코사인 법칙

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1 개요

한국의 수학 교육과정 상 고등학교 때 배우게 되는 삼각형 및 삼각함수에 관한 정리. 사인 법칙과 함께 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 찾을 때 유용한 정리이다. 한국에서는 이상하게도 제 1 코사인 법칙, 제 2 코사인 법칙의 두가지로 나누는데, 세계적으로 코사인 법칙이라 하면 제 2 코사인 법칙만을 가리킨다. 사실 제 1 코사인 법칙은 법칙이라 하기에는 조금 민망하다.
2017년 수능부터는 출제되지 않는다. 하지만 2021년 수능부터는 다시 출제된다.(수학 1 문서 참고)

2 제 1 코사인 법칙

1. [math]a=b\cos C+c\cos B[/math]
2. [math]b=c\cos A+a\cos C[/math]
3. [math]c=a\cos B+b\cos A[/math]

2.1 증명

[math]\triangle{ABC}[/math]의 꼭짓점 [math]A[/math]에서 대변 [math]\overline{BC}[/math](혹은 그 연장선) 에 내린 수선의 발을 점 [math]D[/math]라 하자.

1. [math]\triangle{ABC}[/math]가 예각삼각형:
   파일:N4P8gSi.png
   [math]a=\overline{BD}+\overline{CD}=c\cos B+b\cos C[/math]
   
2. [math]\triangle{ABC}[/math]가 둔각삼각형:
   파일:IU6Vuv9.png
   [math]a=\overline{BD}-\overline{CD}=c\cos B-b\cos\left(180^{\circ}-C\right)=c\cos C+b\cos C[/math]
   
3. [math]\triangle{ABC}[/math]가 직각삼각형:
   파일:CCW15TU.png
   [math]a=\overline{BD}=c\cos B[/math]. 한편, [math]\angle C=90^{\circ}[/math]이므로, [math]\cos C=0[/math]. [math]\therefore a=c\cos B+b\cos C[/math]

나머지 세 변에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.

3 제 2 코사인 법칙

 1. [math]a^2=b^2+c^2-2bc\cos A[/math]
 1. [math]b^2=c^2+a^2-2ca\cos B[/math]
 1. [math]c^2=a^2+b^2-2ab\cos C[/math]

3.1 증명

[math]\triangle{ABC}[/math]의 꼭짓점 [math]A[/math]에서 대변 [math]\overline{BC}[/math](혹은 그 연장선) 에 내린 수선의 발을 점 [math]D[/math]라 하자.

[math]\triangle{ABC}[/math]가 예각삼각형인 경우(2.1의 그림 참조), 삼각함수의 정의로부터

[math]\overline{AD} = c\sin B[/math]
[math]\overline{DC} = a - c\cos B[/math]
[math]\overline{AC} = b[/math]

이고, [math]\triangle{ADC}[/math]는 직각삼각형이므로, 피타고라스의 정리로부터

[math] b^2 = (c\sin B )^2 + (a - c\cos B)^2 = c^2 \sin^2 B + c^2 \cos^2 B + a^2 - 2ac\cos B [/math]

를 얻는다. [math]1 = \sin^2 B + \cos^2 B [/math]이므로 바로 [math]b^2=c^2+a^2-2ca\cos B[/math]를 얻는다.

[math]\triangle{ABC}[/math]가 둔각삼각형이거나 직각삼각형의 경우에도 직각삼각형 [math]\triangle{ADC}[/math]을 이용하면 같은 식을 얻을 수 있고, 나머지 두 식에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다.

여기서 [math]1 = \sin^2 B + \cos^2 B [/math] 이 피타고라스의 정리와 삼각함수의 정의에서 유도되므로, 제 2 코사인 법칙은 피타고라스의 정리와 삼각함수의 정의의 결과, 또는 피타고라스의 정리를 삼각함수의 정의를 이용하여 확장한 것이라고 할 수 있다.

