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모노이드

M과 그 위의 이항연산[1]에 대해, (M,,e)가 모노이드(monoid)라 함은 다음을 만족하는 것이다.

(결합법칙; associativity) 임의의 a,b,cM에 대해, a(bc)=(ab)c
(항등원의 존재; identity) 적절한 eM이 존재하여[2], 임의의 a에 대해, ae=a=ea

이는, 에서 역원의 존재성이 빠진 것이다. 즉, 모든 군은 모노이드이다. 군이 아닌 모노이드들 중 가장 대표적인 것이, 덧셈에 대해 (0을 포함하는) N이다. 곱셈에 대해서 Z도 군이 아닌 모노이드이다.

1 자유 모노이드(free monoid)

자유 모노이드는 집합 X위에서 정의된다.집합 X에 대한 자유 모노이드F(X)[3]X의 원소들로 이루어진 단어[4] 들로 구성되며, 연산은 붙여쓰기(juxtaposition)이다. 그리고 항등원은 빈 문자열e=[]이다. 예를 들어, X={a,b}에 대해, 다음이 성립한다.

[],[a],[b][babaa]F(X)

[ababa][abaaaaaaa]=[ababaabaaaaaaa]

|X|>1이면 F(X)는 비가환이고, |X|=1이면 F(X)=N, |X|=0이면 F(X)={[]}이다.

2 가환 모노이드의 그로센딕 확장(Grothendieck extension)

모노이드 M에 대해, M2위의 동치류 를 다음과 같이 정의한다.

TFAE

(a,b)(x,y)
mMaym=bxm[5]

그리고  에 의한 (a,b)의 동치류를 [a,b]M2/라 하자. 이 위의 연산 [a,b][x,y]=[ax,by]라 주면, 이는 결합적이고[e,e]이 항등원으로 가지며, [a,b]의 역원은 [b,a]이다. 즉, (M2/,)은 군이다.
  1. 이동 *는 곱셈을 의미하는 것이 아니다.
  2. 이동 여기서 e를 항등원이라 한다.
  3. 이동 이 표현은 군, 가군 등 모든 free object를 표현하는 데에 쓰인다.
  4. 이동 단어를 []로 묶어 표시하겠다.
  5. 이동 이것이 동치관계인 것을 보이는 것은 아주 쉽다. m의 존재성은 추이성을 보일 때 쓰인다.