선형대수학

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1 개요

Linear Algebra(리니어 알지브라)

덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간(vector space)과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형함수(linear map)에 관한 학문. 줄여서 선대라고도 한다.

선형대수학의 벡터(vector)는 2차원이나 3차원에 그릴 수 있는 벡터뿐만이 아니라, 덧셈/뺄셈과 실수배(혹은 복소수배)가 가능한 추상적인 대상들로 정의된다. 우리가 잘 알고 있는 2차원 공간과 3차원 공간의 핵심 성질을 덧셈과 상수곱이라는 두 연산으로 기술하고, 이를 추려 추상화 및 일반화를 시도하는 것. 예를 들어 n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수상수곱을 주면 이는 "[math]n[/math]차원" 벡터공간이라 할 수 있고, 이를 [math]\mathbb{R}^{n}[/math] 이라 한다. 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상이라 하는데, 그 정체는 행렬이다.

어떻게 생각하면 선형대수학은 고교 과정인 고급 수학 I(2007 개정 교육과정)의 '행렬'과 기하와 벡터의 '벡터'를 일반화시켜 어렵게 배우는 것"이라고도 볼 수도 있다. 벡터공간의 구조만을 본다면 그다지 복잡하지 않은 것은 사실이다. 하지만 선형사상으로 넘어간다면 그 성질은 놀랍게 풍부해지고, 군론이나 표현론의 영역까지 들어갈 정도로 수준이 높아지면 우주의 신비를 연구하는 수준이 되어버린다. 녹록하지만은 않은 과목이다.

선형대수의 진가 중 하나는 거의 모든 수학과목의 토대가 되는 범용성이다. 미적분학에선 변수가 조금만 많아져도 선형대수학이 튀어나오고, 기하학에선 거의 모든 공간을 국소적으로 선형대수학의 [math]\mathbb{R}^{n}[/math]이나 [math]\mathbb{C}^{n}[/math] 으로 근사시켜 연구한다. 함수들을 벡터로 생각한다는 사고방식은 미분방정식의 이론과 풀이의 해석으로 발전한다. 물리적 상태들을 고차원 추상적 벡터로 나타내고, 이들의 선형적 중첩을 생각하는 양자역학의 기초가 되는 것은 당연. 애초에 그 과목은 위상수학이나 현대대수학 뺴고 다 필요한 과목 아닌가

자연과학이 아닌 분야에서도 등장하는데, 통계에서 복합적 자료들을 다루는데 필수로 쓰이고, 심지어는 이산적인 대상을 다루는 암호론이나 부호 이론(coding theory)에도 매우 중요하게 쓰이는 도구이다. [math]0[/math]과 [math]1[/math]로 이루어진 벡터공간이라니 상상이나 되는가

2 이과에게

2.1 공대생들은

극히 예외를 제외하면 안 배울 수가 없다.

공대생들 중에는 선형대수학이라는 이름의 과목을 수강해본 적이 없는 경우도 없진 않다. 하지만 공업수학에서 행렬을 배운다면 당신은 이미 선형대수학을 공부하고 써먹는 것이다.

공업수학의 선형대수 과정은 주로 행렬에 초점이 맞추어져 있다. 기저(basis)의 개념, 행렬의 계수(rank)/열공간(column space)/영공간(null space), 연립방정식의 풀이, 행렬식(determinant), 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)까지는 공통된 내용이지만, 여러 decomposition과 Jordan normal form의 실제 계산 등은 수학과에서는 잘 가르치지 않는 부분이다. 주로 행렬을 간단히 나타내고 쉽게 계산하는 방법에 초점을 맞추게 된다.

개념적인 부분은 주로 basis에 치중되어 있으므로 만약 증명을 처음부터 끝까지 이해하고 활용할 게 아니라면 오로지 계산이 어떻게 되는지만 알아도 무방하게 느껴질 과목이다. 당장 그렇게 사용할 수 있으니까. 그렇지만 (모든 수학 과목이 그렇듯이) 기본적인 개념이 잘 확립되지 않으면 '난 이 작업을 손으로도 할 수 있어. 컴퓨터가 훨씬 빠르게 할 수 있지만...' 정도로 요약이 된다.

