평균값의 정리

• 상위 항목: 수학, 수학 관련 정보

1 개요

Mean Value Theorem.미분 가능한 함수에 관한 정리로 한국에선 고등학교 미적분을 배울 때 처음 접하게 된다. 고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 설명하자면 다음과 같다.

함수 $$f\left(x\right)$$ 가 닫힌 구간 $$\left[a, b\right]$$ 에서 연속이고 열린 구간 $$\left(a, b\right)$$ 에서 미분가능하면 $$\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} = f'\left(c\right), c \in \left(a, b\right)$$ 인 $$c$$ 가 적어도 하나 존재한다.

기하학적으로 해석하면 두 점 $$A\left(a, f\left(a\right)\right), B\left(b, f\left(b\right)\right)$$ 를 연결하는 직선과 평행한 접선이 $$\left(a, b\right)$$ 내에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약 $$f\left(a\right) = f\left(b\right)$$ 이면 롤의 정리가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는 롤의 정리의 일반화라고 할 수 있다.

이걸로 인해 부정적분값에 상수만 붙이는게 정당화 된다.
즉 $$F'\left(x\right) = f\left(x\right)$$ 일때 미분하여 $$f\left(x\right)$$ 가 되는 함수는 $$F\left(x\right)+C$$ 꼴 뿐이다

2 코시의 평균값 정리

고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀더 일반화 시킨 버전. 내용은 다음과 같다.

함수 $$f\left(x\right)$$ 와 $$g\left(x\right)$$ 가 닫힌 구간 $$\left[a, b\right]$$ 에서 연속이고 열린 구간 $$\left(a, b\right)$$ 에서 미분가능하면 $$f'\left(c\right)\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right] = g'\left(c\right)\left[f\left(b\right)-f\left(a\right)\right]$$ 인 $$c$$ 가 $$\left(a, b\right)$$ 내에 적어도 하나 존재한다.

여기서 $$g\left(x\right) = x$$ 라 두면 우리가 보통 알고있는 평균값의 정리가 된다.

3 증명

$$F\left(x\right) = f\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\}$$ 라 정의하자. 그럼 $$F$$ 는 닫힌구간 $$\left[a, b\right]$$ 에서 연속이고 열린구간 $$\left(a, b\right)$$ 에서 미분가능하다.

또한, $$F\left(a\right)=F\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-g\left(a\right)f\left(b\right)$$ 이므로 롤의 정리에 의해 $$F'\left(c\right) = 0$$ 를 만족하는 $$c\in \left(a, b\right)$$ 가 존재한다.

그러면 $$F'\left(x\right) = f'\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g'\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\}$$ 이므로, $$f'\left(c\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\} = g'\left(c\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\}$$

4 활용

4.1 함수의 증감

여러가지 활용이 있겠지만 가장 익숙한 것은 함수의 그래프를 그리는 방법일 것이다.

함수 $$f$$ 가 $$\left(a, b\right)$$ 에서 미분가능하고 $$f'\left(x\right) \gt 0$$ 이면, $$f$$ 는 그 구간에서 증가한다.

증명

열린구간 $$\left(a,b\right)$$ 내에서 임의의 $$x_1, x_2$$ 를 $$x_1\ltx_2$$ 가 되게 잡는다. 그럼 $$f$$ 는 $$\left[x_1, x_2\right]$$ 에서 연속이고 $$\left(x_1, x_2\right)$$ 에서 미분가능하다.

따라서 평균값의 정리에 의해 $$\displaystyle f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_2}$$ 를 만족하는 $$x_0$$ 가 $$\left(x_1, x_2\right)$$ 내에 적어도 하나 존재한다. 또한 $$x_2-x_1 \gt 0, f'\left(x_0\right) \gt 0$$ 이므로 $$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) \gt 0$$ 이다. 즉, $$f\left(x_1\right) \lt f\left(x_2\right)$$ 가 성립한다. $$x_1, x_2$$ 는 구간 내의 임의의 값이므로 $$f$$ 는 구간 내에서 증가한다.

비슷한 방법으로 아래 명제를 증명할 수 있다.

함수 $$f$$ 가 $$\left(a, b\right)$$ 에서 미분가능하고 $$f'\left(x\right) \lt 0$$ 이면, $$f$$ 는 그 구간에서 감소한다.

4.3 미분가능성

한 점에서 미분가능성이 주어지지 않아도 주변의 미분계수에 따라 미분가능해질 수 있다.

실수 $$a$$ 를 포함하는 열린구간 $$I$$ 에서 정의된 함수 $$f$$ 가 있을 때, $$f$$ 가 $$a$$ 에서 연속이고 $$I-\left\{a\right\}$$ 에서 미분가능하며, $$\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L$$ 이면( $$L$$ 은 실수) $$f$$ 는 $$a$$ 에서 미분가능하고 $$f'\left(a\right)=L$$ 이다.

증명

$$\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L$$ 이므로 임의의 양수 $$\varepsilon$$ 에 대하여 양수 $$\delta \left(\varepsilon\right)$$ 가 존재하여 $$0\lt\left|x-a\right|\lt\delta\left(\varepsilon\right)$$ 인 임의의 $$x \in I$$ 에 대해 $$\left|f'\left(x\right)-L\right|\lt\varepsilon$$ 이다.

한편 평균값 정리에 의하여 임의의 $$x\in I-\left\{a\right\}$$ 에 대해 $$\displaystyle {f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=f'\left(c\right)$$ 인 $$c$$ 가 $$a$$ 와 $$x$$ 사이에 존재한다. 즉, $$0\lt\left|c-a\right|\lt\left|x-a\right|$$ 이다.

그러면 $$x \in I$$ 이고 $$0\lt\left|x-a\right|\lt\delta\left(\varepsilon\right)$$ 일 때 $$\displaystyle \left|{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}-L\right|=\left|f'\left(c\right)-L\right|\lt\varepsilon$$ 이 성립하므로 $$\displaystyle \lim_{x\to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=L$$ 이다. 따라서 $$f$$ 는 $$a$$ 에서 미분가능하고 $$f'\left(a\right)=L$$ 이다.

5 관련 항목

• 미적분
• 롤의 정리
• 로피탈의 정리