로피탈의 정리

1 개요

두 함수 [math] f\left(x\right) [/math] 와 [math] g\left(x\right) [/math] 모두
1) [math] c [/math] 를 포함하는 열린 구간 [math] I [/math] 에서 연속이고 미분 가능하며 (단, 한 점 [math] c [/math]에서만 미분 불가/불연속이어도 무방)
2) [math]\displaystyle \lim_{x \to c} f\left(x\right) = \lim_{x \to c} g\left(x\right) = 0 \text { or } \pm\infty [/math] 이고
3) [math]\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}[/math] 가 존재하며
4) [math]c[/math] 를 제외한 열린 구간 [math]I[/math] 의 모든 점 [math]x[/math]에서 [math] g'\left(x\right) \ne 0 [/math] 이면

[math]\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \lim_{x \to c} \frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}[/math]

l'Hôpital[1]'s rule. #

2 내막

사실 스위스의 수학자 가문인 베르누이 가문[2]의 요한 베르누이가 발견한 것인데, 이를 프랑스의 수학자 로피탈이 자신의 책에 내놓아서 다른 사람 이름이 붙어 버린 것이다. 때문에 이 정리의 이름을 베르누이에게 돌려 줘야 한다는 의견도 많다. 이렇게 된 이유는 로피탈이 요한 베르누이의 얼치기 제자로 친분이 있는 상태에서 아래와 같은 계약을 했기 때문. [3]

친애하는 요한에게 -

우리는 서로에게 필요한 존재인 것 같소.

나는 당신의 지적인 재능이 필요하고 당신은 나의 재정적 도움이 필요하지요, 그래서 이렇게 제안하오.

나는 올해 연금으로 300리브르를 지급하고, 당신이 내게 보낸 여러 잡지의 대가로 200리브르를 더 내겠소. 나는 당신의 모든 시간을 나에게 바치기를 바라는 것은 아니고, 어떤 의문이나 문제가 생길때마다 약간의 시간만을 내주기를 원하는 것이오,

나는 당신이 새롭게 발견한 사실들에 대하여는 다른 사람에게 알리지 말고 나에게만 알려주기를 바라겠소. 특히 당신이 나에게 보낸 내용의 복사본을 다른 사람에게는 보내지 말 것을 요구하오. 나는 그것들이 세상에 알려지는 것을 원치 않소.

이후 로피탈이 죽을 때까지 요한은 자신의 발견을 자신의 발견이라고 부를 수 없는 처지. 로피탈은 아주 자랑스럽게 책을 냈고, 이 정리로 명성을 얻었다. 책에 '그들의 발견을 자유롭게 사용하였으므로 무엇이든지 자신의 소유라고 주장하는 것은 다시 돌려줄 것이다'라는 포기선언이 있었지만... 실제로 요한은 로피탈이 책에 쓴대로 자기가 이 정리를 발견했다고 날뛰며 로피탈을 남의 재능으로 돈벌이나 하는 놈이라며 신나게 씹었는데 위의 편지에서 보듯이 사실 재능을 가지고 돈벌이를 한 사람은 요한 본인이다. 요한은 이 일이 사무쳤는지 약 50년 후에 자신의 연구를 모아서 본인의 이름으로 책을 냈다.

하지만 이 공식이 대학생도 아닌 고등학생 사이에서 아주 유명한 이유는...

3 대 수능 결전병기

갓피탈

고교 미적분과 대학 초급 미적분의 궁극의 해결책 중 하나이자 MAX 초필살기,MAX2.. 큰 힘에는 큰 책임이 따른다.학교대사전에는 대부분의 고교 수학을 분쇄할 수 있는 궁극병기로 소개되어 있다. 사용시 강력한 위력을 발휘하지만, 너무 자주 애용할 경우 사용자를 타락(?) 시키고 마침내 수능날 파멸에 이르게 하는 마검. 아래에서도 설명되어 있지만 평가원도 바보가 아니라서 교육과정 상의 풀이를 이용하지 않고 로피탈을 사용하면 계산과정이 더 복잡하고 길어지도록 하는 경우도 많다. 이과쪽 수학문제에서 이게 심하다. 삼각함수부분에서는 로피탈썼다가 피보는 상황이 꽤 많이 나온다. 삼각함수나 자연로그같은 경우는 선형근사를 이용하여 푸는게 훨씬 빠르다.

