1 개요
하나의 명제를 여기저기 적용시켜 새로운 결론을 이끌어 내는 논증방식.
연역법, 연역추론이라고도 한다. 상대되는 논증법으로는 귀납논증이 있다.
아래의 3단논법은 대표적인 연역논증의 사례이다.
| R1. 모든 사람은 언젠가 죽는다. R2. 철수는 사람이다. C. 철수는 죽는다. |
이 논증의 전제들이 참이라면 철수가 죽는다는 결론은 반드시 성립하게 되어 있다. 이런 논증을 연역 논증이라 한다. 연역 논증은 주로 여러 보편적인 원리에서 하나의 새로운 원리를 이끌어낼 때 사용된다.
2 정언논리
이제 조금 더 들어가보자.
정언논리체계는 ‘정언명제’로 이루어진 논리체계를 말한다.
예를들면 “모든 철학자는 과학자이다”와 같은 형식으로 표현되는 명제이다
2.1 정언명제의 4가지 표준형식
정언명제는 포함과 배제의 방식에 따라 4가지 형식 (전칭긍정명제, 전칭부정명제, 특칭긍정명제, 특칭부정명제)으로 구분이 된다. 전칭긍정명제와 특칭긍정명제는 라틴어의 긍정을 뜻하는 ‘affirmo’에서 각각 A와 I를, 전칭부정명제와 특칭부정명제는 부정을 뜻하는 라틴어 ‘nego’에서 각각 E와 O를 취하여 A, E, I, O 유형으로 구분한다.
| 정언명제 | 양 | 질 | 명제의 유형 |
| 모든 S는 P이다 | 전칭 | 긍정 | A |
| 모든 S는 P가 아니다 | 전칭 | 부정 | E |
| 어떤 S는 P이다 | 특칭 | 긍정 | I |
| 어떤 S는 P가 아니다 | 특칭 | 부정 | O |
그런데 우리가 일상적으로 쓰는 명제들은 이런 표준형식으로 되어있지 않으므로 명제들을 정언논리체계로 다루려면 우선 표준형식으로 바꿔야 한다. 그렇지 않으면 타당성을 검사하는 작업을 제대로 할 수 없다.
2.1.1 전칭긍정명제(A명제)
모든 S는 P이다 의 형식이 대표적인 표현이다. 예를들어 철학자를 S로 진리를 탐구하는 사람을 P로 두면 “모든 철학자는 진리를 탐구하는 사람이다”라는 전칭긍정명제가 된다.
전칭긍정명제로의 환원
사람은 양심이 있다. -> 모든 사람은 양심을 가진 존재이다.
철은 전류가 흐른다. -> 모든 철제품은 전기가 흐르는 것이다.
2.1.2 전칭부정명제(E명제)
모든 S는 P가 아니다 라는 형식이 표준형이지만 이 표현은 다의적이기 때문에 어느(어떤) S도 P가 아니다는 형식으로 바꾸는게 좋다. 가령 “모든 서울사람은 경상도 출신이 아니다”와 “모든 여학생은 남자가 아니다”라는 두 명제를 비교하면 둘다 같은 형식이지만 전자의 경우 해석은 사람마다 다를 수 있다. “모든 서울사람은 경상도 출신이 아니다”는 서울사람 중에 경상도 출신이 한 명도 없다고 해석할 수가 있지만, 서울사람 중 적어도 한 명 이상이(어떤 사람이) 경상도 출신이 아니라는 해석도 가능하다. “모든 여학생은 남자가 아니다”라는 표현은 여학생에는 남자가 하나도 없다 라는 뜻으로 해석된다. 따라서 오해가 없도록 명확하게 표현하려면 “어느(어떤) 여학생도 남자가 아니다”라고 해야하며 마찬가지로 “어느(어떤) 서울 사람도 경상도 출신이 아니다”라고 표현해야 정확한 전칭부정명제의 형식이다.
전칭부정명제로의 환원
쓴 맛이 나는 소금은 없다. -> 모든 소금은 쓴 맛이 아니다.
거짓말하는 목사는 없다. -> 모든 목사는 거짓말 하는 사람이 아니다.
2.1.3 특칭긍정명제(I명제)
어떤 S는 P이다 의 형식이 표준형이다. 예를 들면 “어떤 교수는 무신론자이다”와 같은 명제가 특칭긍정명제이다.
