M과 그 위의 이항연산∗[1]에 대해, (M,∗,e)가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.
(결합법칙; associativity) 임의의 a,b,c∈M에 대해, a∗(b∗c)=(a∗b)∗c
(항등원의 존재; identity) 적절한 e∈M이 존재하여[2], 임의의 a에 대해, a∗e=a=e∗a
이는, 군에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해 (0을 포함하는) N이다. 곱셈에 대해서 Z도 군이 아닌 모노이드이다.
1 자유 모노이드(free monoid)
자유 모노이드는 집합 X위에서 정의된다.집합 X에 대한 자유 모노이드F(X)[3]는 X의 원소들로 이루어진 단어[4] 들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열e=[]이다. 예를 들어, X={a,b}에 대해, 다음이 성립한다.
[],[a],[b][babaa]∈F(X)
[ababa]∗[abaaaaaaa]=[ababaabaaaaaaa]
|X|>1이면 F(X)는 비가환이고, |X|=1이면 F(X)=N, |X|=0이면 F(X)={[]}이다.
2 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)
모노이드 M에 대해, M2위의 동치류 ≡를 다음과 같이 정의한다.
TFAE그리고 에 의한 (a,b)의 동치류를 [a,b]∈M2/≡라 하자. 이 위의 연산 ⋅을 [a,b]⋅[x,y]=[ax,by]라 주면, 이는 결합적이고[e,e]이 항등원으로 가지며, [a,b]의 역원은 [b,a]이다. 즉, (M2/≡,⋅)은 군이다.(a,b)≡(x,y)
∃m∈Maym=bxm[5]