중간값의 정리

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Intermediate Value Theorem
中間値-定理

1 개요

고등학교 수학 미적분 파트, 정확하게는 미분의 바로 전 파트인 함수의 극한 마지막 부분에서 처음 보게되는 정리중 하나. 사잇값의 정리라고도 하는데, 교육과정이 개편되면서 바뀌었다. 내용은 다음과 같다.

함수 $$f\left(x\right)$$ 가 닫힌 구간 $$\left[a, b\right]$$ 에서 연속이고 $$f\left(a\right) \neq f\left(b\right)$$ 일 때, $$f\left(a\right)$$ 와 $$f\left(b\right)$$ 사이의 임의의 값 $$k$$ 에 대하여 $$f\left(c\right)=k$$ 인 $$c$$ 가 열린 구간 $$\left(a,b\right)$$ 내에 적어도 하나 존재한다.

이 정리 바로 앞에 나올 최대·최소의 정리와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는게, 고등미적분학에서 배울 여러가지 내용을 이용해서 증명하기 때문. 자세한 증명은 아래 문단 참조.

2 증명

함수 $$f$$ 가 $$\left[a,b\right]$$ 에서 연속이고 $$k$$ 가 $$f\left(a\right)$$ 와 $$f\left(b\right)$$ 사이의 임의의 값이라 하자 (당연히 $$f\left(a\right)\neq f\left(b\right)$$ 임을 가정한다). $$f\left(a\right)\ltk\ltf\left(b\right)$$ 와 $$f\left(b\right)\ltk\ltf\left(a\right)$$ 의 두가지 경우가 있는데 전자를 가정한다 .

$$A=\left\{x\in\left[a,b\right]|f\left(x\right)\ltk\right\}$$ 라고 하자. 이때 $$c=\sup A$$ 로 정의한다. f가 $$\left[a,b\right]$$ 에서 연속이므로, 적당한 $$\delta _1\gt0$$ 가 존재하여 $$\forall x\in\left[a,a+\delta _1\right) : f\left(x\right)\ltk$$ 이고, 적당한 $$\delta_2\gt0$$ 가 존재하여 $$\forall x\in\left(b-\delta _2,b\right]: f\left(x\right)\gtk$$ 이다. 따라서 $$a\ltc\ltb$$ 이다. 또한 $$f\left(c\right)\ltk$$ 이면 f의 연속성에 의해 $$f\left(c+\alpha\right)\ltk$$ 인 $$\alpha \gt0$$ 가 존재하게 되어 모순이므로, $$f\left(c\right)\geq k$$ 이다.

한편 supremum의 정의에 의해 임의의 $$\epsilon \gt0$$ 에 대하여 $$c-\epsilon\ltx\leq c$$ 인 $$x\in A$$ 가 존재한다. 그러면 f의 연속성에 의해 임의의 $$\delta \gt0$$ 에 대하여 $$f\left(c\right)\ltf\left(x\right)+\delta$$ 인 $$x\in A$$ 가 존재하게 된다. 여기서 $$f\left(x\right)\ltk$$ 이므로 $$f\left(c\right)\ltk+\delta$$ 가 성립한다. 이는 곧 $$f\left(c\right)\leq k$$ 라는 뜻이다. 따라서 $$f\left(c\right)=k$$

3 다른 증명

연결집합을 이용해서 증명을 할 수도 있다. 연결집합은 공집합이 아닌 두 열린 집합으로 쪼개질 수 없는 집합이다. 여기서 열린 집합이란, 열린 구간처럼 경계를 포함하지 않는 집합이며 열린 집합 S와 이 집합의 경계점들의 집합인 경계 $$Bd\left(S\right)$$ 의 합집합을 $$S$$ 의 폐포(closure)라 하고 $$\overline{S}$$ 로 나타낸다. 이제 중간값 정리를 다시 표현하면 다음과 같다.

$$f$$ 가 연결집합 $$D$$ 에서 정의된 연속인 실함수일 때, $$a,b\in f\left(D\right)$$ 이고 $$a\ltc\ltb$$ 이면 $$f\left(p\right)=c$$ 인 $$p\in D$$ 가 존재한다.

이에 대한 증명은 다음과 같다.

