1 개요
오일러 방정식(Euler's Equation)은 레온하르트 오일러에 의해 만들어진 방정식이다. 변분법과 유체역학에서 지칭하는 오일러 방정식은 서로 다른 식이므로 유의.
2 변분법에서의 오일러 방정식
변분법에서 범함수의 최소, 최대를 찾는 방법으로 개발된 방정식이다. 변수를 하나만 가지는 함수 y(x)와 그 도함수 y′(x)를 변수로 가지는 어떤 범함수(functional) J 가 있다고 하자.
J=∫x2x1f{y(x),y′(x);x}dx |
이러한 범함수의 최소 혹은 최대를 주는 함수 f 가 만족하는 미분방정식은 다음과 같다[1]
∂f∂y−ddx(∂f∂y′)=0 |
물리적으로는 라그랑주 역학의 핵심인 최소작용의 원리를 수학적으로 표현한 것이다. 대표적으로 x가 시간, y가 거리, f가 라그랑지언이라고 하면 라그랑지안 역학의 기본꼴이 되며, 에너지의 표현식을 알면 힘의 작용점 분석 없이도 운동방정식을 얻을 수 있다. 최소작용원리가 갖는 의미를 빌려 설명한다면 x, y를 변화시킬 때 가장 작게 변하는 f는 무슨 꼴인지를 찾는 것.
2.1 유도
한 상태에서 다른 상태로 변화할 때 필요한 총량으로 정의된 범함수 J를 생각해 보자.
그리고 f(y(x),y′(x);x)
이때, y(α,x)=y(0,x)+αη(x), η(x1)=η(x2)=0.[2]
J=∫x2x1f{y,y′;x}dx |
양변을 α로 편미분하면
∂J∂α=∂∂α∫x2x1f{y,y′;x}dx |
다변수 함수 f를 연쇄 법칙을 이용해서 α에 대해 편미분하면
∂J∂α=∫x2x1{∂f∂y∂y∂α+∂f∂y′∂y′∂α}dx |
그런데 ∂y∂α=η(x),∂y′∂α=∂η∂α 이므로,
∂J∂α=∫x2x1{∂f∂yη(x)+∂f∂y′∂η∂α}dx |
두 번째 항에 부분적분법을 적용하면
∂J∂α=[∂f∂y′η(x)]x2x1+∫x2x1{∂f∂yη(x)−ddx(∂f∂y′)η(x)}dx |
위에서 정의한 η(x)의 성질과, 분배법칙을 활용하면
∂J∂α=∫x2x1[∂f∂y−ddx∂f∂y′]η(x)dx |
범함수 J가 극값을 가지는 지점에서는 α로 J를 편미분한 것이 반드시 0이 되어야 한다.[3] 하지만 η(x)는 주어진 상황에 따라 어떤 함수라도 될 수 있으므로,
∂f∂y−ddx(∂f∂y′)=0 |
3 유체역학에서의 오일러 방정식
유체역학에서 비점성 유체, 즉 전단응력(shearing stress)이 0인 유체의 운동량의 변화를 묘사하는 미분 방정식이다.
ρDuDt=−∇P+ρg |
3.1 유도
밀도가 ρ인 유체가 중력장 g 내에서 유체 사이의 압력이 P로 주어진 상황을 생각해보자. 어떤 폐곡면 S로 둘러싸인 영역 V 내에 있는 유체가 갖는 운동량의 변화는
∂∂t∫Vρud3r=−∮Su(ρu⋅da)−∮SPda+∫Vρgd3r |
와 같은 방정식으로 표현된다.
여기서 좌변은 영역 V 내에 있는 유체의 단위 시간당 운동량의 변화량을 뜻하고 우변의 첫째항, 둘째항, 셋째항은 각각 단위 시간당 경계면 S를 통해 유입되는 유체가 갖는 운동량, 압력에 의해 영역 V 내의 유체가 받는 힘, 영역 V 내에 있는 유체가 받는 중력을 의미한다.
위 방정식에 발산 정리를 적용하면
∂∂t(ρu)=−ei∇⋅[ui(ρu)]−∇P+ρg |
와 같이 정리된다.
이 방정식의 우변의 첫째항을 이항하여 정리하면 다음과 같이 오일러 방정식(Euler equation)이 유도된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)
ρDuDt=−∇P+ρg |
여기서 DDt≡∂∂t+(u⋅∇)=∂∂t+ui∂∂xi는 물질 도함수(material derivative)라 불린다.
homentropic process(단위 질량당 엔트로피가 공간에 걸쳐 균일)을 가정하면 w를 단위 질량당 엔탈피(enthalpy)라 할 때 열역학에 따르면 dPρ=dw라 표현할 수 있는 것이 알려져 있다. 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
∂u∂t+(u⋅∇)u=−∇w+g[4] |
한편, 이 식이 다루는 대상이 '비점성'이라고 했는데, 이제 여기 좌변에다가 점성항 −ν∇2u를 얹어주면 바로 나비에-스톡스 방정식이 된다.
3.2 의미
뉴턴법칙 중 제2법칙을 유체의 운동에 적용한 것에 지나지 않는다.
이 방정식은 (위치의 따른) 압력의 차이와 유체에 가해지는 중력이 유체의 운동량의 (시간에 따른) 변화를 유도함을 표현한다.
3.3 운동량에 대한 연속 방정식
오일러 방정식을 텐서를 이용하여 정리한 방정식이다. 여기서 Π는 운동량 선속 텐서(momentum flux tensor)라 불리는 2차 텐서이다.
∂∂t(ρu)+∇⋅Π=ρg |
3.3.1 유도
오일러 방정식에서
ρ[∂u∂t+(u⋅∇)u]=∂∂t(ρu)−u∂ρ∂t+(ρu⋅∇)u=∂∂t(ρu)+u[∇⋅(ρu)]+(ρu⋅∇)u=∂∂t(ρu)+ei∇⋅(ρuiu)
∇P=ei∂P∂xi=ei∂∂xj(Pδij)=ei∇⋅[ej(Pδij)]
라 할 수 있으므로 이를 대입하여 정리하면 다음과 같이 정리된다. (참고: 질량에 대한 연속 방정식)
∂∂t(ρu)+ei∇⋅[ej(Pδij+ρuiuj)]=ρg |
Πij≡Pδij+ρuiuj라 정의하면
∂∂t(ρu)+∇⋅Π=ρg |