重積分, Multiple Integral
1 개요
중적분은 정적분의 개념을 확장하여 독립변수가 2개 이상인 함수를 적분하는 것이다. 중적분의 개념은 공간의 부피, 질량, 무게 중심, 표면적 등등에 쓰인다. 이론상 한 차원씩 차근차근 계산하면 되지만 웬만한 적분이 잘 될리가 없잖아? 이 때문에 편의를 위해 좌표계를 변환해주는데 2차원에선 극좌표, 3차원에서는 구면좌표와 원통좌표계를 쓴다. 정규분포 함수의 적분값도 이중적분을 극좌표 변환하는 꼼수를 써서 풀 수 있다. 의외로 과정 잘만 밟으면 학부 1학년 때도 연습문제로 나올만큼 어렵지 않은 내용이다. 물론 그냥 무조건 변환해주면 되는 건 아니라 야코비안이라는 개념을 배워야 제대로 쓸 수 있다. 야코비안의 행렬식의 절댓값을 이용하는데, 쉽게 말하면 치환(변환)했으니 구간도 바뀌는데 이때의 처음 구간과 치환 후 구간을 보정시켜주는 값이라 생각하면 된다.
비전공자들은 헷갈릴 수 있지만 적분을 단순히 두 번 세 번 하는 것과는 다르다! 적분을 연속으로 하는 것은 반복적분이라고 한다. 다중적분의 값을 구하는 방법이 반복적분이다.
일반적으로 미지수가 하나인 함수의 적분이 넓이를 의미하듯이, 미지수가 2개인 함수의 적분은 부피를 의미한다. 미지수가 그 이상 있는 함수에 대해서는 초부피(Hypervolume)라는 개념이 도입된다. 이것도 나중에 배우는 것 중 하나인데, 적분을 가지고 2계 변수 함수에서 그래프의 길이를 구할 수 있듯 이중적분을 가지고 3계 변수 함수의 겉넓이를 구할 수도 있다. 매개변수 u, v로 표현된 [math]r(u, v)[/math]라는 곡면의 겉넓이는 [math]\iint 1\,dS[/math]로 구할 수 있으며, 앞서 설명한 3계 변수 함수의 겉넓이는 이 면적분의 특수한 형태로 볼 수 있다.
[math]\int_L 1\,dx[/math]는 해당 적분구간의 길이를 나타냄을 쉽게 알 수 있다. 이를 일반화 해보면, 면적분 [math]\int_D 1\,dA[/math]는 [math]D[/math]의 넓이, 곡면적분 [math]\int_S 1\,dS[/math]는 [math]S[/math]의 겉넓이, 부피적분 [math]\int_V 1\,dV[/math]는 [math]V[/math]의 부피이다.
2 기호
[math]\iint{} \iiint \oint[/math] ∯ ∰
중적분에 쓰이는 기호들.
여기서 적분기호의 개수는 변수의 개수, 고리는 닫힌 공간의 구간을 의미한다.[1] 선적분의 경우 ∫와 ∮, 면적분의 경우 ∬, 곡면적분의 경우 ∬와 ∯(∮도 매우 자주 쓰인다.), 부피적분의 경우 ∭, ∰를 자주 볼 수 있다. 고리는 어렵게 생각할 것 없이 매우 쉬운 개념이다. 고리에 화살표로 방향을 표시해 놓는 극소수의 경우가 있지만, 대부분의 경우 아무 표시가 없다. 고리는 닫힌 적분범위 내에서 양의 방향으로 적분하라는 소리다. 닫힌 적분범위의 예를 들자면, 선적분의 경우 대체로 시계반대방향의 방향을 갖는 어떠한 폐곡선에서 적분하는 것이고, 곡면적분의 경우 곡면 안쪽이 아닌 바깥쪽을 향하도록 폐곡면을 잡으라는 것이다.
3 푸비니의 정리
중적분을 계산하는 방법의 하나.
[math]S=[a,b]\times[c,d][/math]인 정사각형 영역이고 [math]f:S \rightarrow R[/math]이 유계이고 적분 가능한 함수라고 할 때,
[math]\displaystyle \iint_S {f(x, y)} dA = \int_{a}^{b} {\left( \int_{c}^{d}{f(x, y)}dy \right) }dx = \int_{c}^{d} {\left( \int_{a}^{b}{f(x, y)}dx \right) }dy[/math] 로 계산할 수 있다는 정리. 결론은 결합법칙