오일러 방정식

• 상위 항목 : 고전역학, 범함수, 라그랑지언, 레온하르트 오일러, 유체역학. 변분법
• 관련 항목 : 페르마의 원리, 나비에-스톡스 방정식, 연속 방정식

1 개요

오일러 방정식(Euler's Equation)은 레온하르트 오일러에 의해 만들어진 방정식이다. 변분법과 유체역학에서 지칭하는 오일러 방정식은 서로 다른 식이므로 유의.

2 변분법에서의 오일러 방정식

변분법에서 범함수의 최소, 최대를 찾는 방법으로 개발된 방정식이다. 변수를 하나만 가지는 함수 [math]y\left(x\right)[/math]와 그 도함수 [math]y^\prime \left(x\right)[/math]를 변수로 가지는 어떤 범함수(functional) [math] J [/math] 가 있다고 하자.

[math]\displaystyle J = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ f \left\{ y \left( x \right) , y^\prime \left( x \right) ; x \right\} } dx [/math]

이러한 범함수의 최소 혹은 최대를 주는 함수 [math] f [/math] 가 만족하는 미분방정식은 다음과 같다

[math]\displaystyle \frac{ \partial f }{ \partial y } - \frac{ d }{ dx }\left( \frac{ \partial f }{ \partial y' } \right) = 0 [/math]

물리적으로는 라그랑주 역학의 핵심인 최소작용의 원리를 수학적으로 표현한 것이다. 대표적으로 [math]x[/math]가 시간, [math]y[/math]가 거리, [math]f[/math]가 라그랑지언이라고 하면 라그랑지안 역학의 기본꼴이 되며, 에너지의 표현식을 알면 힘의 작용점 분석 없이도 운동방정식을 얻을 수 있다. 최소작용원리가 갖는 의미를 빌려 설명한다면 [math]x[/math], [math]y[/math]를 변화시킬 때 가장 작게 변하는 [math]f[/math]는 무슨 꼴인지를 찾는 것.

2.1 유도

한 상태에서 다른 상태로 변화할 때 필요한 총량으로 정의된 범함수 [math] J [/math]를 생각해 보자.
그리고 [math] f \left( y\left(x\right), y'\left(x\right); x \right)[/math]
이때, [math] y \left( \alpha , x \right) = y \left( 0, x \right) + \alpha \eta \left( x \right),\ \eta \left( x_1 \right) = \eta \left( x_2 \right) = 0.[/math]

[math]\displaystyle J = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ f \left\{ y, y'; x \right\} }dx [/math]

양변을 [math] \alpha [/math]로 편미분하면

[math]\displaystyle \frac{ \partial J }{ \partial \alpha } = \frac{ \partial }{ \partial \alpha } \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ f \left\{ y, y'; x \right\} }dx [/math]

다변수 함수 f를 연쇄 법칙을 이용해서 [math] \alpha [/math]에 대해 편미분하면

[math] \displaystyle \frac{ \partial J }{ \partial \alpha } = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ \left\{ \frac{ \partial f }{ \partial y } \frac{ \partial y }{ \partial \alpha } + \frac{ \partial f }{ \partial y' } \frac{ \partial y' }{ \partial \alpha } \right\} }dx [/math]

그런데 [math]\tfrac{ \partial y }{ \partial \alpha } = \eta \left( x \right), \frac{ \partial y' }{ \partial \alpha } = \frac{ \partial \eta }{ \partial \alpha } [/math] 이므로,

[math]\displaystyle \frac{ \partial J }{ \partial \alpha } = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ \left\{ \frac{ \partial f }{ \partial y } \eta \left( x \right) + \frac{ \partial f }{ \partial y' } \frac{ \partial \eta }{ \partial \alpha } \right\} }dx [/math]

두 번째 항에 부분적분법을 적용하면

[math] \displaystyle \frac{ \partial J }{ \partial \alpha } = \left[ \frac{\partial f}{\partial y'} \eta \left( x \right) \right]_{x_1}^{x_2} + \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ \left\{ \frac{\partial f}{\partial y} \eta \left( x \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) \eta \left( x \right) \right\} dx } [/math]

위에서 정의한 [math] \eta \left( x \right) [/math]의 성질과, 분배법칙을 활용하면

[math] \displaystyle \frac{ \partial J }{ \partial \alpha } = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} \right] \eta \left( x \right) dx } [/math]

범함수 J가 극값을 가지는 지점에서는 [math] \alpha [/math]로 J를 편미분한 것이 반드시 0이 되어야 한다. 하지만 [math] \eta \left( x \right) [/math]는 주어진 상황에 따라 어떤 함수라도 될 수 있으므로,

[math] \displaystyle \frac{ \partial f }{ \partial y } - \frac{ d }{ dx }\left( \frac{ \partial f }{ \partial y' } \right) = 0 [/math]

3 유체역학에서의 오일러 방정식

유체역학에서 비점성 유체, 즉 전단응력(shearing stress)이 0인 유체의 운동량의 변화를 묘사하는 미분 방정식이다.

