목차
[숨기기]1 개요
어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식이다. 질량, 운동량, 에너지 등이 보존되는 양이기 때문에 수많은 물리적 현상들이 연속 방정식(連續方程式, continuity equation)에 의해 기술될 수 있다.
1.1 연속 방정식의 일반형
어떤 물리량 q에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.
∂∂t∫Vρq(r,t)d3r=−∮∂VJq(r,t)⋅da+∫Vsq(r,t)d3r |
여기서 ρq,Jq,sq는 각각 단위 부피당 q, 단위 시간당 단위 면적을 통한 q의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 q의 직접 공급을 뜻한다.
이로부터 위 식의 좌변은 단위 시간당 어떤 영역 V 내의 q의 (시간에 따른) 변화율, 우변의 첫째항과 둘째항은 각각 영역 V의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 q의 양, (외부 공급 장치 등을 이용한) q의 직접적인 공급을 의미한다.
위 식에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다.
∂ρq∂t+∇⋅Jq=sq(r,t) |
2 유체역학에서의 연속 방정식
2.1 질량에 대한 연속 방정식
유체가 흐를 때 질량이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.
∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0 |
2.1.1 유도
밀도가 ρ인 유체가 어떤 폐곡면 S를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.
∂∂t∫Vρd3r=−∮Sρu⋅da |
여기서 V는 폐곡면 S로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.
위 방정식의 우변에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 질량에 대한 연속 방정식을 얻는다.
∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0 |
2.2 운동량에 대한 연속 방정식
오일러 방정식 항목 참조
3 전자기학에서의 연속 방정식
3.1 전하에 대한 연속 방정식
전류가 흐를 때 전하가 보존됨을 표현한 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 전하량은 폐곡면을 통해 출입하는 전류에 따라 변한다는 것을 표현한다. 여기서 ρ는 전하 밀도(電荷密度, charge density), J=ρu는 전류 밀도(電流密度, current density)라 불린다.
유도 과정은 질량에 대한 연속 방정식과 동일하므로 생략한다.
∂ρ∂t+∇⋅J=0 |
3.2 에너지에 대한 연속 방정식
포인팅 벡터 항목 참조