接線, tangent line
1 개요
곡선 위의 한 점에서 곡선에 접하는 직선을 이르는 말로, 수학에서는 접선을 아래와 같이 정의한다.
곡선 위의 점 P에 대하여 곡선 위를 움직이는 점 Q가 P에 한없이 다가갈 때 직선 PQ가 하나의 직선으로 수렴한다면 그 극한 위치의 직선을 P에서의 접선이라 한다.
즉, 할선의 극한으로 접선을 정의하는 것.
벡터도 당연히 접선을 구할 수 있는데, 이를 접다발(Tangent bundle)이라고 한다.
2 속력과의 관계
접선의 기울기가 가지는 대표적인 의미는 속력이다. 속도와는 다르다 속도와는! 달리는 차에서 속도계를 보면 바늘이 계속 움직이는데 차의 속력이 일종의 시간에 따른 함수라는 것을 알 수 있다. 문제는 접선에서와 마찬가지로 일정한 거리를 갔을 때의 속력은 거리/시간으로 정의할 수 있지만 순간의 속도라는 것은 쉽게 정의할 수 없다는 데에 있다. 감이 딱 오겠지만 접선과 마찬가지 방법으로 해결하면 된다. 어느 한 순간 t에서의 속력을 구하고 싶다면 t로부터 1초 후까지의 평균속도, 0.1초 후까지의 평균속도, 0.01초 후까지의 평균속도 ...를 쭉 보면서 어느 한 값에 가까워진다 싶으면 그 속도를 순간의 속도라고 정의하는 것이다. 이런걸 수학적으로는 이렇게 표현한다.
[math] v(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{(t+h)-h} [/math]
v는 속력, x는 거리, h는 몇 초 후까지의 평균속도이냐라는 의미이다. h가 양의 값이면서 t에 가까워질 때와 음의 값이면서 t에 가까워질 때 둘 다 같은 값으로 수렴한다면 그 값이 바로 속력. 이런 형태는 결국 일반화되어 미분이라는 개념으로 발전하게 된다.