야코비안

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Jacobian, 야코비안

1 대학교 미분적분학에서의 야코비안

1.1 개요

다중적분(Multiple integral)(Area, Volume, Surface integral)을 할 때, 뒤에 붙는 dA, dV, dS 등을 같은 dimension의 좌표계끼리 변환시켜 주는 데 쓰이는 행렬이다. 예를 들어, 면적분의 변수를 바꾸기 위해 $$(x, y)$$ 로 표현되는 좌표를 $$( r, \theta )$$ 으로 바꿔줄 때 $${ J } = \left|\begin{array}{cc} \dfrac{ \partial x }{ \partial r } \quad \dfrac{ \partial x }{ \partial \theta }\\ \dfrac{ \partial y }{ \partial r } \quad \dfrac{ \partial y }{ \partial \theta }\end{array}\right|$$ 임을 이용하여

• $$dA = \left| { J } \right| drd\theta = rdrd\theta$$

로 바꿔주어 적분하게 된다. 이것을 이용하면 그나마 라플라시안의 노가다를 줄이게 해준다

1.2 유도

벡터를 이용한 면적의 넓이 공식 및 다변수 함수의 전미분으로부터 유도할 수 있다.
간단하게 2차원 직교 좌표계의 경우를 보자.

$$\displaystyle \text{d}x$$ , $$\text{d}y$$ 가 각각 $$x$$ 축, $$y$$ 축에 평행한 미소 길이므로 단위 벡터 $$e_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 를 이용하여 나타내면 각각
$$\displaystyle \text{d}x e_{1} = \begin{pmatrix} \text{d}x \\ 0 \end{pmatrix}, \text{d}y e_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ \text{d}y \end{pmatrix}$$
가 된다. 두 벡터를 변으로 삼는 직사각형의 넓이는 각 열벡터를 병합한 2차 정방 행렬의 행렬식이므로 xy직교좌표계에서의 미소 면적의 넓이는

$$\displaystyle \begin{Vmatrix} \text{d}x & 0 \\ 0 & \text{d}y \end{Vmatrix} = \left| \text{d}x\text{d}y \right|$$
로 주어진다.

한편 $$\displaystyle x, \ y$$ 가 극좌표 매개변수 $$\displaystyle r, \ \theta$$ 로 나타낼 수 있는 함수 $$\displaystyle x \left(r, \ \theta \right), y \left(r, \ \theta \right)$$ 라고 할 때 각각의 전미분 $$\displaystyle \text{d}x, \ \text{d}y$$ 는 다음과 같이 된다.
$$\displaystyle \text{d}x = \frac{\partial x}{\partial r} \text{d}r + \frac{\partial x}{\partial \theta} \text{d}\theta$$
$$\displaystyle \text{d}y = \frac{\partial y}{\partial r} \text{d}r + \frac{\partial y}{\partial \theta} \text{d}\theta$$

위의 표기를 행렬 표현을 이용하면 다음과 같이 되는데

$$\displaystyle \begin{pmatrix} \text{d}x \\ \text{d}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} \text{d}r + \frac{\partial x}{\partial \theta} \text{d}\theta \\ \frac{\partial y}{\partial r} \text{d}r + \frac{\partial y}{\partial \theta} \text{d}\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{d}r \\ \text{d}\theta \end{pmatrix}$$

$$\displaystyle \text{d}r, \text{d}\theta$$ 를 단위로 삼는 벡터에 계수 행렬이 곱해진 꼴이라는 것을 알 수 있다.
$$\displaystyle \text{d}r, \text{d}\theta$$ 역시 서로 독립된 변수이므로 직교하는 벡터라 볼 수 있다. 미소 넓이를 구하기 위해 단위 벡터 $$e_{1}, e_{2}$$ 를 이용하여 각각 분리하고
$$\displaystyle \text{d}r e_{1} = \begin{pmatrix} \text{d}r \\ 0 \end{pmatrix}, \text{d}\theta e_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ \text{d}\theta \end{pmatrix}$$
위의 열벡터를 병합한 2차 정방행렬을 $$\displaystyle \text{d}x$$ , $$\text{d}y$$ 의 2차 정방행렬과 함께 각각 위 식의 좌우변에 대입하여 행렬식을 씌워준다.

