최대·최소의 정리에 의해 이 구간내에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 [math]f\left(a\right)=f\left(b\right)\lt f\left(x\right)[/math]인 [math]x\in \left(a, b\right)[/math]가 존재한다고 하자.[1] 그러면 [math]f[/math]는 열린구간 [math]\left(a, b\right)[/math]에서 최댓값을 가져야 한다. [math]x=c[/math]에서 최댓값 [math]f\left(c\right)[/math]를 가진다고 하면, 임의의 [math]x\in \left[a, b\right][/math]에 대해 [math]\displaystyle f\left(x\right)-f\left(c\right)\leq 0[/math]이다. 그러면 다음이 성립한다.
[math]\displaystyle \lim_{x\rightarrow c+}\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\leq0 \, \,\,\,\, \displaystyle \lim_{x\rightarrow c-}\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}\geq0[/math]
그런데 [math]x=c[/math]에서 [math]f[/math]는 미분가능하므로 두 값이 같아야 한다. 따라서 [math]f'\left(c\right)=0[/math]

3 활용

롤의 정리를 일반화하면 평균값의 정리[2]로 나타낼 수 있다. 정확히 말하면 평균값의 정리를 미분계수가 0인 경우에 한정한 특별한 경우가 롤의 정리라고 할 수 있다.

롤의 정리를 이용하여 로피탈의 정리를 증명할 수 있다.
  1. ↑ [math]f\left(a\right)=f\left(b\right)\gt f\left(x\right)[/math]인 [math]x\in \left(a, b\right)[/math]가 존재하는 경우는 최솟값을 이용해 증명할 수 있다.
  2. ↑ 미분가능할 때 평균변화율=미분계수 일때가 적어도 하나이상