어떤 수학식을 발견하여 이를 배워야 하는 학생들에게 욕을 먹는 가우스나 뉴턴, 라이프니츠(각각 가우스 기호와 미분) 등의 수학자들과는 달리, 로피탈만은 이 정리 하나로 학생들에게 존경받고 있다.

많은 수험생이 애용하고 있으며 대다수 수학교사들이 수업 중 적어도 한번씩은 언급함에도 불구하고 로피탈의 정리는 교과과정에 속해있지 않다. 왜냐하면 고등학교 수학 수준으로는 로피탈의 정리를 증명할 수 없기 때문이다.[4][5] 따라서 서술형이나 논술에서 풀이과정을 적을 때 로피탈의 정리를 쓰면 그 부분은 틀린 것으로 처리한다. 특히 논술을 노리고 있다면 로피탈을 쓰지 않고 문제를 해결하려는 연습이 많이 필요하다. 수능에서는 몇몇 대(對) 로피탈 저격문제만 어찌어찌 피해가면 여전히 유용한 도구임은 분명하지만,[6] 논술을 노리는 학생이 로피탈에 익숙해지는건 영락없이 마검에 타락한 아서스가 되는 길이다. 도저히 로피탈을 안쓰고는 견딜 수 없다면, 로피탈의 정리의 증명 과정을 외워서 마검을 스스로 극복(...)하여야 한다. 무슨 판타지 설명 같지만, 진짜로 진지하게 이렇게 하여야 한다 논술에서는 학생이 스스로 증명하는 경우에 한하여, 로피탈을 가지고 감점하지는 않는다. 증명 과정이 궁금하면 대학 초급 해석학 교재를 찾아보자.[7]

고등학교 참고서 중에서는 홍성대가 최초로 수학의 정석 시리즈에서 '교과과정 밖이지만 쓰면 유용한 도구'로 이 정리를 소개했고 최근에는 많은 참고서 내에서도 교과 내용 외라는 조건을 달아줘서 나오는 편.

문과 학생이라면 로피탈의 정리를 배울 때 유리함수, 무리함수, 그리고 합성함수의 미분법 정도는 알아 두는 것도 좋다. 단순 계산 문제는 그냥 풀 수 있고, 좀 더 난이도가 있는 문제도 훨씬 수월하고 볼 수 있는 경우가 많다.

그러나 미국에서는 학교에서 로피탈을 가르쳐주는데다 시험에서 쓰면 유용하다고 배우기까지 한다. 일단 대부분의 미적 교과서에 짤막하게나마 나오는 내용이기도 하고 실제 AP과정에서 가르쳐 주기까지 한다. 사용 금지하는 것은 아니니 짚고는 넘어가는 듯.

어쨌든 객관식이나 단답형 주관식을 풀 때는 매우 강력한 도구이다. 수능문제건 뭐건 로피탈을 썼을 때 더 쉽게 구할 수 있겠다 싶으면 바로 위아래 미분 때려버리자. 그러나 이는 어디까지나 수리 나형, 또는 가형의 기초적인 문제까지고, 그 이상의 문제에서도 이렇게 기계적으로 문제를 풀면 큰일나는 수가 있다. 평가원에선 로피탈의 정리의 위력과, 그 정리가 고등학교 교육과정에선 나오지 않는다는 것, 그리고 로피탈의 정리를 허용하는 것은 수학적 능력을 측정하는 시험이 아니라 그냥 단순한 계산뻘짓이 된다는 것을 진작에 알고 있기 때문이다. 그래서 심화미적에서는 흔히 로피탈의 정리를 쓰는 것보다 원리대로 푸는 것이 더 쉽거나, 오히려 로피탈의 정리를 쓰면 더 꼬이는 문제가 많다. 하지만, 미분한다고 수렴할 값이 발산하진 않는다. 아례의 예시가 이전까지 미분하면 발산하게 된다고 잘못 알려진 예시로, 울프럼알파를 통한 수식계산시, 발산하지 않음을 볼 수 있다.

다음은 2010학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 가형 27번문제이다.