3.2 제 1 코사인 법칙을 사용한 증명

제 1 코사인 법칙으로부터도 유도가 가능하다. 1번 식에 [math]a[/math]를 곱하면

[math]a^2=ab\cos C+ac\cos B\,\cdots4[/math].

2번 식에 [math]b[/math]를 곱하면

[math]b^2=bc\cos A+ab\cos C\,\cdots5[/math].

3번 식에 [math]c[/math]를 곱하면

[math]c^2=ac\cos B+bc\cos A\,\cdots6[/math].

이제 4-5-6을 해주면, [math]a^2-b^2-c^2=ab\cos C+ac\cos B-bc\cos A-ab\cos C-ac\cos B-bc\cos A=-2bc\cos A[/math]이고, 정리해주면 [math]a^2=b^2+c^2-2bc\cos A[/math]. 나머지 두 식도 비슷한 방법으로 증명이 가능하다.

3.3 Phasor 와 복소수를 이용한 증명

파일:제2코사인.png
그림에서 [math] \vec{C} = \vec{A} + \vec{B} [/math] 이므로 이를 Phasor로 표현하면 다음과 같다

[math] Ce^{i\gamma} = Ae^{i\alpha} + Be^{i\beta} [/math]
여기에서 오일러 공식 [math] e^{ ix } = cos{ x } + i sin{ x } [/math] 을 이용하여
[math] C(cos{\gamma}+i sin{\gamma}) = A(cos{\alpha}+i sin{\alpha}) +B(cos{\beta}+i sin{\beta}) [/math]
이를 실수부와 허수부로 나누어 쓰면

실수부 : [math] C cos{\gamma} = A cos{\alpha} + B cos{\beta} [/math]
허수부 : [math] C sin{\gamma} = A sin{\alpha} + B sin{\beta} [/math]
이제 두 식을 각각 제곱하여 더하자,

[math] C^2 cos^2 {\gamma} + C^2 sin^2 {\gamma} = A^2 cos^2 {\alpha} + A^2 sin^2{\alpha} + B^2 cos^2{\beta} + B^2 sin^2{\beta} + 2(cos{\alpha}cos{\beta}+ sin{\alpha}sin{\beta}) [/math]

[math] sin^2{x}+cos^2{x} = 1 [/math] 이고
[math] cos( \alpha-\beta ) =cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta [/math]
임을 이용해 윗 식을 정리하면

[math] C^2 = A^2 + B^2 + 2 AB cos(\alpha -\beta) [/math]

파일:제2코사인추가.png
그림을 잘 관찰하면, 끼인 각 [math] \theta [/math]와 [math] \alpha , \beta [/math] 사이에는

[math] \alpha- \beta = - (\pi +\theta) [/math] 의 관계가 있으므로,

정리식 [math] C^2 = A^2 + B^2 + 2 AB cos(\alpha -\beta) [/math] 의 삼각함수 항 [math] cos(\alpha - \beta) [/math] 는
삼각함수의 성질에 의해 [math] cos(\alpha -\beta) = cos(- (\pi +\theta)) = - cos{\theta}[/math]
따라서 [math] C= \sqrt{A^2+B^2 -2AB cos \theta } [/math] (C는 길이이므로 항상 양수)

4 활용

두 변과 그 끼인각을 알 때 나머지 한 변의 길이를 이 공식을 사용해서 알 수 있다. 혹은 코사인 값만 한 쪽에 둔 뒤 나머지 값을 전부 다른 쪽으로 몰아주면 [math]\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/math]가 되는데, 이는 세 변의 길이를 알 때 각의 크기를 구하는 데에 쓰인다. 혹시 눈치 챈 사람이 있을진 모르지만, 위 두 조건은 삼각형의 결정 조건이다. 즉, 삼각형에서 제 2 코사인 법칙의 두 식은 해가 반드시 하나이다. 값에 따라서 해가 2개 나올 수도 있는 사인 법칙과는 구분되는 점. 또한 제 2 코사인 법칙을 잘 보면 알겠지만, 피타고라스 정리의 일반화라고 할 수 있다.

5 관련 항목

• 삼각함수
• 사인 법칙
• 삼각형