목차
1 개요
고등학교 수학 미적분 파트에서 볼 수 있는 연속함수의 성질 중 하나. 영어로는 Extreme Value Theorem[1] 이라고 한다.
2 비 수학과를 위한 설명
수학의 정석에서는 이렇게 설명 하고 있다.
함수 [math]f\left(x\right)[/math]가 닫힌 구간 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이면 [math]f\left(x\right)[/math]는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.
여기서 중요한 것은 닫힌 구간과 연속이다. 둘 중 하나라도 빠지면 최댓값과 최솟값이 존재 하지 않을 수도 있다. 시험에서 실수로 빼먹으면 틀릴 수도 있다. 다만 이 정리 하나만으론 문제를 잘 안 낸다. 얼핏보면 당연해 보이는 이 정리는 교과서나 정석에서도 증명을 고교생 수준에선 할 수 없다며 하지 않고 넘어간다. 그 이유를 알고 싶다면 아래 문단을 읽어보도록 하자.
3 수학과를 위한 설명
수학에 대해 조금 관심이 있는 사람이라면 알겠지만, 당연해보이는 것의 증명이 사실은 어려운 법. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계(boundness)나 컴팩트(compact)에 대한 이해가 필요하다. 한 단계씩 증명을 하도록 하자.
3.1 보조정리 1
함수 [math]f[/math]가 닫혀있고(closed) 유계인(bounded) 구간 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이면, 구간 [math]\left[a,b\right][/math]의 임의의 점 [math]x_0[/math]에 대하여 [math]x_0\in I[/math]인 열린 구간 [math]I[/math]가 존재하여 [math]f[/math]가 [math]I\cap \left[a,b\right][/math]에서 유계이다.
증명
[math]f[/math]는 [math]x_0[/math]에서 연속이므로, 임의의 [math]x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\cap \left[a,b\right][/math]에 대해 [math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt1[/math]을 만족하게 하는 [math]\delta\gt0[/math]이 존재한다. 즉, [math]\left|f\left(x\right)\right|\lt1+\left|f\left(x_0\right)\right|[/math]가 성립하므로 [math]f[/math]는 [math]\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\cap \left[a,b\right][/math]에서 유계이다.
3.2 보조정리 2
집합 [math]A[/math]의 임의의 점에 대해 그 점을 포함하면서 함수 [math]f[/math]가 유계인 열린 집합이 존재할 때, [math]A[/math]가 컴팩트 집합이면 [math]f[/math]는 [math]A[/math]에서 유계이다.
증명
각 [math]x\in A[/math]에 대해 [math]f[/math]가 [math]A\cap I_x[/math]에서 유계인 열린 구간 [math]I_x=\left(x-\delta_x,x+\delta_x\right)[/math]이 존재한다고 하자. 열린 구간 [math]I_x[/math]의 집합 [math]\left\{I_x|x\in A\right\}[/math]는 집합 [math]A[/math]의 열린 덮개(open covering)이고 [math]A[/math]가 컴팩트 집합이므로, [math]\displaystyle A\subset\bigcap_{k=1}^{n}I_{x_k}[/math]를 만족하는 유한한 열린 구간 [math]I_{x1},I_{x2},\cdots,I_{xn}[/math]이 존재한다. 또한 각 [math]k=1,2,\cdots,n[/math]에 대해 [math]f[/math]는 [math]A\cap I_{x_k}[/math]에서 유계이므로 [math]\left|f\left(x\right)\right|\leq M_k,\forall x\in A\cap I_{x_k}[/math]을 만족하는 [math]M_k\gt0[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle M=\max_{1\leq k\leq n}M_k[/math]라 하면 [math]\left|f\left(x\right)\right|\ltM,\forall x\in A[/math]가 성립하므로, [math]f[/math]는 [math]A[/math]에서 유계이다.
3.3 본 증명
[math]f[/math]가 구간 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이므로, 보조정리 1,2에 의해 [math]f[/math]는 [math]\left[a,b\right][/math]에서 유계이다. 실수의 완비성에 의해 [math]\displaystyle M=\sup_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right),\,m=\inf_{x\in\left[a,b\right]}f\left(x\right)[/math]가 실수로서 존재한다. 이제 [math]f[/math]가 함숫값으로 [math]M[/math]을 가질 수 없다고 가정하자. 그러면 [math]f\left(x\right)\ltM,\forall x\in\left[a,b\right][/math]이다. [math]\left[a,b\right][/math]에서 [math]\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{M-f\left(x\right)}[/math]라 정의하자. 그러면 [math]g\left(x\right)\gt0[/math]이고, 연속함수의 성질에 의해서 [math]g\left(x\right)[/math]도 [math]\left[a,b\right][/math]에서 연속이다[2]. 보조정리 1,2에 의해 [math]g[/math]도 [math]\left[a,b\right][/math]에서 유계이므로, [math]g\left(x\right)\leq k[/math]를 만족하는 양수 [math]k[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle \frac{1}{M-f\left(x\right)}\leq k[/math]이므로, [math]\displaystyle f\left(x\right)\leq M-\frac{1}{k},\forall x\in\left[a,b\right][/math]이다. 이는 상한(supremum)의 정의에 위배되고 따라서 [math]f[/math]는 함숫값으로 [math]M[/math]을 가져야 한다. 즉, [math]f[/math]는 최댓값을 가진다. 최솟값의 존재에 대한 증명은 [math]-f[/math]에 대해 같은 방법을 적용해 증명할 수 있다.
4 다변수 함수에서의 최댓값, 최솟값
위 일변수 함수에서의 최대·최소의 정리를 유클리드 공간 [math]{\mathbb R}^n[/math]에 대해 일반화 시킨 버전. 내용은 아래와 같다.
[math]f:{\mathbb R}^n \rightarrow \mathbb R[/math]가 [math]A\subset \mathbb{R}^n[/math]에서 연속이고, [math]A[/math]가 compact 하다고 하자. 그러면 함수 [math]f[/math]는 [math]A[/math]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.
일변수 함수의 것과 비교해보면 닫힌 구간이 compact로 바뀐 것 밖에 없다. 사실 닫힌 구간이 compact의 한 예이다. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 유클리드 공간의 부분집합의 컴팩트성은 "유계이며 닫혀있음"과 동치이기 때문이다. 이 정리를 좀 더 일반화 시키면 compact한 위상공간에 대한 버전이 있다.
5 일반화된 버전
컴팩트 공간 [math]K[/math]에서 전순서(total order)에 의해 주어진 위상공간 [math]Y[/math]를 생각하자. 연속함수 [math]f:K\to Y[/math]는 최대·최소를 갖는다.
[math]f[/math]의 치역을 [math]A[/math]라 할 때 [math]A[/math]에서 최댓값이 없다고 하자. 그러면, [math]\displaystyle A\subset \bigcup_{a\in A}\left(-\infty,\, a\right)[/math]이다. [math]A[/math]는 컴팩트 집합이므로, [math]A[/math]의 유한 부분집합 [math]\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle A\subset\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}\left(-\infty,\, a_{i}\right)=\left(-\infty,\, a_{\text{max}}\right)[/math] ([math]\displaystyle a_{\text{max}}=\max_{1\leq i\leq n} a_{i}[/math])이다. 그런데 이는, [math]a_{\text{max}}\in A[/math]에 모순이다.따라서 [math]A[/math]는 최댓값을 갖는다. 최솟값도 마찬가지이다.