특칭긍정명제로의 환원
의사는 친절하다. -> 어떤 의사는 친절한 의사이다.
몇몇 사람을 제외하고는 모두가 그를 탄핵했다. -> 어떤 사람은 그를 탄핵한 사람이다.
2.1.4 특칭부정명제(O명제)
어떤 S는 P가 아니다 가 표준형이다. 전칭부정명제에서 언급한것처럼 '모든 서울 사람은 경상도 출신이 아니다'에서 '아니다'라는 서술어가 '모든'을 부정한다고 본다면, 이는 '서울사람 중 경상도 출신인 사람은 없다'라는 것을 부정하는 것이므로 '어떤 서울사람은 경상도 출신이다'라고 해석할 수 있고 다시 반대로 '어떤 서울사람은 경상도 출신이 아니다.'로도 해석이 가능하므로 이런 경우에 '모든 서울 사람은 경상도 출신이 아니다'는 특칭부정명제로 볼 수도 있다.
특칭부정명제로의 환원
도덕적이지 않은 정치인들도 있다. -> 어떤 정치인들은 도덕적인 인간이 아니다.
반짝인다고 모두 금은 아니다. -> 어떤 반짝이는 것은 금이 아니다.
2.2 정언 논증(삼단논법)
일반적으로 연역논증이라 하면 대부분 삼단논법을 먼저 생각할정도로 삼단논법은 가장 기본적인 추론 형식이다. 삼단논법은 두 개의 전제와 하나의 결론으로 구성된, 즉 세 개의 기본적인 명제를 가진 연역 추리이다. 삼단이라고 하는 것은 두 개의 명제(전제)로부터 세번째의 명제(결론)을 이끌어 내기 때문이다. 삼단논법에는 여러 가지 종류가 있지만, 앞서 설명한 A, E, I, O 형식으로 표현되는 정언명제들로만 이루어진 삼단논법을 정언적 삼단논법 이라 한다. 이 정언적 삼단논법은 세개의 명제를 가져야만 하고, 세가지 명사만을 가져야 한다.
| (1)모든 음악가는 예술가이다. (2)모든 가수는 음악가이다. 따라서 (3)모든 가수는 예술가이다 |
이 예에서는 세 개의 명사 – ‘음악가’, ‘예술가’, ‘가수’ – 가 사용되었고 세개의 명제 – “모든 음악가는 예술가이다.”, “모든 가수는 음악가이다.”, “모든 가수는 예술가이다.” – 로 구성되어 있다.
2.3 직접추론
삼단논법처럼 두 개 이상의 전제를 갖는 논증을 간접추론(mediate inference)이라고 한다. 이러한 논증에서는 명제가 다른 명제의 매개를 통해 결론에 이른다. 반면 하나의 명제로부터 곧바로 다른 명제를 도출하는 추론을 직접추론(immediate inference)이라고 한다. 직접추론에는 대당관계(opposition), 환위(conversion), 환질(obversion), 이환(contraposition)이 있다.
2.3.1 대당
대당관계란 주어개념과 술어개념은 같으나 양이나 질이 다른 정언명제 사이의 관계를 말한다. 모순대당(contradictories), 반대대당(contraries), 소반대대당(subcontraries), 대소대당(subalternation)이 있다.
2.3.1.1 모순대당
양과 질이 모두 다른 명제 사이의 관계를 모순대당이라고 한다. 모순대당에 있는 두 명제는 동시에 참이거나 거짓일 수 없다. 한 명제가 거짓이라면, 다른 명제는 반드시 참이다. A와 O, I와 E 간의 관계가 이에 해당한다.
2.3.1.2 반대대당
양은 같지만 질이 다른 명제 사이의 관계로, A와 E의 관계가 있다. 이러한 관계의 두 명제는 동시에 참일 수는 없지만 동시에 거짓일 수는 있다.
2.3.1.3 소반대대당
반대대당과 마찬가지로 양은 같지만 질이 다른 명제 간의 관계인데, 반대대당은 전칭명제에 적용된다면, 소반대대당은 특칭명제에 적용된다. 즉 I와 O 사이의 관계이다. 이 둘은 동시에 참일 수는 있지만, 동시에 거짓이 될 수는 없다.