[math]\displaystyle \rho \frac{D \mathbf{u}}{Dt}=-\nabla P+\rho \mathbf{g}[/math]

3.1 유도

밀도가 [math]\displaystyle \rho[/math]인 유체가 중력장 [math]\displaystyle \mathbf{g}[/math] 내에서 유체 사이의 압력이 [math]\displaystyle P[/math]로 주어진 상황을 생각해보자. 어떤 폐곡면 [math]\mathbf{S}[/math]로 둘러싸인 영역 [math]\mathbf{V}[/math] 내에 있는 유체가 갖는 운동량의 변화는

[math]\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \int_\mathbf{V} \rho\mathbf{u} d^3 r = - \oint_\mathbf{S} \mathbf{u}(\rho\mathbf{u} \cdot d\mathbf{a}) - \oint_\mathbf{S} P d\mathbf{a} + \int_\mathbf{V}\rho\mathbf{g} d^3 r[/math]

와 같은 방정식으로 표현된다.

여기서 좌변은 영역 [math]\mathbf{V}[/math] 내에 있는 유체의 단위 시간당 운동량의 변화량을 뜻하고 우변의 첫째항, 둘째항, 셋째항은 각각 단위 시간당 경계면 [math]\mathbf{S}[/math]를 통해 유입되는 유체가 갖는 운동량, 압력에 의해 영역 [math]\mathbf{V}[/math] 내의 유체가 받는 힘, 영역 [math]\mathbf{V}[/math] 내에 있는 유체가 받는 중력을 의미한다.

위 방정식에 발산 정리를 적용하면

[math]\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(\rho\mathbf{u}) = -\mathbf{e}_{i} \nabla \cdot [u_{i} (\rho \mathbf{u})] - \nabla P + \rho \mathbf{g}[/math]

와 같이 정리된다.

이 방정식의 우변의 첫째항을 이항하여 정리하면 다음과 같이 오일러 방정식(Euler equation)이 유도된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)

[math]\displaystyle \rho \frac{D \mathbf{u}}{Dt}=-\nabla P+\rho \mathbf{g}[/math]

여기서 [math]\displaystyle\frac{D}{Dt} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot \nabla)=\frac{\partial}{\partial t}+u_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}[/math]는 물질 도함수(material derivative)라 불린다.

homentropic process(단위 질량당 엔트로피가 공간에 걸쳐 균일)을 가정하면 [math]w[/math]를 단위 질량당 엔탈피(enthalpy)라 할 때 열역학에 따르면 [math]\displaystyle \frac{dP}{\rho} = dw[/math]라 표현할 수 있는 것이 알려져 있다. 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[math]\displaystyle \frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + \left(\mathbf{u} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} = -\nabla w + \mathbf{g} [/math]

한편, 이 식이 다루는 대상이 '비점성'이라고 했는데, 이제 여기 좌변에다가 점성항 [math]- \nu \nabla^2 \mathbf{u}[/math]를 얹어주면 바로 나비에-스톡스 방정식이 된다.

3.2 의미

뉴턴법칙 중 제2법칙을 유체의 운동에 적용한 것에 지나지 않는다.

이 방정식은 (위치의 따른) 압력의 차이와 유체에 가해지는 중력이 유체의 운동량의 (시간에 따른) 변화를 유도함을 표현한다.

3.3 운동량에 대한 연속 방정식

오일러 방정식을 텐서를 이용하여 정리한 방정식이다. 여기서 [math] \displaystyle \mathbf{\Pi} [/math]는 운동량 선속 텐서(momentum flux tensor)라 불리는 2차 텐서이다.

[math] \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{\Pi} = \rho \mathbf{g} [/math]

3.3.1 유도

오일러 방정식에서

[math]\displaystyle \rho \left [ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \left ( \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} \right ] = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) - \mathbf{u} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \left ( \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) + \mathbf{u} \left [ \nabla \cdot \left ( \rho \mathbf{u} \right ) \right ] + \left ( \rho \mathbf{u} \cdot \nabla \right ) \mathbf{u} = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \rho \mathbf{u} \right ) + \mathbf{e}_{i} \nabla \cdot \left ( \rho u_{i} \mathbf{u} \right ) [/math]

[math]\displaystyle \nabla P = \mathbf{e}_{i} \frac{\partial P}{\partial x_{i}} = \mathbf{e}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{j}}(P \delta_{ij}) = \mathbf{e}_{i} \nabla \cdot\left [ \mathbf{e}_{j}(P \delta_{ij}) \right ] [/math]

라 할 수 있으므로 이를 대입하여 정리하면 다음과 같이 정리된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)

[math]\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} (\rho \mathbf{u}) + \mathbf{e}_{i} \nabla \cdot\left [ \mathbf{e}_{j}(P \delta_{ij} + \rho u_{i} u_{j}) \right ] = \rho \mathbf{g} [/math]

[math]\displaystyle \Pi_{ij} \equiv P \delta_{ij} + \rho u_{i} u_{j} [/math]라 정의하면

[math] \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{\Pi} = \rho \mathbf{g} [/math]

과 같이 운동량에 대한 연속 방정식을 얻는다.