오일러의 등식

1 개요

Euler's equation.

[math] e^{ i \pi } + 1 = 0 [/math]

오일러의 책 <Introduction in Analysis Infinitorum>에 수록되어 있는 등식 중 하나이다.

수학계에서 '이 세상의 어떤 다이아몬드보다 멋지고, 어떤 보물보다 진귀한 등식'이라는 평가를 받은 등식이다. [1] [2] 물론 다른 식을 더 선호하는 사람들도 많이 있다. 비교적 더 많은 동의를 받는다는 차이가 있을 뿐이다.

2 유도법

오일러의 공식인 [math] e^{ ix } = \cos{ x } + i \sin{ x } [/math]에 [math] x = \pi [/math]를 대입하면 유도 끝.

[math] \cos{ \pi } = -1, \sin{ \pi } = 0[/math]이므로[3] [math] e^{ i \pi } = -1 [/math].

[math] -1 [/math]을 이항하면 [math] e^{ i \pi } + 1 = 0 [/math].

여기서 [math] e [/math]는 자연상수, [math] i [/math]는 허수단위, [math] \pi [/math]는 원주율, 그리고 0과 1은 누구나 알고 있을 것이므로 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.[4]

3 응용

  • [math]\displaystyle i^n = \cos{ \frac{ n \pi }{ 2 } } + i \sin{ \frac{ n \pi }{ 2 } } [/math]
  • [math]\displaystyle i^i = { \left( e^{ \ln{ i } } \right) }^i = { \left( e^{ i \left( 2k \pi + \frac{ \pi }{ 2 } \right) } \right) }^i = e^{ { i^2 }{ \left( 2k \pi + \frac{ \pi }{ 2 } \right) } } = e^{- \left( 2k \pi + \frac{ \pi }{ 2 } \right) }[/math][5]
  • [math]\displaystyle i! = \Gamma \left( 1 + i \right) \approx 0.4980 - 0.1549i [/math][6]
  • [math]\displaystyle |i!| = \sqrt{ \frac{ \pi }{ \sinh{ \pi } } } \approx 0.521564... [/math]
  • [math]\displaystyle \log_{ i }{ x } = \frac{ 2 \ln{ x } }{ i \pi } [/math]
  • [math]\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ -1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e } \approx 1.54308064... [/math][7]
  • [math]\displaystyle \sin{ i } = -i\sinh{ -1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i \approx 1.17520119i... [/math][8]
  • ???
  • PROFIT!!!

4 평가

수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 수학 사상 가장 유명한 동시에 영역이 달랐던 다섯 가지 수인 0, 1(산술또는 정수학), 자연상수(해석학), 원주율(기하학), 그리고 허수단위 [math]\displaystyle i [/math](대수학)가 모두 들어가 있으며, 수학에서 가장 기초가 되는 네 가지 연산 [9] 덧셈, 곱셈, 지수 그리고 등호가 모두 쓰이며 거기에 덧셈의 항등원 0과 곱셈의 항등원 1 도 등장한다.

리처드 파인만은 이 식을 "수학에서 가장 비범한 식"이라고 불렀다.

카를 프리드리히 가우스는 "이 식이 곧바로 이해되지 않는 학생이라면, 1급 수학자가 되긴 틀린 것"이라고 했다.

SF 소설가 테드 창은 이 식을 보며 "마치 절대적인 진리의 편린을 목격한 듯한 외경심을 느낀다"고 했다.

박사가 사랑한 수식의 제목은 이 등식을 가리킨다.

Q.E.D. 증명종료에도 이 등식과 관련한 사건이 나오며당연하잖아, 주인공이 천재니까, "인류의 수학사상 가장 아름다운 공식"이라 칭한다.

이야기 시리즈의 주인공 아라라기 코요미는 이 공식을 두고 '미지라는 것은 우리가 모르는 것 뿐이지 그 정체는 처음부터 정해져 있는 것이 아닐까 생각하게 된다'고 평했다. 반면에 오시노 오기는 '답이 0이 될 바에야 애초에 계산하지 않는 편이 좋다'고 하기도 했다. 궤변을 좋아하는 작가 니시오 이신의 색깔이 여과없이 드러나는 장면이다.
  1. ↑ 하지만 수학을 좀 했다는 사람에게 이 식이 멋지다고 강요하지는 말자. 사람의 생각은 모두 다른 법이며, '비교적' 이 등식이 아름답다는거지 얼마든지 아름다운 수식은 많다. 오일러의 공식자체가 지수와 삼각함수를 연결한다는 점에서 더 아름답다는 의견도 있으며, 모든 대수의 기본이 된다는 점에서 [math] 1 + 1 = 2 [/math]가 가장 아름답다는 의견도 있고 원이 가장 아름답다는 사람이 있다. 해밀토니안이 아름답다는 사람도 있다. 취향입니다 존중해주시죠
  2. ↑ 이 식이 아름다운 이유에 대해서 각자 이유가 다르겠지만 가장 유명한 초월수 두 개와 허수 그리고 덧셈의 항등원과 곱셈의 항등원으로 이루어진 점이 많은 수학자들의 흥미를 일으킨다고 한다.
  3. ↑ 여기서의 각도 단위는 라디안.
  4. ↑ 0과 1은 각각 덧셈과 곱셈에 대한 항등원이다.
  5. ↑ [math]k=0[/math]인 경우 [math]0.207879576\ldots[/math]라는 근사값이 나온다. 여기서 k는 정수이다. k가 등장하는 이유는, k가 정수일 때 [math]e^{2ki\pi}=1[/math]이기 때문. 삼각함수의 역함수를 정의할 때를 생각해보면 이해하기 쉽다.
  6. ↑ 감마 함수의 정의에 복소수를 넣어서 계산한 것이다. 엄밀히 말해서 팩토리얼은 자연수 영역에서만 정의된다.
  7. ↑ [math]\cos{x} = \cosh{ix}[/math]에 [math]x=i[/math]를 대입했다.
  8. ↑ [math]\sin{x} = \frac{\sinh{ix}}{i} = -i\sinh{ix}[/math]에 [math]x=i[/math]를 대입했다.
  9. ↑ 뺄셈은 음수의 덧셈으로 대체할 수 있고, 나눗셈은 역수의 곱셈으로 표현할 수 있다. 사칙연산이라는 말을 보고 뺄셈과 나눗셈이 없다고 생각하지 말자.