[math]M[/math]과 그 위의 이항연산[math]*[/math][1]에 대해, [math]\left(M,*, e\right)[/math]가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.
(결합법칙; associativity) 임의의 [math]a,b,c\in M[/math]에 대해, [math]a*\left(b*c\right)=\left(a*b\right)*c[/math]
(항등원의 존재; identity) 적절한 [math]e\in M[/math]이 존재하여[2], 임의의 [math]a[/math]에 대해, [math]a*e=a=e*a[/math]
이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해 ([math]0[/math]을 포함하는) [math]\mathbb{N}[/math]이다. 곱셈에 대해서 [math]\mathbb{Z}[/math]도 군이 아닌 모노이드이다.
1 자유 모노이드(free monoid)
자유 모노이드는 집합 [math]X[/math]위에서 정의된다.집합 [math]X[/math]에 대한 자유 모노이드[math]F\left(X\right)[/math][3]는 [math]X[/math]의 원소들로 이루어진 단어[4] 들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열[math]e=\left[\right][/math]이다. 예를 들어, [math]X=\left\{a,b\right\}[/math]에 대해, 다음이 성립한다.
[math]\left[\right],\left[a\right],\left[b\right]\,\left[babaa\right]\in F\left(X\right)[/math]
[math]\left[ababa\right]*\left[abaaaaaaa\right]=\left[ababaabaaaaaaa\right][/math]
[math]\left|X\right|\gt1[/math]이면 [math]F\left(X\right)[/math]는 비가환이고, [math]\left|X\right|=1[/math]이면 [math]F\left(X\right)=N[/math], [math]\left|X\right|=0[/math]이면 [math]F\left(X\right)=\left\{\left[\right]\right\}[/math]이다.
2 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)
모노이드 [math]M[/math]에 대해, [math]M^{2}[/math]위의 동치류 [math]\equiv[/math]를 다음과 같이 정의한다.
TFAE그리고 [math]~[/math]에 의한 [math]\left(a,b\right)[/math]의 동치류를 [math]\left[a,b\right]\in M^{2}/\equiv[/math]라 하자. 이 위의 연산 [math]\cdot[/math]을 [math]\left[a,b\right]\cdot \left[x,y\right]=\left[ax,by\right][/math]라 주면, 이는 결합적이고[math][e,e][/math]이 항등원으로 가지며, [math][a,b][/math]의 역원은 [math][b,a][/math]이다. 즉, [math]\left(M^{2}/\equiv,\cdot\right)[/math]은 군이다.[math]\left(a,b\right)\equiv\left(x,y\right)[/math]
[math]\exists m\in M aym=bxm[/math][5]