평균값의 정리

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1 개요

Mean Value Theorem.미분 가능한 함수에 관한 정리로 한국에선 고등학교 미적분을 배울 때 처음 접하게 된다. 고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 설명하자면 다음과 같다.

함수 [math] f\left(x\right) [/math]가 닫힌 구간 [math] \left[a, b\right] [/math]에서 연속이고 열린 구간 [math] \left(a, b\right) [/math]에서 미분가능하면 [math] \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} = f'\left(c\right), c \in \left(a, b\right) [/math]인 [math]c[/math]가 적어도 하나 존재한다.

기하학적으로 해석하면 두 점 [math]A\left(a, f\left(a\right)\right), B\left(b, f\left(b\right)\right)[/math]를 연결하는 직선과 평행한 접선이 [math]\left(a, b\right)[/math]내에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약 [math]f\left(a\right) = f\left(b\right)[/math]이면 롤의 정리가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는 롤의 정리의 일반화라고 할 수 있다.

이걸로 인해 부정적분값에 상수만 붙이는게 정당화 된다.
즉 [math] F'\left(x\right) = f\left(x\right) [/math] 일때 미분하여 [math] f\left(x\right) [/math] 가 되는 함수는 [math] F\left(x\right)+C[/math] 꼴 뿐이다

2 코시의 평균값 정리

고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀더 일반화 시킨 버전. 내용은 다음과 같다.

함수 [math] f\left(x\right) [/math]와 [math] g\left(x\right) [/math]가 닫힌 구간 [math] \left[a, b\right] [/math]에서 연속이고 열린 구간 [math] \left(a, b\right) [/math]에서 미분가능하면 [math] f'\left(c\right)\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right] = g'\left(c\right)\left[f\left(b\right)-f\left(a\right)\right] [/math]인 [math]c[/math]가 [math] \left(a, b\right) [/math]내에 적어도 하나 존재한다.

여기서 [math]g\left(x\right) = x [/math]라 두면 우리가 보통 알고있는 평균값의 정리가 된다.

3 증명

[math]F\left(x\right) = f\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} [/math]라 정의하자. 그럼 [math]F[/math]는 닫힌구간 [math]\left[a, b\right][/math]에서 연속이고 열린구간 [math]\left(a, b\right)[/math]에서 미분가능하다.

또한, [math] F\left(a\right)=F\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-g\left(a\right)f\left(b\right)[/math]이므로 롤의 정리에 의해 [math]F'\left(c\right) = 0 [/math]를 만족하는 [math]c\in \left(a, b\right)[/math]가 존재한다.

그러면 [math]F'\left(x\right) = f'\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g'\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\}[/math]이므로, [math] f'\left(c\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\} = g'\left(c\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} [/math]

4 활용

4.1 함수의 증감

여러가지 활용이 있겠지만 가장 익숙한 것은 함수의 그래프를 그리는 방법일 것이다.

함수 [math]f[/math]가 [math]\left(a, b\right)[/math]에서 미분가능하고 [math]f'\left(x\right) \gt 0 [/math]이면, [math]f[/math]는 그 구간에서 증가한다.

증명

열린구간 [math]\left(a,b\right)[/math] 내에서 임의의 [math]x_1, x_2[/math]를 [math]x_1\ltx_2[/math]가 되게 잡는다. 그럼 [math]f[/math]는 [math]\left[x_1, x_2\right][/math]에서 연속이고 [math]\left(x_1, x_2\right)[/math]에서 미분가능하다.

따라서 평균값의 정리에 의해 [math]\displaystyle f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_2}[/math]를 만족하는 [math]x_0[/math]가 [math]\left(x_1, x_2\right)[/math]내에 적어도 하나 존재한다. 또한 [math]x_2-x_1 \gt 0, f'\left(x_0\right) \gt 0[/math]이므로 [math]f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) \gt 0 [/math]이다. 즉, [math]f\left(x_1\right) \lt f\left(x_2\right)[/math]가 성립한다. [math]x_1, x_2[/math]는 구간 내의 임의의 값이므로 [math]f[/math]는 구간 내에서 증가한다.

비슷한 방법으로 아래 명제를 증명할 수 있다.

함수 [math]f[/math]가 [math]\left(a, b\right)[/math]에서 미분가능하고 [math]f'\left(x\right) \lt 0 [/math]이면, [math]f[/math]는 그 구간에서 감소한다.

4.3 미분가능성

한 점에서 미분가능성이 주어지지 않아도 주변의 미분계수에 따라 미분가능해질 수 있다.

실수 [math]a[/math]를 포함하는 열린구간 [math]I[/math]에서 정의된 함수 [math]f[/math]가 있을 때, [math]f[/math]가 [math]a[/math]에서 연속이고 [math]I-\left\{a\right\}[/math]에서 미분가능하며, [math]\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L[/math]이면([math]L[/math]은 실수) [math]f[/math]는 [math]a[/math]에서 미분가능하고 [math]f'\left(a\right)=L[/math]이다.

증명

[math]\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L[/math]이므로 임의의 양수 [math]\varepsilon[/math]에 대하여 양수 [math]\delta \left(\varepsilon\right)[/math]가 존재하여 [math]0\lt\left|x-a\right|\lt\delta\left(\varepsilon\right)[/math]인 임의의 [math]x \in I[/math]에 대해 [math]\left|f'\left(x\right)-L\right|\lt\varepsilon[/math]이다.

한편 평균값 정리에 의하여 임의의 [math]x\in I-\left\{a\right\}[/math]에 대해 [math]\displaystyle {f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=f'\left(c\right)[/math]인 [math]c[/math]가 [math]a[/math]와 [math]x[/math]사이에 존재한다. 즉, [math]0\lt\left|c-a\right|\lt\left|x-a\right|[/math]이다.

그러면 [math]x \in I[/math]이고 [math]0\lt\left|x-a\right|\lt\delta\left(\varepsilon\right)[/math]일 때 [math]\displaystyle \left|{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}-L\right|=\left|f'\left(c\right)-L\right|\lt\varepsilon[/math]이 성립하므로 [math]\displaystyle \lim_{x\to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=L[/math]이다. 따라서 [math]f[/math]는 [math]a[/math]에서 미분가능하고 [math]f'\left(a\right)=L[/math]이다.

5 관련 항목

• 미적분
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