하지만 이 과목의 중요성은 모든 공대 과목의 계산이 앞으로 행렬로 이루어진다는 데에 있다. 변수가 2개 이상인 형태의 식 중에 행렬이 안 들어가는 계산이 있다면 그건 고등학교 수학이라고 봐도 무방할 정도로. 당장 당신이 미분방정식을 풀어야 하는데 함숫값이 2개 이상의 성분을 갖는 벡터에 해당하는 ODE다. 어떻게 풀까?

한편, 선형대수학 지식은 수치해석을 듣는 데 크게 도움이 된다! 공대생들의 친구 MATLAB이 당장 행렬 위에서 돌아가며, 변수가 수두룩하게 많은 문제들을 풀 때 특히나 필요하게 된다. Gauss-Seidel method라던지 Hessian, 유한요소해석 같은 녀석들도 전부 행렬로 돌아간다. 즉 뭐를 하든지간에 선형대수학은 공대생들에게 필수인 것이다.

컴퓨터공학과의 경우 몇몇 분야는 선형대수를 배우지 않아도 전문가가 될 수 있다. 하지만 GPGPU(그래픽카드를 이용한 연산), 기계학습 등에는 선형대수가 반드시 필요하다.

2.2 수학과, 수학교육과 학생들은

해석학과 함께 처음으로 배우는 진짜 수학. 고교 때까지는 어려워봤자 계산이 복잡했을 뿐이며 어디까지나 그 대상은 직관적인 수와 도형 정도로 한정되었지만, 선형대수학부터는 벡터가 더 이상 당신이 직관적으로 상상하는 고전물리학의 그 벡터가 아니게 된다. 선형대수학에서 벡터공간이란, 단순히 그 정의를 만족하는 모든 오브젝트가 될 수 있으며, 벡터는 그 벡터공간의 원소일뿐이다. 모든 [math]R \to R[/math]함수의 집합에도 역시 연산자를 정의하여(보통 componentwise) 벡터공간으로 만들 수 있고, 이렇게 되면 각각의 [math]f:R\to R[/math] 함수가 해당 벡터공간의 벡터가 된다. 그리고, 이 벡터공간에서 연속함수만을 추출하여 부분벡터공간을 그 안에 만들 수도 있고, 거기서 다시 미분가능한 함수를 추려내서 연속함수공간의 부분공간을 만들 수도 있다. 즉, 수학과 커리큘럼 중 고교수학적 직관과 현대수학적 논리가 격하게 충돌하는 첫 번째 과목이고, 추상적 개념과 엄밀한 증명의 사용을 연습하는 장이 된다. 어떤 과목을 배워도 밑바닥에 깔고 시작하는 기본과목이라는 점에서도 해석학과 똑같다.

수학과의 선형대수 과정은 추상적인 대수적 개념들과 선형함수를 먼저 배운 후에, 한참 나중에 학생들에게 친숙한 개념인 행렬과의 연결고리를 보여주는 방식을 취하는 경우도 많다. 공학수학 쪽에서 다루지 않는 개념으로 dual space와 bilinear form, invariant space 등이 있지만, 기본 커리큘럼 이후에는 교수의 재량에 따라서 얼마든지 '이상한 진도'를 뺄 수도 있다. 실제로, 선형대수는 차후 배우는 거의 모든 수학 분야에서 베이스로 깔고 들어가기 때문에 맘만 먹으면 얼마든지 고급 예시나 개념을 끌고 들어와 학생들을 멘붕시킬 수 있는 강력한 과목이다. 이런경우, 전반적으로 계산보다는 대수적 개념이해에 치중하는 것이 특징. 수학과 학생한테 계산문제 풀어달라고 하지 말자. 계산은 공대/물리학과쪽이 더 빠삭한 경우가 많다. 하지만 공대생도 계산기 쓰잖아 아마 안 될 거야

입문 과목으로서의 선형대수학은 본격적인 대수학의 시작으로서 매우 중요하다. 대수학에서 배우는 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 '대수적 구조'들 중 대부분은, 보통 벡터공간에서 성립하는 많은 성질들을 변형된 형태로 가지고 있다. 이는 대수적 구조 중 가장 쉬운 성질을 갖고 있는 것이 벡터공간이기 때문이다. 대수학을 공부한다면 선형대수의 증명 테크닉은 끝없이 반복되어 나타날 것이다.