$$\displaystyle \begin{Vmatrix} \text{d}x & 0 \\ 0 & \text{d}y \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{d}r & 0 \\ 0 & \text{d}\theta \end{pmatrix} \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{Vmatrix} \begin{Vmatrix} \text{d}r & 0 \\ 0 & \text{d}\theta \end{Vmatrix}$$
$$= \left| \text{d}x\text{d}y \right| = \left| J \right| \left| \text{d}r\text{d}\theta \right|$$

일반적으로 $$\text{d}x\text{d}y, \text{d}r\text{d}\theta$$ 가 양의 값이 되도록 좌표축을 잡으므로

$$\text{d}x\text{d}y = \left| J \right| \text{d}r\text{d}\theta$$

3차원 공간 좌표계를 이용해서도 같은 방법으로 유도할 수 있다.

1.3 예시

• 직교 좌표계 → 극좌표계로의 변환

양수 $$a, b$$ 에 대하여
$$\begin{cases} x = ar \cos{\theta} \\ y = br \sin{\theta} \end{cases}$$
에서
$$\left| J \right| = \begin{Vmatrix} a \cos{\theta} & -ar \sin{\theta} \\ b \sin{\theta} & br \cos{\theta} \end{Vmatrix} = ab \left| r \right|$$
r이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면 $$\left| J \right| = abr$$
$$a \ne b$$ 일 때 타원이며 $$a = b$$ 일 때 원. 두 경우 모두 $$r$$ 의 범위가 $$0 \le r \le 1$$ 로 주어지는 특징이 있다. 원에 한해서는 그냥 $$a = b = 1$$ 로 하고 반지름 $$R$$ 에 대해 $$r$$ 의 범위를 $$0 \le r \le R$$ 로 잡아도 된다.

• 공간 좌표계 → 원통 좌표계로의 변환

$$\begin{cases} x = r \cos{\theta} \\ y = r \sin{\theta} \\ z = \zeta \end{cases}$$
에서
$$\left| J \right| = \begin{Vmatrix} \cos{\theta} & -r \sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & r \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{Vmatrix} = \left| r \right|$$
$$xy$$ 평면에 평행한 단면이 타원일 경우 역시 위의 값에 $$ab$$ 를 곱한다. $$r$$ 이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있다.

• 공간 좌표계 → 구좌표계로의 변환

$$\begin{cases} x = r \sin{\theta} \cos{\phi} \\ y = r \sin{\theta} \sin{\phi} \\ z = r \cos{\theta} \end{cases}$$
에서
$$\left| J \right| = \begin{Vmatrix} \sin{\theta}\cos{\phi} & r \cos{\theta} \cos{\phi} & -r \sin{\theta} \sin{\phi} \\ \sin{\theta} \sin{\phi} & r \cos{\theta} \sin{\phi} & r \sin{\theta} \cos{\phi} \\ \cos{\theta} & -r \sin{\theta} & 0 \end{Vmatrix} = \left| r^{2} \sin{\theta} \right| = r^{2} \left| \sin{\theta} \right|$$

$$\sin{\theta}$$ 값이 음수가 안 되도록 범위를 잡으면 절댓값 기호를 그냥 벗길 수 있다.

타원이나 마름모꼴같이 변수들의 범위를 잡기 힘든 경우에 요긴하게 자주 쓰이는 $$x+y=u, x-y=v$$ 변환의 경우는 야코비안 값이 $$J=1/2$$ 이다. 대학수학때 이것만 알아도 야코비안 값 구하는 시간을 벌 수 있어 아주 요긴한 녀석이다. 추가로 덩달아 자주 쓰이는 $$2x-y=u, y=v$$ 의 경우에도 $$J=1/2$$ .

2 대학교 선형대수학에서의 야코비안

선형대수학이나 공업수학의 상미분방정식 파트의 연립상미분방정식(system of ODE)에서 등장한다. non-homogeneous ODE의 critical point 근처에서의 거동을 알아보기 위해 non--homogeneous항을 선형성있게 행렬로 근사한 후 값을 대입하여 solution curve의 개형을 알아본다.

n원일차연립방정식에서는 n x n의 야코비 행렬이 쓰인다.

만약 critical point 근처라면, x'(t)와 y'(t)는 다음과 같은 합으로 나타낼 수 있다.

()

여기서, critical point 근처에서는 x'(t)≈0, y'(t)≈0이므로 oo항을 날릴 수 있다.

(미완성)