파일:= utf-8 B QkNwYThWRS53NDgwLnBuZw== =.jpg
[math]{\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{e^{1-\sin x}-e^{1-\tan x}}{\tan x-\sin x}={\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{e\left(e^{\tan x}-e^{\sin x}\cos^{3}x\right)\sec^{3}x}{\sec^{2}x-\cos x}[/math]
[math]={\displaystyle \lim_{x\to0}}\frac{e^{-\sin x-\tan x+1}\cos^{2}x\left(e^{\tan x}-e^{\sin x}\sec^{6}x+e^{\tan x}\tan x\sec x+2e^{\sin x}\tan x\sec^{4}x\right)}{2\tan x\sec^{2}x+\sin x}[/math]
미분했을 때 나오는 식. 정답은 여기로.[8]
[9] [10]
위와 같은 문제는 주어진 식을 미분계수의 정의식이 나오도록 변형해서 푸는 문제가 많은데, 이 방법이 충분히 익숙해졌다면 실제로 이 방법으로 푸는 게 로피탈의 정리를 사용해서 푸는 것보다 결코 더 어렵지 않은 것을 느낄 수 있다. 아니 오히려 아까 말했듯이 로피탈의 정리를 쓰면 오히려 꼬여 버리는 수가 있기 때문에 더 안전하다.

그러니 로피탈을 쓸 때는 조심하는 것이 좋다. 학원 선생님들도 로피탈의 제대로 된 언급을 피할때가 종종 있으며 겉핥기 지식으로 로피탈을 썼다간 위의 27번 문제처럼 심히 골룸해지는 상황이 연출 될 수 있다.

삼각함수의 경우는 테일러 급수를 사용하는 편이 훨신 쉽다. 영국 수리영역 2006년 6번 문제가 대표적인데 [math]p[/math]를 상수라 하고 [math]n[/math]을 변수로 놓을 때 [math]\frac{p^{2}}{4n\tan\left(\pi/n\right)}[/math]와 [math]\frac{p^{2}\pi}{\left(2n\tan\left(\pi/n\right)\right)^{2}}[/math]의 극한값을 구하는 문제였다. [11] 로피탈로 풀 수 있긴 하지만... 로피탈의 정리를 무턱대고 썼다간 바로 틀려버리거나 생각을 해놓고 쓴다 해도 시간이 많이 낭비됨을 알 수 있다. 급수전개하면 그냥 쉽게 풀리는 문제다. 답은 [math]\displaystyle \frac{p^2}{4\pi}[/math]. 다만 이 문제는 삼각함수의 극한을 이용해서 바로 풀 수 있는 문제이기도 하다. n을 1/n으로 바꾸고 1/n이 0으로 접근하게 하면 삼각함수의 극한의 정의를 이용해서 풀 수 있기 때문.

다만 미분과 적분이 더럽게 많이 나오는 편입 수학에서는 필수요소. 수능때와 달리 아무 생각도 하지 않고 로피탈 정리를 하면 된다.

4 증명

1. [math]x\rightarrow a^{-} [/math]일 때 [math]\displaystyle {0\over 0}[/math] 꼴인 경우[12]

[math]\displaystyle \lim_{x\to a-}f\left(x\right)=\lim_{x\to a-}g\left(x\right)=0[/math]이고, 함수 [math]f, g[/math]는 적당한 열린 구간 [math]\left(a-d, a\right)[/math]에서 미분가능하며(d>0), 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 [math]g'\left(x\right)\neq 0[/math]라고 하자. 또한 [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L[/math]이 성립한다고 하자.

함수 [math]f^* ,g^*[/math]를 구간 [math]\left(a-d, a\right)[/math]에서는 각각 함숫값이 [math]f, g[/math]와 같고, 점 [math]a[/math]에서는 함숫값이 0이 되도록 정의한다. 그리고 [math]x[/math]가 구간 [math]\left(a-d, a\right)[/math]의 원소라 할 때, 다음과 같은 t의 함수를 정의한다.

[math]F\left(t\right)=f\left(x\right)g^*\left(t\right)-g\left(x\right)f^*\left(t\right)[/math]

그러면 [math]F\left(t\right)[/math]는 닫힌 구간 [math]\left[x, a\right][/math]에서 연속이고, 열린 구간 [math]\left(x, a\right)[/math]에서 미분가능하며, [math]F\left(x\right)=F\left(a\right)=0[/math]이다. 따라서 롤의 정리에 의하여 [math]F'\left(c\right)=0[/math]인 [math]c\in \left(x, a\right)[/math]가 존재한다. 즉, [math]f\left(x\right)g'\left(c\right)-g\left(x\right)f'\left(c\right)=0[/math]이 성립한다. 가정에 의하여 [math]g\left(x\right)\neq 0, g'\left(c\right)\neq 0[/math]이므로 다음이 성립함을 알 수 있다.

