복면산


1 개요

Verbal arithmetic, Alphametic
覆面算

수학 퍼즐의 일종으로, 계산식에서 숫자를 문자나 그림 등으로 가려놓고 어떤 숫자가 들어가는지 알아맞히는 퍼즐이다. 숫자가 마치 복면을 쓰고 있는 것 같다고 하여 복면산이라고 부른다.

[유행 당시 몇몇 용자들은 복면산으로 문장을 만들기도 했다]

2 규칙

  • 같은 문자나 그림끼리는 모두 같은 숫자가 들어가며, 앞자리의 숫자는 무조건 0이 아니다.


3 예제

SEND+MORE=MONEY

가장 유명한 복면산 문제로, 헨리 어니스트 듀드니가 1924년 7월에 발표했다.

정답은 이렇다.

SENDMORY
95671082

풀이 과정을 정리해 보면,

  1. 4자리 숫자를 둘 더했는데 5자리 수가 나왔다면, 그 합의 5번째 자리는 1이다. 따라서, M에는 1이 들어간다.
SEND
+1ORE
1ONEY
  1. 4자리 숫자를 둘 더하는데 그 중 하나의 4번째 자리가 1이라면 그 합이 아무리 커도 12,000 이상이 될 수가 없다. 1은 이미 M에 들어 있다. 따라서 O는 0밖에는 들어갈 수가 없다.
SEND
+10RE
10NEY
  1. 4자리+4자리=5자리이고 뒤의 숫자가 10nn이면, 앞의 숫자는 9END 혹은 89ND 인데, 89ND인 경우 N=0이어야 한다. 0은 이미 O에 들어있으므로, 앞의 숫자는 9END이다.
9END
+10RE
10NEY
  1. E+0=N이면, N은 E보다 1 큰 수이다.
  2. N이 E보다 1 큰 수이고 N+R=E면 R에는 9가 들어가야 하나, 9는 이미 S에 들어가 있어 답이 될 수 없다. 그러면 D와 E의 합은 적어도 10이 되고, N+R+1=E가 되므로 R에는 8이 들어간다.
9END
+108E
10NEY
  1. 0과 1이 이미 각각 O와 M에 들어가 있으므로 Y에 들어갈 수가 못 된다. 그렇다면 D와 E의 합은 적어도 12가 된다.
  2. 남아있는 2 이상 7 이하의 숫자 중 합을 12 이상으로 만들 수 있는 조합은 5+7과 6+7밖에 없다. 그렇다면 D와 E 중 하나는 7이다.
  3. E가 7이면 N이 8이 되어야 하는데 이미 R이 8이므로 E는 7이 될 수 없다. 따라서 D가 7이 된다. 그리고 E는 5 아니면 6이 되어야 한다.
9EN7
+108E
10NEY
  1. E가 6이면 N이 7이 되어야 하는데 이미 D가 7이므로 E는 6이 될 수 없다. 따라서 E는 5가 된다. 그리고 N은 6이 된다.
9567
+1085
1065Y
  1. D가 7이고 E가 5이면 D+E는 12. 그러므로 Y는 2가 된다.
9567
+1085
10652
끝.
잎×잎=들꽃
잎×잎×잎=꽃잎

이것은 한글 복면산 예제이다. 이건 의외로 간단하다. 한글 한 글자가 숫자 하나를 나타낸다고 했을 때, 자연수 중 제곱과 세제곱이 모두 두 자리인 수는 4밖에 없다. 고로, 잎에는 4가 들어간다. 그러면 자연스럽게 들에는 1, 꽃에는 6이 들어간다.

심+영=고자
니^가=고자라니
심영+고니=가고

이것도 한글 복면산 예제이다. 한글 한 글자가 숫자 하나를 나타낸다고 했을 때, 서로 다른 한 자리 수끼리 더해서 두 자리 수가 나올 경우의 수를 모두 분석해 보면,

심\영0123456789
00123456789
112345678910
2234567891011
33456789101112
445678910111213
5567891011121314
66789101112131415
778910111213141516
8891011121314151617
99101112131415161718

일단 '심'과 '영'은 합이 두 자리여야 하고 11은 제외다. 왜냐하면 '고'와 '자'는 다른 숫자여야 하기 때문이다. 그래서 '심'과 '영'은 둘 다 최소 2가 되어야 한다.