하지만 테크닉보다도 중요한 것은, 대수학의 사고방식을 체득하는 것이다. 대다수의 대수적 구조들은 "구조가 주어진 집합"와 "구조를 보존하는 함수"의 쌍으로 정의된다. 많은 경우에 이들을 다루는 방법은 놀랄 만큼 비슷하다. 특히 사상과 관련해서 선형사상에 적용된 kernel과 image, isomorphism 등의 주제는 모든 대수적 구조에 대해 일반화되는 개념이고, 이들을 이해하는 것은 학부 대수학의 목표 중 하나이다. 그리고, 거의 모든 수학분야에 공통적으로 퍼져있는 이런 양상은 Category theory로 귀결된다. 실제로, dual space를 설명하기 위해 Category와 Functor 개념을 도입하는 교수도 있다.주객전도된 것같은데

보통의 수학과 학생들은 여기서 선형대수학의 공부를 멈추지만, 선형대수학이 여기서 끝나는 것은 아니다. 행렬의(혹은 선형사상의) 군과 그 공간에의 작용을 탐구한다고 볼 수 있는 표현론(representation theory)은 현대수학 전반에 자리잡고 있는 테마 중 하나. 사람에 따라서는 수학에서도 선형대수학이 알파이자 오메가라 해도, 아예 틀리는 말은 아닐 것이다.

2.3 물리학과의 경우

무조건 제대로 해놓자. 안 그러면 망했어요. 관성 텐서의 대각화나 정상 상태의 모드를 구할 때, 라플라스 방정식의 일반해를 구할 때 등 여러 군데에서 필수요소로 들어가지만, 진짜 중요한 문제는 다름 아닌 양자역학이다.

양자역학에서는 '연산자'라는 개념이 중요한데, 쉽게 생각해서 연산자란 어떤 상태함수에 대하여 측정값을 내놓는 것을 말한다. 예를 들어 다음과 같은 식 [math]\hat{A}\psi=a\psi[/math] 에서, [math]\hat{A}[/math]는 연산자, [math]\psi[/math]는 상태함수, [math]a[/math]는 측정값을 의미한다. 유심히 살펴보면, 선형대수에서 봐온 그 Eigenvalue equation의 모양임을 알 수 있다! 이 상태함수들은 eigenfunction으로서 이들의 선형 결합(linear combination)으로 실제 시스템을 묘사하게 된다. 또한 이 연산자에 대한 기댓값(평균)을 구하고자 한다면,

[math]\left \langle A \right \rangle=\int \psi^{*}\hat{A}\psi dx[/math] 혹은 같은 말로 [math]\left \langle A \right \rangle=\left \langle \psi|\hat{A} \psi \right \rangle[/math]와 같이 계산할 수 있는데, 이는 내적공간(inner product space)에서 정의된 내적의 성질과 일맥상통한다. 이때 우변의 [math]\left \langle | \right \rangle[/math] 같은 기호는 디락 표기법으로, 특별히 양자역학에서 벡터를 나타내기 위한 독특한 표기법이다. 이러한 내용들은 이제 시작일 뿐으로, 앞으로 양자역학을 공부하면서 Hermitian operator라든지 Hilbert space라든지 Commutator와 같은 흉악한(?) 것들과 신물나게 마주할 수 있으며, 앞서말한 dual space나 spectral decomposition 같은 수학과에서 배우는 '이상한 진도'가 갑자기 튀어나오는 진귀한 광경도 볼 수 있다. 나중에 가면 한술 더 떠서 위의 연산자를 진짜로 행렬로 나타내는 법을 배운다. 아니, 애초에 하이젠베르크가 양자역학을 처음 내놓을 때 이름이 행렬 역학이었으니 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.