[math]\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}[/math]

한편, [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L[/math]이므로 임의의 양수 [math]\varepsilon[/math]에 대하여 양수 [math]\delta\left(\varepsilon\right)[/math]이 존재하여 [math]a-\delta\left(\varepsilon\right)\ltx\lta[/math]인 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 [math]\displaystyle \left|\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}-L\right|\lt\varepsilon[/math]이 성립한다. 그러면 [math]x\ltc\lta[/math]이므로, [math]a-\delta\left(\varepsilon\right)\ltx\lta[/math]인 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 다음이 성립한다.

[math]\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|=\left|\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}-L\right|\lt\varepsilon[/math]

따라서 [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L[/math]이다.


2. [math]x\rightarrow \infty [/math]일 때 [math]\displaystyle {0\over 0}[/math] 꼴인 경우

[math]\displaystyle \lim_{x\to \infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to \infty}g\left(x\right)=0[/math]이고, 함수 [math]f, g[/math]는 적당한 열린 구간 [math]\left(b, \infty\right)[/math]에서 미분가능하며(b>0), 임의의 [math]x\in \left(b, \infty\right)[/math]에 대하여 [math]g'\left(x\right)\neq 0[/math]라고 하자. 또한 [math]\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L[/math]이 성립한다고 하자.

함수 [math]F ,G[/math]를 임의의 [math]\displaystyle x\in \left(0, \frac{1}{b}\right)[/math]에 대하여 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle F\left(x\right)=f\left(\frac{1}{x}\right) , G\left(x\right)=g\left(\frac{1}{x}\right)[/math]

그러면 [math]\displaystyle \lim_{x\to 0+}F\left(x\right)=\lim_{x\to 0+}G\left(x\right)=0[/math]이고, 함수 [math]F, G[/math]는 열린 구간 [math]\displaystyle \left(0, \frac{1}{b}\right)[/math]에서 미분가능하며, 임의의 [math]\displaystyle x\in \left(0, \frac{1}{b}\right)[/math]에 대하여 [math]G'\left(x\right)\neq 0[/math]이다. 또한 [math]\displaystyle \lim_{x\to 0+}\frac{F'\left(x\right)}{G'\left(x\right)}=L[/math]이 성립한다. 따라서 1.에서 증명한 사실을 이용하면 다음이 성립함을 알 수 있다.

[math]\displaystyle \lim_{x\to 0+}\frac{F\left(x\right)}{G\left(x\right)}=L[/math]

따라서 [math]\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L[/math]이다.


3. [math]x\rightarrow a^{-} [/math]일 때 [math]\displaystyle {\infty\over \infty}[/math] 꼴인 경우

[math]\displaystyle \lim_{x\to a-}f\left(x\right)=\lim_{x\to a-}g\left(x\right)=\infty[/math]이고, 함수 [math]f, g[/math]는 적당한 열린 구간 [math]\left(a-d, a\right)[/math]에서 미분가능하며(d>0), 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 [math]g'\left(x\right)\neq 0[/math]라고 하자. 또한 [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L[/math]이 성립한다고 하자.

열린 구간 [math]\left(a-d, a\right)[/math]에서 [math]y\ltx[/math]인 두 실수 [math]x, y[/math]를 임의로 택한다. 그러면 코시의 평균값 정리에 의해 [math]\displaystyle {f\left(x\right)-f\left(y\right)\over g\left(x\right)-g\left(y\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}[/math]를 만족하는 [math]c\in \left(y, x\right)[/math]가 존재한다.

엡실론-델타 논법을 위해 먼저 임의로 양수 [math]\varepsilon[/math]을 잡자. 그리고 [math]0\lt\varepsilon _1\lt\varepsilon[/math]을 만족하는 [math]\varepsilon _1[/math]을 임의로 택한다. 그러면 [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L[/math]이므로, [math]a-\delta_1\ltx\lta[/math]인 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 [math]\displaystyle \left|\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}-L\right|\lt\varepsilon_1[/math]이 성립하는 양수 [math]\delta_1[/math]이 존재한다.

