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스튜어트의 정리

Stewarts Theorem

1 개요

스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 증명한 정리로, 삼각형 관련 문제를 풀 때 아주 유용한 정리이다. 한국의 수학 교육과정에선 가르치지 않지만, 중학교 때 경시대회를 준비하거나, 아니면 수학에 따로 관심이 있다면 한 번쯤은 보게 되는 정리 중 하나이다. 자세한 내용은 다음과 같다.
Stewarts_thm.png

mb2+nc2=(m+n)(mn+d2)=a(mn+d2)

혹시 눈치챈 사람이 있을진 모르지만, 파푸스의 중선 정리의 일반화된 버전이다. 저기서 만약 m=n이면, mb2+mc2=2m(m2+d2)이고, 양변을 m로 나눠주면 b2+c2=2(m2+d2)이 되어 보통 고등학교 때 배우는 파푸스의 중선 정리가 된다.

2 증명

2.1 코사인 법칙

두 변 md가 이루는 각을 θ라 하자.

그럼 오른쪽 삼각형에서 코사인 법칙에 의해, c2=m2+d22mdcosθ이다.
왼쪽 삼각형에서 코사인 법칙에 의해, b2=n2+d22ndcos(πθ)=n2+d2+2ndcosθ이다.
첫번째 식에 n을, 두번째 식에 m을 곱하여 더해주면,
mb2+nc2.
=m2n+nd22mndcosθ+mn2+md2+2mndcosθ.
=m2n+mn2+md2+nd2.
=mn(m+n)+d2(m+n).
=(m+n)(mn+d2)=a(mn+d2).

2.2 피타고라스 정리

꼭짓점 A에서 대변에 수선을 내린뒤, 삼각형 3개에 대해 피타고라스 정리를 사용하여 정리해주면 된다.
파일:OFSf6YN.png
¯AH=h,¯DH=x라 하자.

그럼 ADH에서 피타고라스 정리에 의해, h2+x2=d2이다.
AHB에서 마찬가지로
h2+(mx)2=c2,
h2+m22mx+x2=d2+m22mx=c2이다.

그리고 AHC에서 마찬가지로
h2+(n+x)2=b2,
h2+n2+2nx+x2=d2+n2+2nx=b2이다.

두번째 식에 n을, 세번째 식에 m을 곱하여 더해주면,
nd2+m2n2mnx+md2+mn2+2mnx
=d2(m+n)+mn(m+n)
=(m+n)(mn+d2)
=a(mn+d2)=mb2+nc2.