2.3.1.4 대소대당
대소대당이란 전칭명제의 참이 특칭명제의 참을 함축함을 말한다. 예컨대 참인 A는 참인 I를 함축한다. 하지만 역은 성립하지 않는다. 즉 I가 참이라고 가정하더라도, 이것만으로는 A의 참을 도출할 수 없다. 또한 거짓인 A가 거짓인 I를 함축하지도 않는다. 특칭명제를 함축하는 전칭명제를 대명제(superaltern), 대명제에 의해 함축되는 특칭명제를 소명제(subaltern)이라고 부른다. A와 이에 의해 함축되는 I 사이의 관계를 양축소대당이라고 부르며, E와 이에 의해 함축되는 O의 관계는 양확장대당이라고 한다.
2.3.1.5 기타
반대대당과 소반대대당을 추론에 직접 적용할 때는 우연명제에만 적용하도록 해야 한다. 반대대당인 두 명제는 동시에 참일 수 없는데, 항진명제는 반드시 참인 명제이다. 마찬가지로, 언제나 거짓인 항위명제에는 소반대대당을 적용할 수 없다.
위의 대당관계를 이용한다면 타당한 직접추론을 할 수 있다. 예를 들어 A인 어떤 명제가 주어졌다면, 이로부터 E와 O는 거짓, I는 참임을 추론할 수 있다.
전칭명제는 존재함축과 무관하게 진리치를 가질 수 있다고 보는 부울의 해석을 따라, 현대 논리학에서는, 위의 대당관계 중 모순대당만을 받아들인다. 또한, 대소대당이 인정되지 않음에 따라, 아래에 나올 직접추론의 형식 중 제한환위와 제한이환 역시 부당한 추론이 된다.
2.3.2 환위
환위란 정언명제의 주어개념과 술어개념의 위치를 서로 바꾸는 것을 말한다. 예를 들어 '어떤 대통령도 대머리가 아니다.'의 환위는 '어떤 대머리도 대통령이 아니다.'가 된다. 전자를 원래명제, 후자를 환위명제라고 부른다. 원래명제와 환위명제가 동치인 경우는 A와 I, E이다. A의 경우, 타당한 환위를 하려면 양 또한 바꿔야 하는데, 이를 제한환위라고 한다. 이에 따라, I와 E의 환위명제는 원래명제와 동일한 형식을 갖지만, A의 환위명제는 I가 된다.
2.3.3 환질
환질이란 술어개념을 모순개념(여집합)으로 바꾸고, 질을 바꾸는 것이다.[1] 모순개념으로 바꿀 때는 비(非)나 non을 붙여 표현하고는 한다. 예를 들어 '모든 논리학자는 수학자이다.'의 환질명제는 '모든 논리학자는 비-수학자가 아니다.'이다. 비-수학자가 아니라는 것은 수학자가 아닌 게 아니라는 것이니, 결국 수학자라는 말이다. 사실상 환질이란 원래 명제의 질을 두 번 바꾸는 것인 셈이다. 마치 모순개념의 모순개념, 여집합의 여집합처럼 말이다. 그렇기에 환질명제는 언제나, 형식과 무관하게, 원래명제와 동치이다. 환질은 질을 바꾸기에, A는 E가, E는 A가 되며, I는 O가, O는 I가 된다.
2.3.4 이환
이환이란 주어개념과 술어개념의 위치를 바꾸고, 둘을 모순개념으로 대체하는 것이다. '어떤 위키유저는 네티즌이다.'의 이환명제는 '어떤 비-네티즌은 비-위키유저이다.'이다. 이환과정은 환위와 환질로 환원된다. 즉 한 명제를 환질-환위-환질하면, 그게 곧 이환이다. 예를 들어 다음과 같은 식이다.
1) 어떤 군인은 네티즌이다. (원래명제)
2) 어떤 군인은 비-네티즌이 아니다. (1의 환질)
3) 어떤 비-네티즌은 군인이 아니다. (2의 환위)
4) 어떤 비-네티즌은 비-군인이다. (3의 환질, 1의 이환)
1)에서 4)까지의 과정은 원래명제가 환질-환위-환질을 통해 이환명제에 이르는 단계를 보여준다. 그렇기에 이환추론의 타당성은 환질과 환위를 통한 추론의 타당성에 의존한다고 볼 수 있다. 앞서 항목에서 보았듯이 환질명제는 원래명제와 언제나 동치이므로, 환질에 의한 추론은 항상 타당하다. 그렇기에 문제가 되는 것은 환위의 단계이다. 만약 어떤 명제의 환질명제의 환위명제가 타당하다면, 그 이환 또한 타당하다. 위의 예시를 살펴보자면 다음과 같다. 2)는 1)의 환질이니 타당한 추론이다. 하지만 3), 즉 2)의 환위는, O의 환위로서 부당한 추론방식이다. 따라서 1)의 이환은 부당하다.[2] 나머지 형식인 A, E, O에 대해서는 타당하다. 다만 A에 대해서는 제한환위만이 가능한 것처럼, E에 대해서는 제한이환이 적용된다. 예를 들어 '어떤 학생도 위키러가 아니다.'의 타당한 이환은 '어떤 비-위키러는 비-학생이 아니다.'가 된다.
