Intermediate Value Theorem
中間値-定理
1 개요
고등학교 수학 미적분 파트, 정확하게는 미분의 바로 전 파트인 함수의 극한 마지막 부분에서 처음 보게되는 정리중 하나. 사잇값의 정리라고도 하는데, 교육과정이 개편되면서 바뀌었다. 내용은 다음과 같다.
함수 [math]f\left(x\right)[/math]가 닫힌 구간 [math]\left[a, b\right][/math]에서 연속이고 [math]f\left(a\right) \neq f\left(b\right)[/math]일 때, [math]f\left(a\right)[/math]와 [math]f\left(b\right)[/math] 사이의 임의의 값 [math]k[/math]에 대하여 [math]f\left(c\right)=k[/math]인 [math]c[/math]가 열린 구간 [math]\left(a,b\right)[/math]내에 적어도 하나 존재한다.
이 정리 바로 앞에 나올 최대·최소의 정리와 마찬가지로 고교과정에선 증명을 하지 않고 그냥 사용한다. 사실 증명을 하려 해도 할 수 없는게, 고등미적분학에서 배울 여러가지 내용을 이용해서 증명하기 때문. 자세한 증명은 아래 문단 참조.
2 증명
함수 [math]f[/math]가 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이고 [math]k[/math]가 [math]f\left(a\right)[/math]와 [math]f\left(b\right)[/math]사이의 임의의 값이라 하자 (당연히 [math]f\left(a\right)\neq f\left(b\right)[/math]임을 가정한다). [math]f\left(a\right)\ltk\ltf\left(b\right)[/math]와 [math]f\left(b\right)\ltk\ltf\left(a\right)[/math]의 두가지 경우가 있는데 전자를 가정한다 [1].
[math]A=\left\{x\in\left[a,b\right]|f\left(x\right)\ltk\right\}[/math]라고 하자. 이때 [math]c=\sup A[/math]로 정의한다. f가 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이므로, 적당한 [math]\delta _1\gt0[/math]가 존재하여 [math]\forall x\in\left[a,a+\delta _1\right) : f\left(x\right)\ltk[/math]이고, 적당한 [math]\delta_2\gt0[/math]가 존재하여 [math]\forall x\in\left(b-\delta _2,b\right]: f\left(x\right)\gtk[/math]이다.[2] 따라서 [math]a\ltc\ltb[/math]이다. 또한 [math]f\left(c\right)\ltk[/math]이면 f의 연속성에 의해 [math]f\left(c+\alpha\right)\ltk[/math]인 [math]\alpha \gt0 [/math]가 존재하게 되어 모순이므로, [math]f\left(c\right)\geq k[/math]이다.
한편 supremum의 정의에 의해 임의의 [math]\epsilon \gt0[/math]에 대하여 [math]c-\epsilon\ltx\leq c [/math]인 [math]x\in A[/math]가 존재한다. 그러면 f의 연속성에 의해 임의의 [math]\delta \gt0[/math]에 대하여 [math]f\left(c\right)\ltf\left(x\right)+\delta[/math]인 [math]x\in A[/math]가 존재하게 된다. 여기서 [math]f\left(x\right)\ltk[/math]이므로 [math]f\left(c\right)\ltk+\delta[/math]가 성립한다. 이는 곧 [math]f\left(c\right)\leq k[/math]라는 뜻이다. 따라서 [math]f\left(c\right)=k[/math]
3 다른 증명
연결집합을 이용해서 증명을 할 수도 있다. 연결집합은 공집합이 아닌 두 열린 집합으로 쪼개질 수 없는 집합이다. 여기서 열린 집합이란, 열린 구간처럼 경계를 포함하지 않는 집합이며 열린 집합 S와 이 집합의 경계점들의 집합인 경계 [math]Bd\left(S\right)[/math]의 합집합을 [math]S[/math]의 폐포(closure)라 하고 [math]\overline{S}[/math]로 나타낸다. 이제 중간값 정리를 다시 표현하면 다음과 같다.
[math]f[/math]가 연결집합 [math]D[/math]에서 정의된 연속인 실함수일 때, [math]a,b\in f\left(D\right)[/math]이고 [math]a\ltc\ltb[/math]이면 [math]f\left(p\right)=c[/math]인 [math]p\in D[/math]가 존재한다.
이에 대한 증명은 다음과 같다.