모든 $$p\in D$$ 에 대하여 $$f\left(p\right)\neq c$$ 이면 $$f\left(p\right)\gtc$$ 또는 $$f\left(p\right)\ltc$$ 이다. $$U=\left\{p\in D:f\left(p\right)\gtc\right\},V=\left\{p\in D:f\left(p\right)\ltc\right\}$$ 라 하자. $$f$$ 가 연속이므로 $$U$$ 와 $$V$$ 는 $$D$$ 의 열린 집합이다. $$a,b\in f\left(D\right)$$ 이므로 $$f\left(p_{1}\right)=a,f\left(p_{2}\right)=b$$ 인 $$p_{1},p_{2}\in D$$ 가 존재한다. 그런데 $$a=f\left(p_{1}\right)\ltc\ltf\left(p_{2}\right)=b$$ 이므로 $$p_{1}\in V,p_{2}\in U$$ 이다. 따라서 $$V\neq\varnothing,U\neq\varnothing$$ 이다. 그리고 $$\bar{U}\cap V=U\cap\bar{V}=\varnothing$$ 이고 $$D=U\cup V$$ 이다. 따라서 $$D$$ 는 연결집합이 아니고, 이는 가정에 모순된다. 따라서 어떤 $$p\in D$$ 에 대하여 $$f\left(p\right)=c$$ 이다.

4 활용

고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이다. 만약 $$f\left(a\right)\gt0,f\left(b\right)\lt0$$ (혹은 그 반대)이고 $$f$$ 가 연속이면 $$\left(a,b\right)$$ 사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 $$f\left(a\right)$$ 와 $$f\left(b\right)$$ 사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.

실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는것이다. 테이블 꼭짓점의 위치를 각각 A, B, C, D라 하자. 그리고 A, B, C에 의해 평면이 결정되어있다고 하자. 3변수 함수 $$f$$ 를 점에서 평면 ABC까지의 수직 거리라 정의하면 $$f\left(D\right)\gt0$$ 이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)\lt0$$ 이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)\gt0$$ 이 된다. 또한 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)$$ 의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 $$f\left(B\right)-f\left(D\right)=0$$ , 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다.

5 다르부의 중간값 정리

일반적으로 중간값 정리는 연속함수에 대해서 성립하지만, 연속함수가 아니면서 중간값정리의 성질을 만족시킬 수 있다. 이러한 함수들을 다르부 함수(Darboux Function)이라고 하며 대표적인 예로 도함수 $$f'\left(x\right)$$ 가 있다. 다르부의 정리는 다음과 같다.

함수 $$f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$$ 이 열린구간 $$\left(a, b\right)$$ 에서 미분가능하고, 극한값 $$\displaystyle \lim_{h\to 0+} {f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\over h}$$ , $$\displaystyle \lim_{h\to 0-} {f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\over h}$$ 이 모두 존재한다고 하자. 이때 각 극한값을 $$f'\left(a\right)$$ , $$f'\left(b\right)$$ 로 나타내자. 그러면 $$f'\left(a\right)\ne f'\left(b\right)$$ 일 때 $$f'\left(a\right)$$ 와 $$f'\left(b\right)$$ 사이에 있는 임의의 실수 $$k$$ 에 대하여 $$f'\left(c\right)=k$$ 를 만족하는 실수 $$c\in \left(a,b\right)$$ 가 존재한다.

증명

WLOG $$f'\left(a\right)\ltk\ltf'\left(b\right)$$ 라고 하자.

함수 $$g\left(x\right)=f\left(x\right)-kx$$ 를 정의하자. 이때, $$g\left(x\right)$$ 는 구간 $$[a,b]$$ 에서 연속이므로 최대 최소 정리에 의해 $$g$$ 가 최댓값을 가지는 점 $$M\in \left[a, b\right]$$ 이 존재한다. 한편 $$g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-k$$ 이므로 $$g'\left(a\right)\lt0$$ , $$g'\left(b\right)\gt0$$ 이다. 따라서 $$M\in \left(a, b\right)$$ 이다. 그러면 페르마의 임계점 정리에 의해 $$g'\left(M\right)=f'\left(M\right)-k=0$$ 이므로 $$f'\left(M\right)=k$$ 이다.

다르부 함수의 대표적인 예시로 $$\displaystyle f\left(x\right)=x^2\sin{\frac{1}{x}}\left(x\ne 0\right), f\left(0\right)=0$$ 의 도함수가 있다. 이 함수의 도함수는 x=0에서 불연속이지만, 중간값정리의 성질을 만족한다.

6 관련 항목

• 해석학
• 연속함수