3 명제논리
- 참조: 수리 논리학#s-3
연역 논증의 타당성은 논증을 구성하고 있는 진술들의 내용에 의해서가 아니라 논증의 형식 즉 형식 논리에 의해 결정된다. 타당한 논증은 타당한 형식을 갖는 논증으로 전제들이 모두 참이라면 결론또한 참일 수 밖에 없는 논증이다. 다시 말하면 타당한 논증에서는 전제가 모두 참일경우 결론의 참이 절대적으로 보장된다. 반면, 부당한 논증은 전제들이 모두 참일지라도 반드시 결론의 참이 보장되지 않는다.
명제 논리의 체계는 논증의 타당성 여부를 쉽고 간단하게 판단하고 평가할 수 있도록 만드는 형식 논리의 체계이다.
일상언어에서는 두 개 이상의 명제들을 연결할 때는 접속사를 사용한다. 명제 논리 체계에서도 명제들을 연결해서 사용하는데 이 명제들을 연결하는 접속사를 ‘논리 연결사’라고 한다.
명제 논리의 가장 기본적인 단위로, 논리 연결사를 포함하지 않은 명제를 단순 명제라고 하며, 단순 명제와 하나 이상의 논리 연결사로 구성되는 명제를 복합 명제라고 한다.
3.1 논리 연결사
명제 논리에는 일상 언어의 표현을 위한 가장 기본적인 5개의 논리 연결사가 있다.
‘~’(부정기호), ‘&’(연언 기호), ‘∨’(선언 기호), ‘→’(조건기호), ‘↔’(쌍조건 기호)
| 논리 연결사 | 논리적 기능 | 종류 | 일상적 표현 |
| ~ | 부정 | 부정문 | ~이 아니다. |
| & | 연언 | 연언문 | 그리고, 그러나, 그럼에도 불구하고 |
| ∨ | 선언 | 선언문 | 또는 |
| → | 단순함축 | 조건문 | 만일~이라면, ~ |
| ↔ | 단순동치 | 쌍조건문 | ~일 경우 그리고 그 경우에만 ~ |
논리 연결사로 구성된 복합 명제를 만들 때 부정의 기능을 하는 논리 연결사 ‘~’는 항상 그것이 부정하려는 병제 앞에 놓여야 한다. 예를 들면 “그들은 우리집에 왔다.(p)”는 문장을 부정한다고 해보자. 그러면 그 문장의 부정은 ‘~p’로 표현될 수 있다. 또한 괄호로 묶인 복합명제의 경우에는 괄호로 묶인 명제 전체를 부정한다. 예를 들면, “그들은 우리 집에 왔으며, 우리는 그들에게 접대를 했다.(p&q)”는 명제의 부정은 ‘~(p&q)’로 표현한다.
명제 논리에서는 명제가 애매하지 않도록 괄호를 사용한다. 이것은 수학에서 가용하는 방식과 같다.
명제논리에는 여러종류의 괄호로 묶인 복잡한 구조를 가진 복합 명제들이 있다. 이런 복합 명제에서는 두 개 이상의 논리 연결사와 괄호들이 사용되기도 하는데, 이때 주요 부분을 연결해 주는 논리 연결사를 ‘주 논리 연결사’라고 한다. 주 논리 연결사를 중심으로 복잡한 복합 명제는 두 부분으로 구성된다.
3.2 자연 연역
논리학에서 논증의 타당성을 검토하는 것은 중요한 일이다. 논증의 타당성을 증명하는 방법중 하나는 자연 연역이다. 자연 연역은 논증의 타당성을 정해진 추론 규칙에 따라서 단계적으로 증명하는 방법이다.