모든 [math]p\in D[/math]에 대하여 [math]f\left(p\right)\neq c[/math]이면 [math]f\left(p\right)\gtc[/math] 또는 [math]f\left(p\right)\ltc[/math]이다. [math]U=\left\{p\in D:f\left(p\right)\gtc\right\},V=\left\{p\in D:f\left(p\right)\ltc\right\}[/math]라 하자. [math]f[/math]가 연속이므로 [math]U[/math]와 [math]V[/math]는 [math]D[/math]의 열린 집합이다. [math]a,b\in f\left(D\right)[/math]이므로 [math]f\left(p_{1}\right)=a,f\left(p_{2}\right)=b[/math]인 [math]p_{1},p_{2}\in D[/math]가 존재한다. 그런데 [math]a=f\left(p_{1}\right)\ltc\ltf\left(p_{2}\right)=b[/math]이므로 [math]p_{1}\in V,p_{2}\in U[/math]이다. 따라서 [math]V\neq\varnothing,U\neq\varnothing[/math]이다. 그리고 [math]\bar{U}\cap V=U\cap\bar{V}=\varnothing[/math]이고 [math]D=U\cup V[/math]이다. 따라서 [math]D[/math]는 연결집합이 아니고, 이는 가정에 모순된다. 따라서 어떤 [math]p\in D[/math]에 대하여 [math]f\left(p\right)=c[/math]이다.
4 활용
고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이다. 만약 [math]f\left(a\right)\gt0,f\left(b\right)\lt0[/math] (혹은 그 반대)이고 [math]f[/math]가 연속이면 [math]\left(a,b\right)[/math]사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 [math]f\left(a\right)[/math]와 [math]f\left(b\right)[/math]사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.
실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는것이다. 테이블 꼭짓점의 위치를 각각 A, B, C, D라 하자. 그리고 A, B, C에 의해 평면이 결정되어있다고 하자[3]. 3변수 함수 [math]f[/math]를 점에서 평면 ABC까지의 수직 거리라 정의하면 [math]f\left(D\right)\gt0[/math]이고 나머지 점의 함수값은 0이 된다. 점 D와 마주보는 점을 B라 하면 [math]f\left(B\right)-f\left(D\right)\lt0[/math]이고 테이블을 180도 돌리면 A와 C, B와 D의 위치가 바뀌고 [math]f\left(B\right)-f\left(D\right)\gt0[/math]이 된다. 또한 [math]f\left(B\right)-f\left(D\right)[/math]의 값은 연속적인 값이므로 중간값의 정리에 의해 [math]f\left(B\right)-f\left(D\right)=0[/math], 즉 테이블이 흔들리지 않게 되는 점이 180도 회전할 때 적어도 하나 존재하게 되는 것이다.
5 다르부의 중간값 정리
일반적으로 중간값 정리는 연속함수에 대해서 성립하지만, 연속함수가 아니면서 중간값정리의 성질을 만족시킬 수 있다. 이러한 함수들을 다르부 함수(Darboux Function)이라고 하며 대표적인 예로 도함수 [math]f'\left(x\right)[/math]가 있다. 다르부의 정리는 다음과 같다.
함수 [math]f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R[/math]이 열린구간 [math]\left(a, b\right)[/math]에서 미분가능하고, 극한값 [math]\displaystyle \lim_{h\to 0+} {f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\over h}[/math], [math]\displaystyle \lim_{h\to 0-} {f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\over h}[/math]이 모두 존재한다고 하자. 이때 각 극한값을 [math]f'\left(a\right)[/math], [math]f'\left(b\right)[/math]로 나타내자. 그러면 [math]f'\left(a\right)\ne f'\left(b\right)[/math]일 때 [math]f'\left(a\right)[/math]와 [math]f'\left(b\right)[/math]사이에 있는 임의의 실수 [math]k[/math]에 대하여 [math]f'\left(c\right)=k[/math]를 만족하는 실수 [math]c\in \left(a,b\right)[/math]가 존재한다.
증명
WLOG [math]f'\left(a\right)\ltk\ltf'\left(b\right)[/math]라고 하자.
함수 [math]g\left(x\right)=f\left(x\right)-kx[/math]를 정의하자. 이때, [math]g\left(x\right)[/math]는 구간 [math][a,b][/math]에서 연속이므로 최대 최소 정리에 의해 [math]g[/math]가 최댓값을 가지는 점 [math]M\in \left[a, b\right][/math]이 존재한다. 한편 [math]g'\left(x\right)=f'\left(x\right)-k[/math]이므로 [math]g'\left(a\right)\lt0[/math], [math]g'\left(b\right)\gt0[/math]이다. 따라서 [math]M\in \left(a, b\right)[/math]이다. 그러면 페르마의 임계점 정리[4]에 의해 [math]g'\left(M\right)=f'\left(M\right)-k=0[/math]이므로 [math]f'\left(M\right)=k[/math]이다.
다르부 함수의 대표적인 예시로 [math]\displaystyle f\left(x\right)=x^2\sin{\frac{1}{x}}\left(x\ne 0\right), f\left(0\right)=0[/math]의 도함수가 있다. 이 함수의 도함수는 x=0에서 불연속이지만, 중간값정리의 성질을 만족한다.