진실탐지기

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문서가 있는 더 지니어스 게임
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더 지니어스:룰 브레이커의 결승전 두 번째 게임.

1 룰

1. 결승진출자 2명은 0~9까지의 숫자를 조합하여 4자리 수의 패스워드를 만든다.

2. 패스워드 설정에는 제한이 없다. 즉, 모두 한 가지 숫자(1111)로 만들어도 되고, 모두 다른 숫자(1234)로 만들어도 된다.

3. 패스워드 설정이 끝나면 선 플레이어부터 번갈아가며 상대방에게 패스워드에 대한 질문을 한다.

4. 질문을 받은 플레이어는 반드시 해당 질문에 대해 거짓으로 대답해야 한다.

5. 진실을 말할 경우 진실 탐지기가 작동되며, 진실 페널티로 0~9까지 숫자 중 자신의 패스워드에 포함되지 않은 숫자 1개를 상대방에게 공개해야 한다.

6. 질문은 반드시 패스워드에 관련된 질문만 해야하며, 대답 역시 해당 질문과 상관없는 엉뚱한 대답이나 불가능한 대답, 회피성 대답을 해서는 안 된다.

7. 질의응답을 통해 상대방의 패스워드를 알아냈다면, '정답'을 외친 뒤 패스워드를 말하면 된다. 단, 정답을 말하는 것도 턴이 소모된다.

8. 상대의 거짓대답을 정보로 먼저 상대방의 패스워드의 숫자와 순서를 정확히 맞힌 플레이어가 승리한다.

9. 진실 탐지기에는 '선플레이어', '진실페널티 면제', '더블턴 아이템' 총 3개의 아이템이 사용된다.

10. '선플레이어' 아이템은 먼저 질문을 시작할 수 있는 아이템이다.

11. '진실페널티 면제' 아이템은 실수로 진실을 말했을 때 상대방에게 제외숫자를 공개해야하는 페널티를 면제해주는 아이템이다.

12. '더블턴 아이템'은 자신의 턴에 질문 2개를 연속으로 하거나, 질문과 정답을 동시에 할 수 있는 아이템이다.

2 추가 정보 및 전략

2.1 탐색

수학 전공 남휘종과 컴퓨터 공학 전공 이두희는 이진 탐색을 통해 14번의 질문만으로 답을 구할 수 있다는 것을 일찌감치 알아챘다. 탐색 방식의 핵심은 모든 가능한 경우의 수를 특정한 기준으로 답이 확실히 있는 쪽과 확실히 없는 쪽으로 나누어 답이 확실히 있는 쪽만을 계속 탐색해 나가는 것이고, 예 또는 아니오로 대답할 수 있는 질문인 경우 탐색 공간을 반으로 나누는 것이 최악의 경우를 방지할 수 있는 방법이다. 따라서 전체 숫자가 5000 이상인지, 전체 숫자가 홀수인지 짝수인지, 자리수별로 홀수인지 짝수인지를 묻는 질문들은 모두 효과적이다.

이진 탐색을 계속하여 탐색 공간 크기가 2 내지 3으로 좁혀졌을 경우 정답을 말하고 찍는 것이 효과적이다. 둘이 남은 경우는 물론 당연하고, 셋이 남은 경우라도 결국 질문을 통해 하나 내지 둘로 나눠야 하는데, 찍을 경우 맞으면 좋은 것이고, 아니더라도 결국 둘 중 하나이기 때문이다.

또 탐색 공간 크기가 6일 경우, 2와 4로 나누는 경우 3과 3으로 나누는 것에 비해 최대 소요 턴수는 같지만, 확률적으로 보면 비효율적이다. 2와 4로 나누는 경우 2 쪽에 있을 확률 1/3이 되고, 4 쪽에 있을 확률 2/3이 되는데, 2 쪽에 있을 경우 소요 턴 확률은 2턴과 3턴 각각 50%인데 반해 4 쪽에 있을 경우 3턴과 4턴 각각 50%가 되어 최종적으로 2턴 1/6, 3턴 1/2, 4턴 1/3이 된다. 3과 3으로 나누는 경우에는 2턴, 3턴, 4턴 모두 다 1/3 확률이니 결국 3과 3으로 나누는 것이 효율적이 되는 것이다.

이진 탐색으로 13턴 및 14턴 만에 끝낼 확률은 각각 40.96%이며, 최악의 경우인 15턴이 소요될 확률은 18.08%이다. 탐색 공간을 2 내지 3으로 좁히는데 12턴이 소요되며, 이후로 찍기가 최대 3번 들어가기 때문에 저렇게 소요 턴수가 다양하게 나올 수 있는 것이다.