3.2.1 연역 규칙
연역 규칙은 타당한 논증 형식으로 된 규칙, 즉 결론을 전제로부터 이끌어내는 것이로서 연역추리의 전형이다. 연역적으로 타당한 논증은 결론이 전제들로부터 연역적으로 도출될 수 있는 논증을 말한다.
① 전건긍정법
만일 눈이 온다면, 스키를 타러갈 수 있다.
눈이 온다.
스키를 타러갈 수 있다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p→q
p
q
② 후건부정법
만일 늦게 일어난다면, 너는 지각을 할 것이다.
너는 지각을 하지 않았다.
너는 늦게 일어나지 않았다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p→q
~q
~p
단, 위의 후건부정법에 대한 예문은 제시된 가설이 귀납적 오류로 불완전명제이기 때문에 논리형식만 참고할 것.
~p = 너는 늦게 일어나지 않았을 것이다 로 바뀌어야 논리적 오류가 없다.
③ 선언지제거법
내가 결혼을 하는 것은 꿈이든지 현실이다.
내가 결혼을 하는 것은 꿈이 아니다.
내가 결혼을 하는 것은 현실이다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p∨q
~p
Q[3]
④ 가언삼단논법
만일 비가 온다면, 소풍을 가지 않는다.
만일 소풍을 가지 않는다면, 우리는 학교에 가야된다.
만일 비가 온다면, 우리는 학교에 가야된다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p→q
q→r
p→r
⑤ 단순양도논법
나는 혼자 여행을 가든지 도서관에 갈 것이다.
만일 내가 여행을 가면, 나는 외로울 것이다.
만일 내가 도서관에 가면, 나는 외로울 것이다.
나는 외로울 것이다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p∨q
p→r
q→r
r
⑥ 복합양도논법
나는 결혼을 하든지 독신녀로 살 것이다.
만일 내가 결혼을 한다면, 부모님께서 서운해 하실 것이다.
만일 내가 독신녀로 산다면, 내 남자 친구가 서운해 할 것이다.
부모님께서 서운해 하시든지, 내 남자 친구가 서운해 할 것이다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p∨q
p→r
q→s
r∨s[4]
⑦ 간접추리법
만일 이 결혼이 행복한 것이라면, 이 결혼은 행복한 것이 아니다. 뭔 소리?
이 결혼은 행복한 것이 아니다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p→~p
~p
⑧ 귀류법
만일 불치병의 환자가 웃으면, 그 주변사람들은 기쁘면서도 기쁘지 않았다.
불치병의 환자는 웃지 않았다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
p→(q&~q)
~p
⑨ 선언지첨가법
바람이 분다.
바람이 불거나 비가 온다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
P
P∨q
⑩ 연언화
바람이 분다.
비가 온다.
바람이 불고, 비가 온다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
P
Q
P&q
⑪ 단순화
바람이 불고, 비가 온다.
바람이 분다.
이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.
P&q
P
3.2.2 논리적 동치
논리적인 동치에 의한 규칙을 말하는 것으로써 논리적으로 동치인 명제를 바꾸는데 사용된다
이거 어디서 많이 본 것 같다?[5]
3.2.2.1 이중부정
- [math]P\equiv \neg \left(\neg p \right) [/math]
3.2.2.2 결합규칙
- [math]\left[p \& \left(q \& r \right) \right] \equiv \left[\left(p \& q \right) \& r \right] [/math]
- [math]\left[p \vee \left(q \vee r \right) \right] \equiv \left[\left( p \vee q \right) \vee r \right] [/math]
3.2.2.3 한마디법(동어반복)
- [math]\left(p \& p \right)\equiv p [/math]
- [math]\left(p \vee p \right)\equiv p [/math]
3.2.2.4 분배규칙
- [math] \left[q \& \left( q \vee r\right)\right] \equiv \left[\left( p \& q \right) \vee \left( p \& r \right)\right] [/math]
- [math] \left[p \vee \left( q \& r \right)\right] \equiv \left[\left( p \vee q \right) \& \left( p \vee r \right) \right] [/math]
3.2.2.5 드모르간 규칙