그리고, 한 자리 수 x를 한 자리 수 y로 제곱해서(단, x≠y) 네 자리 수가 나올 경우의 수를 모두 대입해 보면

고자라니
372187
386561
451024
464096
641296
657776
742401
844096
946561

가능한 경우의 수는 9가지이며 그 중 양쪽의 '니'가 서로 일치하는 경우의 수는 3가지이며 거기서 7이 세 번 들어가는 6^5를 빼면 2가지이다.

3751024
7351024
5741296
7541296

앞의 경우의 수를 조합해 보면 이와 같이 네 가지가 나온다. 넷 중 하나를 골라내기 위해 마지막 '심영+고니=가고'을 풀 차례다.

일단은 '고'가 1인 것만은 확실하니 경우의 수를 하나하나 대입해 보면,

심영고니가고
371451
731451
571641
751641

이들 중 '심영+고니=가고'가 성립하는 건 맨 앞의 37+14=51 뿐이다. 이를 토대로 확정하면

0123456789

그러므로 답은 다음과 같다.

심+영=고자 → 3+7=10
니^가=고자라니 → 4^5=1024
심영+고니=가고 → 37+14=51


4 이중으로 옳은 복면산

숫자를 의미하는 단어를 쓴 복면산 중에서 그 단어도 등식이 성립하는 경우 이중으로 옳은 복면산이라고 한다.
예를 들어,

FORTY
TEN
+TEN
------
SIXTY

FORTY(40) + TEN(10) + TEN(10) = SIXTY(60)이므로 이중으로 옳은 복면산이다[1].

십 + 십 + 십 = 삼십

마찬가지로 십(10) + 십(10) + 십(10) = 삼십(30)이다. 복면산을 풀면 십=5, 삼=1이 되어 실제로는 5+5+5=15를 나타낸다.


5 삼중으로 옳은 복면산

'십+십+십=삼십'의 경우에는 문자(한글)이 나타내는 등식과 복면산을 풀어서 나오는 등식(5+5+5=15)이 서로 달랐다. 하지만 삼중으로 옳은 복면산은 그 두 등식이 같은 복면산을 의미한다.

예를 들어,

오 + 오 + 오 = 십오

의 경우, 복면산을 풀면 오=5, 십=1이 되어 실제로 나타나는 등식도 5+5+5=15로 같은 등식이다.

일 + 일 + 일 + 일 + 일 = 오[2]

의 경우, 복면산을 풀면 일=1, 오=5가 되어 삼중으로 옳은 복면산에다가 실제로 나타내는 수와 그 수를 나타내는 글자까지 일치한다. 경우에 따라 이를 사중으로 옳은 복면산이라고도 한다.

삼중으로 옳은 복면산은 특성상 영어나 유럽 계통 언어로는 수를 나타내는 단어의 글자 수가 많아 사실상 불가능하다. 반대로 수를 나타내는 단어의 글자 수가 적은 한자를 쓰는 3나라의 언어로는 비교적 만들기 쉽다.


6 그 외

  • 경우에 따라서 계승, 긴 곱셈, 긴 나눗셈도 등장하기도 하며, 기약분수 형태로도 등장한다.
  • 어떤 숫자라도 가능하다는 뜻으로 문자 대신 □이나 * 기호를 사용한 것은 충식산(蟲食算)이라 부르기도 한다.
    • 가끔씩 복면산과 충식산을 배배꼬아서 만든 문제들도 있다. PUZZLE WORLD와 프랑스의 8년동안 나온 퍼즐 월간지 [스핑크스(Sphinx)]의 문제들 등.
  • 일본어 복면산으로는 [타미야 카츠야의 작품들]이 비교적 유명하다. 그런데 이 분은 교토쇼기의 룰을 만든 사람과 같은 사람이다.
  1. 참고로 이 문제는 tvN의 예능 프로그램인 뇌섹시대 문제적 남자에서도 나온 바 있다.
  2. '일+일+일+일=사'는 복면산이 아니다. 일=1, 사=4일 때도 성립하지만, 일=2, 사=8일 때도 성립하게 되버려서 해가 유일하지 않기 때문이다.