이두희는 자신의 페이스북에서 이진 탐색보다 빨리 정답의 범위를 줄여줄 수 있는 '삼진 탐색' 알고리즘을 제시했다. 이 알고리즘에는 상대방이 의도적으로 진실을 말하는 경우에 대한 고려도 추가되어 있으며, 이에 대해서는 아래 진실페널티 활용 부분에 설명한다.

이와 같은 다지선다를 더욱 일반화하여 k진 탐색을 할 수 있다. 이때 상대가 거짓만을 말한다는 전제 하에 －[－log_k10000］ 번의 질문만으로 정답을 찾을 수 있다.

(추정한 전략) 한편 처음의 경우의 수인 10000이 정확한 2의 거듭제곱이 아니라는 것을 이용하여 이진 탐색의 안정성과 도박을 모두 행하는 방법도 있다. 10000을 넘지 않는 가장 큰 2의 거듭제곱이 8192이므로 첫 질문만 불균형하게 하면서 적은 쪽이 걸릴 때의 경우의 수가 1808 이상이 되도록 하는 것. 곧이곧대로 8192 대 1808로 나누면 8192가 걸렸을 때 정직하게 둘씩만 나뉘기 때문에 1/3 찍기를 통한 턴 단축을 할 수가 없어 확률상 5000 대 5000보다 약간 더 불리하지만 6000 대 4000 정도로 나눈다면 6000 쪽이 걸려도 2 내지 3까지 좁힐 때 발생하는 경우들의 확률이 앞과 큰 차이가 없어 거의 본전이면서도 4000 쪽이 걸릴 확률이 나쁘지 않아 한 질문을 벌 가능성이 올라간다. 도박성을 높인다면 이후로도 나뉘는 경우의 수에 차이를 만들었을 때 한쪽의 필요 질문을 늘리지 않고 한쪽의 필요 질문을 줄일 수 있는 경우가 나올 때마다 이 방법으로 조금씩 확률적인 이득을 취할 수 있을 것이다.

2.2 진실페널티 활용

진실탐지기 게임이 다른 유사 게임과 가장 차별화된 부분이 진실을 말했을 때 패스워드에 포함되지 않은 숫자 하나를 공개하는 진실페널티이다. 질문자는 이 규칙을 악용하여 상대방이 진실을 말할 수밖에 없는 질문을 하여 페널티를 유도할 수 있다.

예를 들어 "당신의 패스워드 말고 다른 숫자 하나 불러주세요." 이는 위의 다지선다에서 0000부터 9999까지 만 개를 보기로 제시한 것과 같은 질문이 되어, ceiling(log₁₀₀₀₀10000) = 1번의 질문만으로 정답을 찾을 수 있다. 이 경우 답변하는 플레이어는 패스워드가 완전히 노출되는 것을 방지하려면 진실페널티를 감수하고 의도적으로 패스워드가 아닌 숫자를 대답해야 한다.

룰 6의 불가능한 대답과 회피성 대답을 할 수 없다는 규칙을 이용할 수도 있다. 예를 들어 "당신의 패스워드 숫자 네 개의 합은 37이 넘습니까?"라는 질문에 대해 "37이 넘습니다."라는 대답은 네 숫자의 합이 36 이하이므로 불가능한 대답으로 금지되고, "37을 넘지 않습니다."라는 대답은 진실이므로 진실페널티가 적용되며, 이 둘 이외의 대답은 회피성 대답으로 금지된다.

단, 순수하게 진실페널티만을 노릴 경우 초중반에는 이진 탐색보다 느려보일 수 있다. 진실페널티를 통해 특정 숫자를 배제해 나가면 남은 탐색 범위는 10000(= 10⁴) → 6561(= 9⁴) 식으로 줄어들어 6회 질문 완료 시 256(= 4⁴) 경우가 남는데, 이진 탐색의 경우 6회 질문 이후 남은 탐색 범위는 157 경우이다. 이두희가 삼진 탐색을 제안한 이유도 진실페널티에만 의존하는 것이 이러한 단점이 있기 때문이다.