- [math] \neg \left(p \vee q \right) \equiv \left( \neg p \& \neg q \right) [/math]
- [math] \neg \left(p \& q \right) \equiv \left( \neg p \vee \neg q \right) [/math]
3.2.2.6 자리뒤집기
- [math] \left( p \rightarrow q \right) \equiv \left( \neg q \rightarrow \neg p \right) [/math]
3.2.2.7 자리바꾸기
- [math] \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left( q \leftrightarrow p \right) [/math]
- [math] \left( p \& q \right) \equiv \left( q \& p \right) [/math]
- [math] \left( p \vee q \right) \equiv \left( q \vee p \right) [/math]
3.2.2.8 전건규칙
- [math] \left[ \left( p \& q \right) \rightarrow r \right] \equiv \left[ p \rightarrow \left( q \rightarrow r \right) \right] [/math]
3.2.2.9 선언화/조건화(단순함축)
- [math] \left( p \rightarrow q \right) \equiv \left( \neg p \vee q \right) [/math]
3.2.2.10 조건문의 정의(단순함언)
- [math] \left( p \rightarrow q \right) \equiv \neg \left( p \& \neg q \right) [/math]
3.2.2.11 쌍조건문의 정의(단순동치)
- [math] \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left[ \left( p \rightarrow q \right) \& \left( q \rightarrow p \right) \right] [/math]
3.2.2.12 쌍조건문의 부정
- [math] \neg \left( p \leftrightarrow q \right) \equiv \left( p \leftrightarrow \neg q \right) [/math]
3.2.3 조건 증명법과 간접 증명법
연역규칙과 논리적 동치에서 보여준 추론규칙은 주어진 전제로부터 결론의 참을 도출하는것으로 직접 증명법 이라고 한다. 그러나 직접적인 방법으로 쉽지 않은 경우에는 간접적인 방법으로 결론의 참을 밝혀야 하는데, 이 때 사용되는 증명법이 ‘조건 증명법’과 ‘간접 증명법’이다.- ↑ 명제를 부정하는 게 아니라, 단순히 질만 바꾸는 것이다. 정언명제의 부정은 양과 질 모두 바꾸어야 한다. 이는 곧 모순대당에 있는 명제가 원래 명제의 부정임을 뜻한다.
- ↑ 즉 1)로부터 4)를 타당하게 추론할 수는 없다는 말이다. 1)과 4) 모두 현실적으로는 맞는 말인 것처럼 보이기에 왜 부당하다는 것인지 이해하지 못할 수도 있는데, 여기서 중요한 것은 1)로부터 4)를 도출해낼 수 있는가,즉 1)을 전제로 하고 4)를 결론으로 갖는 타당한 논증을 구성할 수 있는가 하는 문제이다. 1)이 참이라고 해도 4)가 거짓인 경우는 가능하므로, 그러한 논증은 타당하지 않다.
- ↑ 하지만 여기에서 잘못하면 선언지 긍정의 오류를 범할 위험이 있다. 예를 들어, '모 위키러는 스 1 유저이거나 스 2 유저이다.'라는 문장에서, 논리의 선언명제는 언제나 2개 전부가 참일 수 있다라는 가능성을 항상 염두에 두기 때문에, 그 위키러가 스 1 유저이면서 동시에 스 2 유저일 가능성을 배제하면 절대로 안 된다. 따라서 '그 위키러는 스 1 유저이기 때문에 스 2 유저가 아니다(그 반대도 포함)은 논리적으로는 맞지 않는 추론이라고 볼 수 있다. 하지만 '모 위키러는 중학생이거나 고등학생이다'라는 문장에서는, '중학생'과 '고등학생'이 상호 배타적이므로, 이때는 중학생을 긍정함으로써 그 위키러가 고등학생이 아니라는 것을 유도할 수 있다.
- ↑ 위의 선언지제거법과 마찬가지로, 복합양도논법은 딜레마로 연결될 수 있는 위험을 항상 안고 있다. 예를 들어 '거짓말을 하면 신이 널 싫어하고, 참말을 하면 사람들이 널 싫어하므로 뭘 하든지 넌 미움받게 된다'는 잘못된 복합양도논법으로, 딜레마이다. 이 딜레마는 '참말을 하면 신이 사랑하고, 거짓말을 하면 사람들이 좋아하므로 언제나 난 이득이다'라는 식으로 바꿀 수 있다. 마찬가지로 위의 결혼/독신 문제도, '독신녀로 산다면 부모님께서 기뻐하고 결혼하면 남친이 기뻐하니 둘 다 이득이다.'라는 식으로 바꿀 수 있다.
- ↑ 애초에 교집합, 합집합 등의 정의도 and, or 같은 논리 기호를 사용하여 정의하기 때문에 둘 사이에 닮은꼴이 나오는 것은 필연적이다.