양자역학이 현대물리학의 심장인 동시에 선형대수학이 양자역학의 심장이 되므로 당신이 물리학도라면 정말로 제대로 해놓자. eigenvalue eigenvector eigenfunction eigensolution eigenstate eigenfrequency 뭐만하면 eigen을 붙이는 만병통치약

2.4 생물학과에게

대개의 경우 안 배우고 졸업한다.

하지만 유전학을 공부하면서 통계적 방법을 사용한다면 이 과정에서 선형대수가 튀어나오는 건 다반사. 뿐만 아니라 유전학의 가장 기본적인 개념인 푸네트 스퀘어는 아예 행렬로 순차적으로 알고리즘화도 가능할 지경.
가장 간단한 예를 들자면 포식동물 A와 초식동물 B 간의 장기간에 걸친 개체수 변화 및 비율 고정을 예측할 수 있다.
그리고 생명공학쪽 전공이라면 화학공학적 지식이 많이 필요할 것이므로 반드시 알아두어야 한다.

2.5 기타

• 통계학과 : 필수적.

3 문과에게

• 경제학과인데 대학원을 진학할 예정인 경우 : 학부 시절 무조건 공부해놔야 한다. 대학원 수준 미시경제학에서 필수적인 선수과목이 선형대수학과 해석학이다. 불행하게도 유학갈 생각이라면 이 둘은 A를 사수해야 하는 과목이며 이 둘 이후로도 통계학과 및 수학과 강의를 훨씬 심화해서 듣게 된다. 산 너머 산(...)
• 경제학과이지만 학부까지만 졸업할 예정인 경우 : 듣지 않아도 무방하다. 최소한의 선형대수 기반 지식은 필수이지만, 그 '최소한'에 대해서는 경제수학이라는 과목을 열어서 문과 수학만 떼고 오면 한 학기 안에 충분히 가르쳐 준다. 더 알고 싶다고 해도 후수과목인 수리경제학 선에서 가르쳐준다.
• 박사과정에 진학할 건데 자기 전공분야에서 통계학과 수치해석을 심도있게 이용해야 하는 경우 : 각종 decomposition이며 quadratic form에 관한 내용은 공부 좀 하다 보면 좀 과장하면밥 먹듯이 나온다. 단순히 축약형태의 회귀분석 돌리는 거 이상의 복잡한 모델로 연구할 경우 논문 쓸 때 코딩을 위해 수치해석을 공부해야 하는데 이때도 필수이다. 지금까지는 사회과학에서는 경제학 경영학 논문 위주로 쓰였지만 요새 사회과학이 전반적으로 계량적 방법론을 강조하는 추세라, 연구자가 목표이면 비상경계열도 난 안 할거야 하고 안심할 수는 없다.수학 못해서 문과 간 사람들은 헬게이트가 열림
• 수리사회학을 대학원에서 전공할 사회학과 학생 : 선형대수학은 전공기초과목이므로 모르면 아무것도 할 수 없다.
• 문과 대학원에 진학할 예정이지만 자기 전공분야에서 통계학을 쓰지 않는 경우 : 평생 모르고 살아도 직장을 충분히 잡을 수 있다. 예를 들어서 로스쿨이라든가 통번역대학원이라든가...

4 선형대수학의 주제들

어느 선형대수 과정에나 기본적으로 들어가는 주제들.

4.1 벡터 공간(Vector Space)

자세한 내용은 항목 참조

4.2 기타 주제들

• 행렬: 행공간/영공간/계수, rank-nullity theorem, 추상적 선형함수(linear map)와의 동치성
• 연립일차방정식의 풀이: 가우스-조르단 소거법(Gauss-Jordan elimination), 기약행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)
• 행렬식(determinant), Cramer's rule, 소행렬식(minor)과 수반행렬(adjugate matrix)
• 고유벡터와 고유값, 특성다항식(characteristic polynomial), 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton Theorem)
• 내적공간(inner product space), Gram-Schmidt 직교화 알고리즘, 직교행렬(orthogonal matrix)

공학수학 또는 수치해석 과정에 들어갈 수 있는 내용.

