중간값의 정리

Intermediate Value Theorem
中間値-定理

1 개요

고등학교 수학 미적분 파트, 정확하게는 미분의 바로 전 파트인 함수의 극한 마지막 부분에서 처음 보게되는 정리중 하나. 사잇값의 정리라고도 하는데, 교육과정이 개편되면서 바뀌었다. 내용은 다음과 같다.

함수 f(x)
가 닫힌 구간 [a,b]
에서 연속이고 f(a)f(b)
일 때, f(a)
f(b)
사이의 임의의 값 k
에 대하여 f(c)=k
c
가 열린 구간 (a,b)
내에 적어도 하나 존재한다.

이 정리 바로 앞에 나올 최대·최소의 정리와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는게, 고등미적분학에서 배울 여러가지 내용을 이용해서 증명하기 때문. 자세한 증명은 아래 문단 참조.

2 증명

함수 f

[a,b]
에서 연속이고 k
f(a)
f(b)
사이의 임의의 값이라 하자 (당연히 f(a)f(b)
임을 가정한다). f(a)\ltk\ltf(b)
f(b)\ltk\ltf(a)
의 두가지 경우가 있는데 전자를 가정한다 [1].

A={x[a,b]|f(x)\ltk}

라고 하자. 이때 c=supA
로 정의한다. f가 [a,b]
에서 연속이므로, 적당한 δ1>0
가 존재하여 x[a,a+δ1):f(x)\ltk
이고, 적당한 δ2>0
가 존재하여 x(bδ2,b]:f(x)\gtk
이다.[2] 따라서 a\ltc\ltb
이다. 또한 f(c)\ltk
이면 f의 연속성에 의해 f(c+α)\ltk
α>0
가 존재하게 되어 모순이므로, f(c)k
이다.

한편 supremum의 정의에 의해 임의의 ϵ>0

에 대하여 cϵ\ltxc
xA
가 존재한다. 그러면 f의 연속성에 의해 임의의 δ>0
에 대하여 f(c)\ltf(x)+δ
xA
가 존재하게 된다. 여기서 f(x)\ltk
이므로 f(c)\ltk+δ
가 성립한다. 이는 곧 f(c)k
라는 뜻이다. 따라서 f(c)=k

3 다른 증명

연결집합을 이용해서 증명을 할 수도 있다. 연결집합은 공집합이 아닌 두 열린 집합으로 쪼개질 수 없는 집합이다. 여기서 열린 집합이란, 열린 구간처럼 경계를 포함하지 않는 집합이며 열린 집합 S와 이 집합의 경계점들의 집합인 경계 Bd(S)

의 합집합을 S
폐포(closure)라 하고 ¯S
로 나타낸다. 이제 중간값 정리를 다시 표현하면 다음과 같다.

f
가 연결집합 D
에서 정의된 연속인 실함수일 때, a,bf(D)
이고 a\ltc\ltb
이면 f(p)=c
pD
가 존재한다.

이에 대한 증명은 다음과 같다.

모든 pD

에 대하여 f(p)c
이면 f(p)\gtc
또는 f(p)\ltc
이다. U={pD:f(p)\gtc},V={pD:f(p)\ltc}
라 하자. f
가 연속이므로 U
V
D
의 열린 집합이다. a,bf(D)
이므로 f(p1)=a,f(p2)=b
p1,p2D
가 존재한다. 그런데 a=f(p1)\ltc\ltf(p2)=b
이므로 p1V,p2U
이다. 따라서 V,U
이다. 그리고 ˉUV=UˉV=
이고 D=UV
이다. 따라서 D
는 연결집합이 아니고, 이는 가정에 모순된다. 따라서 어떤 pD
에 대하여 f(p)=c
이다.

4 활용

고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이다. 만약 f(a)>0,f(b)<0

(혹은 그 반대)이고 f
가 연속이면 (a,b)
사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 f(a)
f(b)
사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.

실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는것이다. 테이블 꼭짓점의 위치를 각각 A, B, C, D라 하자. 그리고 A, B, C에 의해 평면이 결정되어있다고 하자[3]. 3변수 함수 f

를 점에서 평면 ABC까지의 수직 거리라 정의하면 f(D)>0
이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 f(B)f(D)<0
이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 f(B)f(D)>0
이 된다. 또한 f(B)f(D)
의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 f(B)f(D)=0
, 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다.

5 다르부의 중간값 정리

일반적으로 중간값 정리는 연속함수에 대해서 성립하지만, 연속함수가 아니면서 중간값정리의 성질을 만족시킬 수 있다. 이러한 함수들을 다르부 함수(Darboux Function)이라고 하며 대표적인 예로 도함수 f(x)

가 있다. 다르부의 정리는 다음과 같다.

함수 f:[a,b]R
이 열린구간 (a,b)
에서 미분가능하고, 극한값 limh0+f(a+h)f(a)h
, limh0f(b+h)f(b)h
이 모두 존재한다고 하자. 이때 각 극한값을 f(a)
, f(b)
로 나타내자. 그러면 f(a)f(b)
일 때 f(a)
f(b)
사이에 있는 임의의 실수 k
에 대하여 f(c)=k
를 만족하는 실수 c(a,b)
가 존재한다.

증명

WLOG f(a)\ltk\ltf(b)

라고 하자.

함수 g(x)=f(x)kx
를 정의하자. 이때, g(x)
는 구간 [a,b]
에서 연속이므로 최대 최소 정리에 의해 g
가 최댓값을 가지는 점 M[a,b]
이 존재한다. 한편 g(x)=f(x)k
이므로 g(a)<0
, g(b)>0
이다. 따라서 M(a,b)
이다. 그러면 페르마의 임계점 정리[4]에 의해 g(M)=f(M)k=0
이므로 f(M)=k
이다.

다르부 함수의 대표적인 예시로 f(x)=x2sin1x(x0),f(0)=0

의 도함수가 있다. 이 함수의 도함수는 x=0에서 불연속이지만, 중간값정리의 성질을 만족한다.

6 관련 항목

  1. 이동 후자의 경우에는 g=-f 로 정하고 g에 대해 정리를 적용하여 증명할 수 있다
  2. 이동 이 부분 역시 증명이 필요하다. 어렵지 않으므로 직접 해보자.
  3. 이동 평면의 결정조건 중 하나가 공선점이 아닌 세 점이다
  4. 이동 미분가능한 함수의 극대/극소점에서의 미분계수는 항상 0이다.