연속 방정식

• 상위 항목 : 고전역학, 유체역학, 전자기학
• 관련 항목 : 나비에-스톡스 방정식, 오일러 방정식, 포인팅 벡터

1 개요

어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식이다. 질량, 운동량, 에너지 등이 보존되는 양이기 때문에 수많은 물리적 현상들이 연속 방정식(連續方程式, continuity equation)에 의해 기술될 수 있다.

1.1 연속 방정식의 일반형

어떤 물리량 $$\displaystyle q$$ 에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.

$$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathbf{V}} \rho_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right ) d^{3} r = - \oint_{\partial \mathbf{V}} \mathbf{J}_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right ) \cdot d \mathbf{a} + \int_{\mathbf{V}} s_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right ) d^{3} r$$

여기서 $$\displaystyle \rho_{q}, \mathbf{J}_{q}, s_{q}$$ 는 각각 단위 부피당 $$\displaystyle q$$ , 단위 시간당 단위 면적을 통한 $$\displaystyle q$$ 의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 $$\displaystyle q$$ 의 직접 공급을 뜻한다.

이로부터 위 식의 좌변은 단위 시간당 어떤 영역 $$\displaystyle \mathbf{V}$$ 내의 $$\displaystyle q$$ 의 (시간에 따른) 변화율, 우변의 첫째항과 둘째항은 각각 영역 $$\displaystyle \mathbf{V}$$ 의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 $$\displaystyle q$$ 의 양, (외부 공급 장치 등을 이용한) $$\displaystyle q$$ 의 직접적인 공급을 의미한다.

위 식에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다.

$$\displaystyle \frac{\partial \rho_{q}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}_{q} = s_{q} \left ( \mathbf{r}, t \right )$$

2 유체역학에서의 연속 방정식

2.1 질량에 대한 연속 방정식

유체가 흐를 때 질량이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.

$$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$$

2.1.1 유도

밀도가 $$\displaystyle \rho$$ 인 유체가 어떤 폐곡면 $$\displaystyle \mathbf{S}$$ 를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.

$$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_{\mathbf{V}} \rho d^3 r = -\oint_{\mathbf{S}} \rho \mathbf{u} \cdot d \mathbf{a}$$

여기서 $$\mathbf{V}$$ 는 폐곡면 $$\mathbf{S}$$ 로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.

위 방정식의 우변에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 질량에 대한 연속 방정식을 얻는다.

$$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$$

2.2 운동량에 대한 연속 방정식

오일러 방정식 항목 참조

3 전자기학에서의 연속 방정식

3.1 전하에 대한 연속 방정식

전류가 흐를 때 전하가 보존됨을 표현한 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 전하량은 폐곡면을 통해 출입하는 전류에 따라 변한다는 것을 표현한다. 여기서 $$\displaystyle \rho$$ 는 전하 밀도(電荷密度, charge density), $$\displaystyle \mathbf{J} = \rho \mathbf{u}$$ 는 전류 밀도(電流密度, current density)라 불린다.

유도 과정은 질량에 대한 연속 방정식과 동일하므로 생략한다.

$$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0$$

3.2 에너지에 대한 연속 방정식

포인팅 벡터 항목 참조