한편, [math]\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}+\frac{1}{g\left(x\right)}\left\{f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right\}[/math]이므로 [math]\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\leq \left|\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}-L\right|+\frac{1}{\left|g\left(x\right)\right|}\left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right|[/math]이다. 여기서 [math]y[/math]를 [math]a-\delta_1[/math]보다 큰 값으로 고정하자. 그러면 [math]a-\delta_1\lty\ltc\ltx\lta[/math]이므로 다음이 성립한다.

[math]\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\leq \varepsilon_1+\frac{1}{\left|g\left(x\right)\right|}\left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right|[/math]

[math]y[/math]값이 고정되었기 때문에 [math]\displaystyle f\left(y\right), g\left(y\right)[/math]는 상수이다. 또한 [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}=L[/math]이고, 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 [math]g'\left(x\right)\neq 0[/math]이므로 [math]x[/math]가 구간 [math]\left(y, a\right)[/math]에서 임의로 값을 취할 때 [math]\displaystyle \frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}[/math]는 유계이다. 따라서 [math]x[/math]의 범위가 [math]\left(y, a\right)[/math]일 때 [math]\displaystyle \left|f\left(y\right)-g\left(y\right)\frac{f'\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\right|[/math]는 유계이다. 이때 그 상계 중 하나를 임의로 골라 [math]M[/math]이라 하자(M>0). 그러면 다음이 성립함을 알 수 있다.

[math]\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\leq \varepsilon_1+\frac{M}{\left|g\left(x\right)\right|}[/math]

[math]\displaystyle R=\frac{M}{\varepsilon-\varepsilon_1}[/math]이라 놓자. 그러면 [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}g\left(x\right)=\infty[/math]이므로 [math]a-\delta_R\ltx\lta[/math]인 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 [math]\displaystyle g\left(x\right)\gtR[/math]이 성립하는 양수 [math]\delta_R[/math]이 존재한다. 그러므로 [math]a-\delta_R\ltx\lta[/math]일 때 다음이 성립한다.

[math]\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\lt \varepsilon[/math]

이제 [math]\delta=\min\left(\delta_1, \delta_R\right)[/math]라 놓으면 [math]a-\delta\ltx\lta[/math]인 임의의 [math]x\in \left(a-d, a\right)[/math]에 대하여 [math]\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-L\right|\lt \varepsilon[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=L[/math]이다.

5 그 외

만약 평소에 로피탈의 정리를 사용하고 있었고, 자신의 수학성적이 상위권이라면 테일러 급수 쪽을 배우는 것도 추천한다. 하지만 로피탈보다 정확한 답을 낼 가능성이 높으나, 모든 항을 일일히 전개시켜나가는(...) 테일러의 풀이는 오히려 식을 더 복잡하게 만들 수 있으므로 로피탈을 풀 때처럼 항상 주의해야한다.

배워보고 싶다면 테일러 급수 항목 참조.

진짜로 진지하게 로피탈의 정리를 공부하고 싶은 분들을 위하여...[13]


Indeterminate forms - L'Hospital's rule
18.01 Single Variable Calculus,[14] Fall 2006 (Fall 2007)
데이비드 제리슨 - MIT 수학과

수열버전으로 슈톨츠-체사로정리(Stolz-Cesaro Theorem)가 있다. 로피탈의 정리의 이산적인 형태[15]

각 항이 실수인 수열 [math]\left(a_n\right)_{n\geq1}, \left(b_n\right)_{n\geq1}[/math]을 생각하자. [math]\left(b_n\right)_{n\geq1}[/math]이 단조증가 혹은 단조감소하며 발산할 때, 다음이 성립한다.