• 삼각화(triangulization), 행렬의 여러 분해방법, Jordan normal form의 계산
• 행렬 미적분학(matrix calculus)
• 선형미분방정식, 마르코프 연쇄(Markov Chain) 등으로의 응용

주로 수학과에서 앞에 말한 '이상한 진도'를 뺄 때 나오는 내용들.

• 벡터공간: 상공간(quotient space)과 동형정리(isomorphism theorem), 직합(direct sum)
• 작용소의 분석: 불변 부분공간(invariant subspace), 분해정리(decomposition theorems), rational canonical form과 Jordan normal form의 존재성
• Multilinear algebra: 텐서곱(tensor product), symmetric and alternating algebra, dual space 와 bilinear form
• 정규행렬(normal matrix)의 스펙트럼 정리(spectral theorem), 대칭행렬과 직교행렬로의 응용
• 이차형식(quadratic form), 선형군(linear group), 직교기하와 심플렉틱 기하 등등

5 교재

• Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Brooks

현직 MIT 교수인 Gilbert Strang이 쓴 교재. 주로 수학과가 아닌 타과생들에게 초점이 맞춰진 책으로, 기본적인 선형대수학적 개념과 더불어 수치적인 방법, 선형계획 및 게임 이론 등을 소개하고 있다.Strang만의 용어가 몇 개 있다.

• S. Friedberg 외 2명, Linear Algebra, Pearson

Friedberg, Insel and Spence 3명이 쓴 선형대수학 책으로, 2015년 9월 현재 5판까지 나와있다. 그러나 5판의 경우 4판의 뒷 부분 내용(Rational Canonical Form, Singular Value Decomposition 등)이 빠져있거나 축약되어 있기 때문에 4판 pdf 파일을 여전히 쓰는 경우도 많다. 상당히 친절하고 초보자도 보기 좋은 책이다. Theorem이나 Proposition들이 step by step으로 친절하게 서술되어 있는 편이며, Definition과 Theorem을 다음에는 거의 강박적이다 싶을 만큼 친숙한 Example들을 주어서 이해를 돕는다. 군데군데 Figure도 적절히 들어가 있다. 많이 쓰이는 책이다 보니 solution도 비교적 충실하다. 그러면서도 현대대수학 교재에 들어갈만한 내용은 최대한 배제했다. Strang은 증명보다는 정리의 적용 및 계산에 집중했고, 아래 이인석 교재는 초보자가 보기엔 좀 힘든 감이 있는데, 수학적 논리성을 잃지 않으면서도 진입장벽이 높지 않은 책을 찾는다면 이 책을 추천(초보자의 경우 asterisk표시가 된 optional part는 굳이 읽지 않아도 된다).

• 이인석, 학부 대수학 강의 1: 선형대수와 군, 서울대학교출판부

현직 서울대학교 수리과학부 이인석 교수가 쓴, 서울대학교 수리과학부 2학년 학생들을 대상으로 한 선형대수학 교재. 2005년에 초판이 나왔는데 첫 개정판은 10년이나 지난 2015년 5월에야 나왔다(...). 통년 과정으로 되어 있기 때문에 상술한 '이상한 진도' 또한 거의 다 들어가 있다. 특이한 점이라면 이야기책을 표방하고 있으며(...), 그에 걸맞게 문체가 딱딱하지 않은 편이다. 곳곳에 농담이나 ㅋㅋ, ㅎㅎ 같은 초성체가 들어간 것도 특징. 제목의 '학부 대수학 강의 1'에서도 알 수 있듯이, 당연히 속편(?)격인 2권도 존재한다. 이쪽은 3학년 과목인 현대대수학 내용을 다룬다.

