체바의 정리

1 요약

파일:Attachment/체바의 정리.jpg

1678년 이탈리아의 기하학자 G.체바가 발견한 정리이다.

[math]\triangle ABC[/math]에서 [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{CA}[/math], [math]\overline{AB}[/math]의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 [math]P[/math]와 [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math]를 이은 직선이 각각 [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{CA}[/math], [math]\overline{AB}[/math]에서 만나는 점을 각각 [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]라 할 때, [math]\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}[/math][math]=1[/math]이다.

또한, 역으로 [math]\triangle ABC[/math]에서 [math]\overline{BC}[/math] 위에 [math]D[/math], [math]\overline{CA}[/math] 위에 [math]E[/math], [math]\overline{AB}[/math] 위에 [math]F[/math]를 잡은 후, 각각 [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math]와 이었을때, [math]\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}[/math][math]=1[/math]이 성립하면 [math]\overline{AD}[/math], [math]\overline{BE}[/math], [math]\overline{CF}[/math]가 한 점 [math]P[/math]에서 만나게 된다.

참고로 말하자면, [math]P[/math]가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다. 이 경우, [math]\overline{AP}[/math], [math]\overline{BP}[/math], [math]\overline{CP}[/math]가 각각 [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{CA}[/math], [math]\overline{AB}[/math]의 연장선상에서 만나는 점을 [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[1]

  • [math]\overline{AP}[/math]가 [math]\overline{BC}[/math]를 [math]C[/math]쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 [math]D[/math]라고 하면) [math]\overline{DC}[/math]는 음수로, [math]\overline{BD}[/math]는 양수로 표시하게 된다.
  • [math]\overline{AP}[/math]가 선분 [math]\overline{BC}[/math]와 만난다면 [math]\overline{BD}[/math], [math]\overline{DC}[/math] 모두 양수로 측정하게 된다.
  • [math]\overline{AP}[/math]가 [math]\overline{BC}[/math]를 [math]B[/math] 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 [math]\overline{BC}[/math]는 음수, [math]\overline{DC}[/math]는 양수이다.

1.1 증명

위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 있다.

[math]\triangle ABC[/math]에서 [math]\overline{BC}[/math] 위에 [math]D[/math], [math]\overline{CA}[/math] 위에 [math]E[/math], [math]\overline{AB}[/math] 위에 [math]F[/math]를 잡은 후, [math]\overline{AD}[/math], [math]\overline{BE}[/math], [math]\overline{CF}[/math]가 한 점 [math]P[/math]에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면,
[math]\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{\triangle ABP}{\triangle ACP}[/math]
[math]\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{\triangle BCP}{\triangle BAP}[/math]
[math]\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=\frac{\triangle CAP}{\triangle CBP}[/math]
이것을 모두 곱하면 1이 된다.

역정리를 보이자.
[math]\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}[/math][math]=1[/math]라 가정하자. [math]\overline{AD}[/math]와 [math]\overline{BE}[/math]의 교점을 [math]Q[/math]라고 하고 [math]\overline{CQ}[/math]를 연장시켜 [math]\overline{AB}[/math]와의 교점을 [math]F'[/math]라고 하자.
그럼 원래 체바의 정리에 의해 [math]\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{AF'}}{\overline{F'B}}[/math][math]=1[/math]이 성립하는데, [math]\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}[/math][math]=1[/math]도 성립하므로 결국 [math]\frac{\overline{AF'}}{\overline{F'B}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}[/math]여야 한다. 따라서, [math]F=F'[/math]이다.

2 각 체바 정리

[math]\triangle ABC[/math]에서 [math]\overline{AD}[/math], [math]\overline{BE}[/math], [math]\overline{CF}[/math]가 한 점 [math]P[/math]에서 만날 때 다음이 성립한다.[2][3]
[math]\frac{\sin\angle CAD}{\sin\angle BAD}\cdot\frac{\sin\angle BCF}{\sin\angle ACF}\cdot\frac{\sin\angle ABE}{\sin\angle CBE}[/math][math]=1[/math]

그 역 또한 성립한다.

2.1 증명

[math]\overline{AD}[/math], [math]\overline{BE}[/math], [math]\overline{CF}[/math]가 한 점 [math]P[/math]에서 만난다면 [math]\triangle PAB[/math], [math]\triangle PBC[/math], [math]\triangle PCA[/math]에서 사인 법칙을 적용하면
[math]\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=\frac{\sin\angle PBA}{\sin\angle PAB}=\frac{\sin\angle ABE}{\sin\angle BAD}[/math]
[math]\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}=\frac{\sin\angle PCB}{\sin\angle PBC}=\frac{\sin\angle BCF}{\sin\angle CBE}[/math]
[math]\frac{\overline{PC}}{\overline{PA}}=\frac{\sin\angle PCA}{\sin\angle PAC}=\frac{\sin\angle CAD}{\sin\angle ACF}[/math]
이고, 변변 곱하면 된다. 증명 끝.

각 체바의 역정리 증명도 선 체바의 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다.

3 기타

교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 KMO를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라우스의 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구.
중2 최상위수학에도 나온다는건 안비밀

4 관련 항목

  1. ↑ 그냥 연장선이 변을 지나치는 경우를 양으로 생각하고, 반대방향을 음으로 생각하면 된다. 이는 아주 자연스러운 일이다.
  2. ↑ 각체바 정리의 경우에도 방향이 고려된 각도를 사용하게 된다. 이에 대해서는 각을 참조하여라.
  3. ↑ [math]P[/math]가 외부에 있어도 성립한다.