[math] \lim\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l[/math] 이면 [math] \lim\frac{a_n}{b_n}=l[/math]
  1. ↑ 특수문자를 빼면 l'Hospital병원이라고도 쓴다. 로피탈 본인도 자기 이름을 당시에는 이렇게 적었다고 한다.
  2. ↑ 수학과 과학분야에서 베르누이란 이름이 많이 나오는 데 동일인물인 경우도 있으나 대개 성만 같고 다른 사람이다. 유체역학의 베르누이도 이 가문. 당시에 라이프니츠를 도와 미적분학의 기초를 만들었다.
  3. ↑ 비슷한 경우로 삼차방정식의 근의 공식이 있다. 방정식 항목 참조.
  4. ↑ 로피탈의 정리를 증명하기 위해서는 연속성에 대한 정의를 엄밀하게 해야 하는데, 고교수학에서는 극한 단원을 쉽게 가르치기 위해 연속성의 정의를 직관적으로 그래프를 보고 판단하도록(= graphically) 하고 있다.
  5. ↑ 수학의 정석 미적분 II 실력편에서 증명을 간단하게 서술한 것이 있다. 방법은 롤의 정리를 이용해서 코시의 정리를 증명하고, 다시 코시의 정리를 이용해 로피탈의 정리를 증명하는 식으로.
  6. ↑ 정말 눈치가 빠른 학생은 수식만 보고도 로피탈 저격임을 바로 알아채고, 중상위권 학생들도 두번쯤 미분해보면 눈치챈다.
  7. ↑ 웬만하면 초급 미적분학 과정에서는 수학의 정석 실력편에 나와 있는 증명을 주로 사용한다. 그러니까 해석학 쪽을 보는게 더 정확하다.
  8. ↑ 사실 평균값 정리를 쓰면 바로 e^(1-x)에서 x=1일 때 기울기에 -1을 곱한 것임을 알 수 있다. 그래서 답은 e, 4번. 참 쉽죠?
  9. ↑ 평균값정리까지 갈 것도 없이 e^(1-tan x)으로 윗변을 묶어주면 tan x - sin x를 변수로 하는 미분계수의 정의의 형태가 되는것을 알 수 있다. 평가원에서 의도한 풀이는 이쪽인듯
  10. ↑ 사실 이녀석도 로피탈로 어찌 해결이 가능하긴 하다..원식에서 로피탈을 3번쯤 먹였을 경우 0으로 보내버리면 분모는 3,분자는 3e로 가므로 답은 e이다.다만 분모분자의 삼계도함수는 다음과 같다..(...) 분자식의 삼계도함수 분모식의 삼계도함수
  11. ↑ 첫번째 문제 [math]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{p^{2}}{4n\tan\left ( \frac{\pi}{n} \right )}[/math]을 구해 보면 일단 상수를 밖으로 내보내면 [math]\displaystyle \frac{p^{2}}{4}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n\tan\left (\frac{\pi}{n} \right )}[/math]가 된다. 이제 [math]\displaystyle \frac{\pi}{n}=t[/math]로 치환하면 [math]\displaystyle nt=\pi[/math]가 된다.그리고 [math]\displaystyle n\rightarrow \infty,t\rightarrow 0[/math]이므로,[math]\displaystyle \frac{p^{2}}{4}\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\pi}{t}\tan\left ( t \right )}[/math]이렇게 된다.역시 이제 극한식에서 분모와 분자에 각각 [math]t[/math]를 곱해주면 [math]\displaystyle \frac{p^{2}}{4}\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\pi\tan\left ( t \right )}[/math]가 된다.상수 [math]\displaystyle \pi[/math]를 즉시 극한식 밖으로 빼내주자.그러면 [math]\displaystyle \frac{p^{2}}{4\pi}\lim_{t\rightarrow0}\frac{t}{\tan\left ( t \right )}[/math]가 된다.이제 이 시점에서 로피탈의 정리를 적용하면 [math]\displaystyle \frac{p^{2}}{4\pi}\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{\left ( \sec t \right )^2}[/math]이게 된다.각각 대입하면 [math]\displaystyle \frac{1}{1}[/math]이므로 답은 [math]\displaystyle \frac{p^{2}}{4\pi}[/math]이다.
  12. ↑ [math]x\rightarrow a^{+} [/math]일 때는 거의 같은 방법으로 증명가능하고, [math]x\rightarrow a [/math]일 때는 두 증명을 합치면 된다.
  13. ↑ 증명을 하지는 않지만(18:35 부분 참조), 로피탈의 정리를 쓸 때 주의사항이나 조건(38:28 참조), 로피탈의 정리를 너무 맹신하지 말라는(46:37) 내용(+로피탈 이름으로 드립치다 부끄러워하기)을 담고 있다.
  14. ↑ 한국 고등학교 수2, 미적분 1 수준.
  15. ↑ 애초에 수열의 극한은 곧 함수(정의역이 자연수인)의 극한으로 생각할수 있다.