참고로 서문에 쓰인 'JKR에게 감사하며'라는 말의 경우, 해리 포터 시리즈의 저자인 조앤 K. 롤링을 가리키는 것이 거의 확실하다. 몇몇 단서를 꼽자면...

• 해당 에피소드가 한 때 스누라이프에서 화제가 된 바 있다.
• 선형대수학 강의 시간에도 저자 본인이 직접 해리 포터를 꼭 읽으라는 말을 한 적이 있다.
• 머리말에서 해리 포터 시리즈의 내용을 자주 언급한다.

이미 선형대수학에 익숙하고 (혹은 그냥 수학을 잘하고) 되짚기 용으로는 좋은 교재이나, 글씨 표기가 따라쓰기 힘든 점, 농담이 가끔 속터지게 하는 경우가 있는 점, 영어/한국어/한자가 뒤섞여 가독성이 떨어진다는 점 등으로 인해 호불호가 갈리는 편이다.애초에 서울대생을 대상으로 한 책이니만큼 보통 학생들을 대상으로 한 교과서 같은 자세/친절한 설명을 기대하면 안된다

페이스북 수학 그룹에서 칭송받는(?) 책이기도 하다. 아래는 한 수학 그룹 회원이 만든 짤방.

파일:FB IMG 1457328621686.jpg

• Kenneth Myron Hoffman, Ray Kunze , Linear Algebra, Prentice Hall (2nd)

선형대수를 처음 접하는 사람에게는 추천하지 않는 책이다. 현대대수의 개념과 선형대수의 개념을 섞어서 설명하기 때문에, 선형대수의 시작은 Friedberg 책을 추천한다. 앞에 언급된 책들보다 훨씬 작으면서 내용은 훨씬 어렵다Grassman Ring이라던지, Principal Ideal Domain이라던지... 현대대수로 빼도 될 내용들을 다 가져왔다

그 외에 여러 종류의 선형대수 책(Anton의 원숭이 선대, Lay의 직소퍼즐 등등...)이 시중에 나와있다. 만일 공대생/물리과생이라면 선형대수는 매우 중요한 내용인지라 공업수학/수리물리학 교재에 잘 나와 있고, 그것만 해도 충분하기 때문에 굳이 위에 언급한 책들을 다 보지 않아도 된다.

• 線型代数入門 (基礎数学1) - 東京大学出版会(동경대학출판회)

출판한지 2016년으로 무려 50년이나 되었지만 일본의 대학생이나 교수들이 (주로 국공립대학) 자주 본다고 하는 일본의 대학판 수학의 정석이라고 볼 수 있다. 게다가 저자가 애초에 일본의 이공계 기술력을 발전시킨다는 목적으로 썼다는 걸 앞에서 명시했다. 실제로 이 책을 중심으로 공부한 일본의 이공계 인재들이 나중에 일본의 기술력을 미국에 이어서 세계 2위로 끌어올렸음을 생각하면... 그리고 50년 전에 썼지만 내용은 현대에 출판한 내용과 거의 다른 내용이 없고 오히려 어지간한 내용은 다 설명한다. 뒤에 부록으로 유클리드 기하학의 공리와 군론 등의 부가적인 내용도 포함하고 있다. 가격은 엔화로 2052엔. 이 책으로 공부할 때 주의할 점은 고교수학은 다 끝내고 봐야 잘 읽힌다. 만약 제대로 고교수학을 다지지 않고 바로 공부한다면 은근히 안 읽히므로 주의할 것. 한국의 2007 개정 교육과정(2016학년도 수능 수학 B형 범위) 기준으로 공부하면 충분하다. 추가로 JLPT N2 150~180점 나올정도로 일본어도 공부해야함은 당연지사.

그런데 한국의 학부생들은 9할이 영어를 주로 사용하니 아마도 이 책으로 공부할 사람은 손에 꼽을 것이다(...)

만약 영어 해석이 잘 안되거나 국내 서적이 영 시원찮은 사람들은 일본어를 공부해서 위 두 권 중 하나를 골라서 공부해보는 것도 괜찮은 선택....일지도?