Intermediate Value Theorem
中間値-定理
1 개요
고등학교 수학 미적분 파트, 정확하게는 미분의 바로 전 파트인 함수의 극한 마지막 부분에서 처음 보게되는 정리중 하나. 사잇값의 정리라고도 하는데, 교육과정이 개편되면서 바뀌었다. 내용은 다음과 같다.
함수 f(x)
가 닫힌 구간 [a,b]
에서 연속이고 f(a)≠f(b)
일 때, f(a)
와 f(b)
사이의 임의의 값 k
에 대하여 f(c)=k
인 c
가 열린 구간 (a,b)
내에 적어도 하나 존재한다.
이 정리 바로 앞에 나올 최대·최소의 정리와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는게, 고등미적분학에서 배울 여러가지 내용을 이용해서 증명하기 때문. 자세한 증명은 아래 문단 참조.
2 증명
함수 f
가 [a,b]
에서 연속이고 k
가 f(a)
와 f(b)
사이의 임의의 값이라 하자 (당연히 f(a)≠f(b)
임을 가정한다). f(a)\ltk\ltf(b)
와 f(b)\ltk\ltf(a)
의 두가지 경우가 있는데 전자를 가정한다 [1].
A={x∈[a,b]|f(x)\ltk}
라고 하자. 이때 c=supA
로 정의한다. f가 [a,b]
에서 연속이므로, 적당한 δ1>0
가 존재하여 ∀x∈[a,a+δ1):f(x)\ltk
이고, 적당한 δ2>0
가 존재하여 ∀x∈(b−δ2,b]:f(x)\gtk
이다.[2] 따라서 a\ltc\ltb
이다. 또한 f(c)\ltk
이면 f의 연속성에 의해 f(c+α)\ltk
인 α>0
가 존재하게 되어 모순이므로, f(c)≥k
이다.
한편 supremum의 정의에 의해 임의의 ϵ>0
에 대하여 c−ϵ\ltx≤c
인 x∈A
가 존재한다. 그러면 f의 연속성에 의해 임의의 δ>0
에 대하여 f(c)\ltf(x)+δ
인 x∈A
가 존재하게 된다. 여기서 f(x)\ltk
이므로 f(c)\ltk+δ
가 성립한다. 이는 곧 f(c)≤k
라는 뜻이다. 따라서 f(c)=k
3 다른 증명
연결집합을 이용해서 증명을 할 수도 있다. 연결집합은 공집합이 아닌 두 열린 집합으로 쪼개질 수 없는 집합이다. 여기서 열린 집합이란, 열린 구간처럼 경계를 포함하지 않는 집합이며 열린 집합 S와 이 집합의 경계점들의 집합인 경계 Bd(S)
의 합집합을 S
의 폐포(closure)라 하고 ¯S
로 나타낸다. 이제 중간값 정리를 다시 표현하면 다음과 같다.
f
가 연결집합 D
에서 정의된 연속인 실함수일 때, a,b∈f(D)
이고 a\ltc\ltb
이면 f(p)=c
인 p∈D
가 존재한다.
이에 대한 증명은 다음과 같다.
모든 p∈D
에 대하여 f(p)≠c
이면 f(p)\gtc
또는 f(p)\ltc
이다. U={p∈D:f(p)\gtc},V={p∈D:f(p)\ltc}
라 하자. f
가 연속이므로 U
와 V
는 D
의 열린 집합이다. a,b∈f(D)
이므로 f(p1)=a,f(p2)=b
인 p1,p2∈D
가 존재한다. 그런데 a=f(p1)\ltc\ltf(p2)=b
이므로 p1∈V,p2∈U
이다. 따라서 V≠∅,U≠∅
이다. 그리고 ˉU∩V=U∩ˉV=∅
이고 D=U∪V
이다. 따라서 D
는 연결집합이 아니고, 이는 가정에 모순된다. 따라서 어떤 p∈D
에 대하여 f(p)=c
이다.
4 활용
고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이다. 만약 f(a)>0,f(b)<0
(혹은 그 반대)이고 f
가 연속이면 (a,b)
사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 f(a)
와 f(b)
사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.
실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는것이다. 테이블 꼭짓점의 위치를 각각 A, B, C, D라 하자. 그리고 A, B, C에 의해 평면이 결정되어있다고 하자[3]. 3변수 함수 f
를 점에서 평면 ABC까지의 수직 거리라 정의하면 f(D)>0
이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 f(B)−f(D)<0
이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 f(B)−f(D)>0
이 된다. 또한 f(B)−f(D)
의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 f(B)−f(D)=0
, 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다.
5 다르부의 중간값 정리
일반적으로 중간값 정리는 연속함수에 대해서 성립하지만, 연속함수가 아니면서 중간값정리의 성질을 만족시킬 수 있다. 이러한 함수들을 다르부 함수(Darboux Function)이라고 하며 대표적인 예로 도함수 f′(x)
가 있다. 다르부의 정리는 다음과 같다.
함수 f:[a,b]→R
이 열린구간 (a,b)
에서 미분가능하고, 극한값 limh→0+f(a+h)−f(a)h
, limh→0−f(b+h)−f(b)h
이 모두 존재한다고 하자. 이때 각 극한값을 f′(a)
, f′(b)
로 나타내자. 그러면 f′(a)≠f′(b)
일 때 f′(a)
와 f′(b)
사이에 있는 임의의 실수 k
에 대하여 f′(c)=k
를 만족하는 실수 c∈(a,b)
가 존재한다.
증명
WLOG f′(a)\ltk\ltf′(b)
라고 하자.
함수 g(x)=f(x)−kx
를 정의하자. 이때, g(x)
는 구간 [a,b]
에서 연속이므로 최대 최소 정리에 의해 g
가 최댓값을 가지는 점 M∈[a,b]
이 존재한다. 한편 g′(x)=f′(x)−k
이므로 g′(a)<0
, g′(b)>0
이다. 따라서 M∈(a,b)
이다. 그러면 페르마의 임계점 정리[4]에 의해 g′(M)=f′(M)−k=0
이므로 f′(M)=k
이다.
다르부 함수의 대표적인 예시로 f(x)=x2sin1x(x≠0),f(0)=0
의 도함수가 있다. 이 함수의 도함수는 x=0에서 불연속이지만, 중간값정리의 성질을 만족한다.
6 관련 항목
- 이동 ↑ 후자의 경우에는 g=-f 로 정하고 g에 대해 정리를 적용하여 증명할 수 있다
- 이동 ↑ 이 부분 역시 증명이 필요하다. 어렵지 않으므로 직접 해보자.
- 이동 ↑ 평면의 결정조건 중 하나가 공선점이 아닌 세 점이다
- 이동 ↑ 미분가능한 함수의 극대/극소점에서의 미분계수는 항상 0이다.