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1 요약
1678년 이탈리아의 기하학자 G.체바가 발견한 정리이다.
△ABC에서 ¯BC, ¯CA, ¯AB의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 P와 A, B, C를 이은 직선이 각각 ¯BC, ¯CA, ¯AB에서 만나는 점을 각각 D, E, F라 할 때, ¯BD¯DC⋅¯CE¯EA⋅¯AF¯FB=1이다.또한, 역으로 △ABC에서 ¯BC 위에 D, ¯CA 위에 E, ¯AB 위에 F를 잡은 후, 각각 A, B, C와 이었을때, ¯BD¯DC⋅¯CE¯EA⋅¯AF¯FB=1이 성립하면 ¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만나게 된다.
참고로 말하자면, P가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다. 이 경우, ¯AP, ¯BP, ¯CP가 각각 ¯BC, ¯CA, ¯AB의 연장선상에서 만나는 점을 D, E, F라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[1]
- ¯AP가 ¯BC를 C쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 D라고 하면) ¯DC는 음수로, ¯BD는 양수로 표시하게 된다.
- ¯AP가 선분 ¯BC와 만난다면 ¯BD, ¯DC 모두 양수로 측정하게 된다.
- ¯AP가 ¯BC를 B 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 ¯BC는 음수, ¯DC는 양수이다.
1.1 증명
위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 있다.
△ABC에서 ¯BC 위에 D, ¯CA 위에 E, ¯AB 위에 F를 잡은 후, ¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면,
¯BD¯DC=△ABP△ACP
¯CE¯EA=△BCP△BAP
¯AF¯FB=△CAP△CBP
이것을 모두 곱하면 1이 된다.
역정리를 보이자.
¯BD¯DC⋅¯CE¯EA⋅¯AF¯FB=1라 가정하자. ¯AD와 ¯BE의 교점을 Q라고 하고 ¯CQ를 연장시켜 ¯AB와의 교점을 F′라고 하자.
그럼 원래 체바의 정리에 의해 ¯BD¯DC⋅¯CE¯EA⋅¯AF′¯F′B=1이 성립하는데, ¯BD¯DC⋅¯CE¯EA⋅¯AF¯FB=1도 성립하므로 결국 ¯AF′¯F′B=¯AF¯FB여야 한다. 따라서, F=F′이다.
2 각 체바 정리
△ABC에서 ¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만날 때 다음이 성립한다.[2][3]
sin∠CADsin∠BAD⋅sin∠BCFsin∠ACF⋅sin∠ABEsin∠CBE=1그 역 또한 성립한다.
2.1 증명
¯AD, ¯BE, ¯CF가 한 점 P에서 만난다면 △PAB, △PBC, △PCA에서 사인 법칙을 적용하면
¯PA¯PB=sin∠PBAsin∠PAB=sin∠ABEsin∠BAD
¯PB¯PC=sin∠PCBsin∠PBC=sin∠BCFsin∠CBE
¯PC¯PA=sin∠PCAsin∠PAC=sin∠CADsin∠ACF
이고, 변변 곱하면 된다. 증명 끝.
각 체바의 역정리 증명도 선 체바의 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다.
3 기타
교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 KMO를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라우스의 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구.
중2 최상위수학에도 나온다는건 안비밀