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체바의 정리

1 요약

파일:Attachment/체바의 정리.jpg

1678년 이탈리아의 기하학자 G.체바가 발견한 정리이다.

ABC에서 ¯BC, ¯CA, ¯AB의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 PA, B, C를 이은 직선이 각각 ¯BC, ¯CA, ¯AB에서 만나는 점을 각각 D, E, F라 할 때, ¯BD¯DC¯CE¯EA¯AF¯FB=1이다.

또한, 역으로 ABC에서 ¯BC 위에 D, ¯CA 위에 E, ¯AB 위에 F를 잡은 후, 각각 A, B, C와 이었을때, ¯BD¯DC¯CE¯EA¯AF¯FB=1이 성립하면 ¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만나게 된다.

참고로 말하자면, P가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다. 이 경우, ¯AP, ¯BP, ¯CP가 각각 ¯BC, ¯CA, ¯AB의 연장선상에서 만나는 점을 D, E, F라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[1]

  • ¯AP¯BCC쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 D라고 하면) ¯DC는 음수로, ¯BD는 양수로 표시하게 된다.
  • ¯AP가 선분 ¯BC와 만난다면 ¯BD, ¯DC 모두 양수로 측정하게 된다.
  • ¯AP¯BCB 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 ¯BC는 음수, ¯DC는 양수이다.

1.1 증명

위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 있다.

ABC에서 ¯BC 위에 D, ¯CA 위에 E, ¯AB 위에 F를 잡은 후, ¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면,
¯BD¯DC=ABPACP
¯CE¯EA=BCPBAP
¯AF¯FB=CAPCBP
이것을 모두 곱하면 1이 된다.

역정리를 보이자.
¯BD¯DC¯CE¯EA¯AF¯FB=1라 가정하자. ¯AD¯BE의 교점을 Q라고 하고 ¯CQ를 연장시켜 ¯AB와의 교점을 F라고 하자.
그럼 원래 체바의 정리에 의해 ¯BD¯DC¯CE¯EA¯AF¯FB=1이 성립하는데, ¯BD¯DC¯CE¯EA¯AF¯FB=1도 성립하므로 결국 ¯AF¯FB=¯AF¯FB여야 한다. 따라서, F=F이다.

2 각 체바 정리

ABC에서 ¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만날 때 다음이 성립한다.[2][3]
sinCADsinBADsinBCFsinACFsinABEsinCBE=1

그 역 또한 성립한다.

2.1 증명

¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만난다면 PAB, PBC, PCA에서 사인 법칙을 적용하면
¯PA¯PB=sinPBAsinPAB=sinABEsinBAD
¯PB¯PC=sinPCBsinPBC=sinBCFsinCBE
¯PC¯PA=sinPCAsinPAC=sinCADsinACF
이고, 변변 곱하면 된다. 증명 끝.

각 체바의 역정리 증명도 선 체바의 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다.

3 기타

교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 KMO를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라우스의 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구.
중2 최상위수학에도 나온다는건 안비밀

4 관련 항목

  1. 이동 그냥 연장선이 변을 지나치는 경우를 양으로 생각하고, 반대방향을 음으로 생각하면 된다. 이는 아주 자연스러운 일이다.
  2. 이동 각체바 정리의 경우에도 방향이 고려된 각도를 사용하게 된다. 이에 대해서는 을 참조하여라.
  3. 이동 P가 외부에 있어도 성립한다.