Stewarts Theorem
1 개요
스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 증명한 정리로, 삼각형 관련 문제를 풀 때 아주 유용한 정리이다. 한국의 수학 교육과정에선 가르치지 않지만, 중학교 때 경시대회를 준비하거나, 아니면 수학에 따로 관심이 있다면 한 번쯤은 보게 되는 정리 중 하나이다. 자세한 내용은 다음과 같다.
[math]mb^2+nc^2=\left(m+n\right)\left(mn+d^2\right)=a\left(mn+d^2\right)[/math]
혹시 눈치챈 사람이 있을진 모르지만, 파푸스의 중선 정리의 일반화된 버전이다. 저기서 만약 [math]m=n[/math]이면, [math]mb^2+mc^2=2m\left(m^2+d^2\right)[/math]이고, 양변을 [math]m[/math]로 나눠주면 [math]b^2+c^2=2\left(m^2+d^2\right)[/math]이 되어 보통 고등학교 때 배우는 파푸스의 중선 정리가 된다.
2 증명
2.1 코사인 법칙
두 변 [math]m[/math]과 [math]d[/math]가 이루는 각을 [math]\theta[/math]라 하자.
그럼 오른쪽 삼각형에서 코사인 법칙에 의해, [math]c^2=m^2+d^2-2md\cos\theta[/math]이다.
왼쪽 삼각형에서 코사인 법칙에 의해, [math]b^2=n^2+d^2-2nd\cos\left(\pi-\theta\right)=n^2+d^2+2nd\cos\theta[/math]이다.
첫번째 식에 [math]n[/math]을, 두번째 식에 [math]m[/math]을 곱하여 더해주면,
[math]mb^2+nc^2[/math].
[math]=m^2n+nd^2-2mnd\cos\theta+mn^2+md^2+2mnd\cos\theta[/math].
[math]=m^2n+mn^2+md^2+nd^2[/math].
[math]=mn\left(m+n\right)+d^2\left(m+n\right)[/math].
[math]=\left(m+n\right)\left(mn+d^2\right)=a\left(mn+d^2\right)[/math].
2.2 피타고라스 정리
꼭짓점 [math]A[/math]에서 대변에 수선을 내린뒤, 삼각형 3개에 대해 피타고라스 정리를 사용하여 정리해주면 된다.
파일:OFSf6YN.png
[math]\overline{AH}=h,\overline{DH}=x[/math]라 하자.
그럼 [math]\triangle{ADH}[/math]에서 피타고라스 정리에 의해, [math]h^2+x^2=d^2[/math]이다.
[math]\triangle{AHB}[/math]에서 마찬가지로
[math]h^2+\left(m-x\right)^2=c^2[/math],
[math]h^2+m^2-2mx+x^2=d^2+m^2-2mx=c^2[/math]이다.
그리고 [math]\triangle{AHC}[/math]에서 마찬가지로
[math]h^2+\left(n+x\right)^2=b^2[/math],
[math]h^2+n^2+2nx+x^2=d^2+n^2+2nx=b^2[/math]이다.
두번째 식에 [math]n[/math]을, 세번째 식에 [math]m[/math]을 곱하여 더해주면,
[math]nd^2+m^2n-2mnx+md^2+mn^2+2mnx[/math]
[math]=d^2\left(m+n\right)+mn\left(m+n\right)[/math]
[math]=\left(m+n\right)\left(mn+d^2\right)[/math]
[math]=a\left(mn+d^2\right)=mb^2+nc^2[/math].