1 WLOG
Without Loss Of Generality(일반성을 잃지 않고)
수학에서 무엇을 구하거나 증명할 때는 문제에 없는 가정을 추가하면 모든 경우를 따질 수 없기 때문에 일반적으로는 배척한다. 그러나 특별한 경우(x, y, z 등 문자의 역할을 바꾸어도 식의 의미가 바뀌지 않는 경우 등)에는 가정을 추가해도 문제가 되지 않는 경우가 있는데, 주로 이런 경우에 쓰이는 약어이다.
1.1 예시
- [math]x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=1[/math]의 양의 정수해
문)[math]x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=1[/math]의 양의 정수해를 모두 구하여라.
답)WLOG [math]x\leq y\leq z[/math]라 가정하자.[1] [math]1=x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\leq 3x^{-1}[/math]에서, [math]x\leq 3[/math]이다.[math]x=1[/math]은 불가능하며, [math]x=2[/math]의 경우, [math]1/2=y^{-1}+z^{-1}\leq 2y^{-1}[/math]에서, [math]y\leq 4[/math]이다. 따라서, [math]x=2[/math]의 경우, [math]\left(x,y,z\right)=\left(2,4,4\right)\left(2,3,6\right)[/math]만이 가능하다. 마찬가지로 [math]x=3[/math]의 경우, 마찬가지로 [math]y\leq 3[/math]인데, [math]x\leq y\leq z[/math]란 가정에서, [math]y=3[/math]이다. 따라서, [math]z=3[/math]이다.
종합하면, [math]x\leq y\leq z[/math]라는 가정하에, [math]\left(x,y,z\right)=\left(2,4,4\right)\left(2,3,6\right),\left(3,3,3\right)[/math]이다. WLOG를 풀어주면, 이 순서쌍들을 내부에서 적절히 뒤섞은 순서쌍들을 얻는다.
- 피타고라스 삼중수는, 서로소인 경우만 고려해도 충분하다.
[2]
[math]x^{2}+y^{2}=z^{2}=[/math]의 양의 정수해를 모두 구하여라.WLOG[math]\left(x, y, z \right)=1[/math]라하자.
...
2 TFAE
The Following are All Equivalent(다음은 모두 동치이다.)
2.1 예시
- 정삼각형의 정의
임의의 삼각형에 대해, TFAE(1) 세 각의 크기가 모두 같다.
(2) 세 변의 길이가 모두 같다.
(3) 내심과 외심이 일치한다.
3 ETS
Easy To Show(다음을 보이는 것은 쉽다.) 이건 교수님만 쓸 수 있는 말이라 카더라
Enough To Show(다음을 보이는 것으로 충분하다.)
4 WTS
What To Show(다음을 보이자.)
Want To Show(보이고 싶다.)
4.1 RTS
Remain To Show(다음의 증명이 남아있다.)
Remain To Show(다음을 증명하면 증명이 완료된다.)
5 s.t.
such that(다음과 같은)
6 iff
if and only if(필요충분 조건)
의미는 TFAE의 그것과 같이 동치조건을 나타내지만, TFAE는 여러 명제에 대해 쓰이고, iff는 두 명제에 대해서만 쓰이는 차이점이 있다. 그리고 품사(?) 정도의 차이가 있다.
6.1 예시
- 실수가 음이 아닐 동치조건
임의의 실수 [math]a[/math]는 음수가 아니다 iff [math]\sqrt{a^{2}}=a[/math]
7 Q.E.D.
Quod erat demonstrandum (라틴어: 이 것이 보여져야할 것 이었다.) 증명 완료를 나타낼 때 쓰인다. 검정색 정사각형 모양(■)이나 그냥 정사각형 모양(□)으로 대신하기도 한다.
8 cyc
Cyclic(사이클릭)의 줄임말이다. 주로 원에 내접하는 사각형을 지칭하며, 간혹 시그마에서 순환하는 식들을 표현할때 간단히 index 대신에 사용하기도 한다.
[math]\sum_{cyc}^{ } a = a+b+c[/math]
[math]\sum_{cyc}^{ } \frac{1}{ab} = \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}[/math]
부등식 문제를 풀때 식의 표현을 간략하게 하기 위해 사용하며, 변수가 여러개인 산술·기하 평균 부등식이나 코시-슈바르츠 부등식을 풀 때에도 편리하게 이용된다.
9 ∀
'모든' 이라는 뜻으로, 'for All'의 A를 이용해 ∀x와 같은 꼴로 표기하며 이는 '모든 x에 대하여~' 라는 뜻을 지니고 있다.
10 ∃
'존재한다'의 뜻을 가지고 있다. Exist의 E를 좌우 반전하여 ∃x 와 같은 꼴로 표기하며 이는 '~인 x가 존재한다' 라는 뜻을 가진다.
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