앙페르의 법칙

언어별 명칭
영어	Ampere's law
프랑스어	loi d'Ampère

1 개요

앙드레 앙페르(André-Marie Ampère, 1775년 1월 20일 ~ 1836년 6월 10일)가 발견한 앙페르 법칙은 특정 경로의 자기장과 경로 내부의 알짜 전류의 관계에 대한 법칙이다.

2 초기이론

적분형	미분형
$$\oint \vec {H}\cdot d{s} = \int {J} \cdot d{a}$$	$$\nabla \times \vec{H} = J$$

각각의 의미는 다음과 같다. H는 자기장, ds는 곡면의 미분요소, J 는 곡면을 지나는 전류밀도.

위의 공식은 자유전류조건에서 나온 공식이다. 총전류(Total current)조건하에서 유도되는 공식은

적분형	미분형
$$\oint \vec {B}\cdot d{s} = \mu_{0} \int {J} \cdot d{a}$$	$$\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}J$$

3 맥스웰 방정식

이 식은 이후 맥스웰이 유도자기장에 대한 식과 합쳐 완성시킨다. 이를 수정된 앙페르의 법칙(또는 회로법칙)이라고 하고 유도된 식을 앙페르-맥스웰 방정식이라고 부르며 맥스웰 방정식으로 묶어부르는 방정식들 중 하나다. 축전기에 적용하면 축전기 내부의 빈 공간에서 전류가 흐르지 않음에도 자기장이 생기는 앙페르가 제안한 이론의 헛점을 발견한 맥스웰이 시간에 따라 변하는 전기장도 전류로 보는 변위전류라는 개념을 도입하여 만들었다.

적분형	미분형
$$\oint \vec {H}\cdot d{s} = \int {J} \cdot d{a}+ \displaystyle {d \over dt} \int {D} \cdot d{a}$$	$$\nabla \times \vec{H} = J + \displaystyle {\partial{D} \over \partial{t} }$$

$$\mathbf{D}$$ 는 물질의 영향을 고려해 다음과 같이 정의하는 변위(electric displacement)장이다.
$$\mathbf{D}=\epsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P}$$

• 진공에선 물질의 편극밀도 $$\mathbf{P}$$ 가 0이므로 $$\epsilon_{0}\mathbf{E}$$
• 선형유전체에선 $$\epsilon_{material}\mathbf{E}$$

H는 마찬가지로 물질의 영향을 자기장에 적용한 보조장으로 $$\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B}-\mathbf{M}$$ 으로 마지막 항이 물질의 영향을 의미한다.

고등학교에서 상황별로 따로 가르치는 여러 가지 자기장 계산공식들은 모두 앙페르의 법칙에서 유도된 것들이다. 예를 들어 직선 전류가 흐르는 도선으로 부터 r 만큼 떨어진 곳의 자속밀도 B는

$$\oint \vec {B}\cdot d\vec {S}=\mu _{0}i_{enc}$$
$$B(2 \pi R) = \mu_{0}i_{enc}$$

$$B = \displaystyle { \mu_{0}i_{enc} \over 2 \pi r}$$