그러나 이후로는 진실페널티 유도 쪽이 크게 유리해진다. 이는 또 한 번 진실페널티를 유도하는 질문을 했을 때 새로운 숫자가 공개되지 않았다면 숫자는 네 종류로 확정, 경우의 수는 24(= 4!)로 크게 줄어들어 이진 탐색의 7번째 질문 결과인 79를 추월하기 때문이다. 이후 이진 탐색 5회 질문을 통해 총 12회 질문으로 답을 구할 수 있다. 한편 숫자가 중복되는 경우 몇 차례 진실페널티 유도 질문을 더 사용하여 패스워드를 구성하는 숫자를 밝혀내야 한다. 최악의 경우는 세 종류 숫자로 패스워드가 구성된 경우로, 구성 숫자 확정을 위한 질문 8회와 36(= 4! / 2 * 3)가지 경우를 구분해 내기 위한 이진 탐색 질문 최대 6회를 합해 총 최대 14개의 질문이 필요하다. 이 경우 13회 및 14회째에 끝낼 확률은 각각 44.44% (= 4/9), 15회째에 끝낼 확률은 11.11% (= 1/9)이다. 숫자 둘 이하로 구성되는 경우 숫자가 둘 이하임을 확인하는 데 필요한 질문 8회와, 한 종류인지 두 종류인지 밝혀낼 필요 없이 모든 16가지 경우에 대한 이진 탐색에 필요한 질문 4회를 합해 총 12회의 질문이 필요하게 된다.

이진 탐색은 모든 경우에 대해 13회 또는 14회 질문이 필요한 반면, 진실페널티 활용 전술은 3가지 숫자로 구성되지 않은 경우에 대해 11회 또는 12회, 그렇게 구성된 경우에도 최대 14회 질문으로 답을 알아낼 수 있는데다, 확률적으로 따져봐도 유리하고, 플레이어들이 패스워드 선택 시 심리적으로 숫자가 겹치는 것을 꺼렸던 것을 감안하면 보다 효과적인 전략이다. 삼진 탐색과의 융합은 일반적인 경우에 대해서는 나을 것으로 예상되나 상대방이 경우에 따라 진실과 거짓을 섞어 답할 수 있기 때문에 자리수 구성을 확정짓기 어렵다.

단, 이와 같은 진실페널티 전술은 진실페널티를 두 번 이상 받을 경우 기존에 공개한 것 외의 숫자를 공개하여야 하며, 더 이상 공개할 수 없는 때에는 그 사실을 알리게 된다는 가정 하에 이루어진 것이다. 룰 상에서는 패스워드에 포함되지 않은 숫자를 공개한다고만 되어 있지 이미 공개한 숫자를 공개해서는 안된다는 규정이 없으므로, 답변하는 플레이어가 계속 한 숫자만 진실페널티로 공개하고 그것이 허용된다면 진실페널티 활용은 사실상 불가능하다.

진실페널티 활용이 불가능할 경우 답변자가 어떤 답변을 하더라도 필요한 정보를 얻을 수 있는 질문을 할 필요가 있고, 이는 결과적으로 "진실탐지기가 울렸는지 아닌지"를 통해 확인할 수 있는 '예 또는 아니오로 대답할 수 있는 질문'으로 귀결된다.

2.2.1 12회 내 해법

앞서는 숫자가 세 종류인 경우 숫자 확정에 8회 질문, 36개 경우의 수를 이진 탐색으로 알아내는데 6번의 질문이 필요하기 때문에 최악의 경우 14회의 질문이 필요했고, 그 외의 경우 12회의 질문이 필요했다. 만일 숫자 종류를 확정짓기 위한 질문을 하는 과정에서 질문 수에 부정적인 영향을 미치지 않고 숫자가 세 종류인 경우에 대한 추가 정보를 알아낼 수 있다면 최악의 경우에 필요한 질문 수를 줄일 수 있다. 이와 같은 방법을 통해 모든 경우에 12번 질문으로 답을 알아내는 방법이 복잡하지만 아래와 같이 존재한다.

1. 처음 질문을 아래와 같이 한다.
A: 패스워드가 세 종류의 숫자로 되어 있으며 천의 자리는 세 숫자의 최댓값이다.
B: 패스워드가 세 종류의 숫자로 되어 있으며 천의 자리는 세 숫자의 최솟값이다.
C: 패스워드가 세 종류의 숫자로 되어 있으며 A에도 B에도 속해있지 않다.
A~C 가운데 당신의 패스워드가 속하지 않은 그룹을 하나 고르시오.

2a. 1에 대한 상대방의 대답이 진실페널티를 받지 않은 경우, 상대방이 답한 그룹에 대한 이진 탐색을 진행한다. 이 시점에 한 그룹에 속한 경우의 수는 1440(=10*9*8*6/3)개이며, 이는 2048(= 2¹¹)보다 작으므로 11회 이진 탐색을 통해 총 12회만에 답을 찾을 수 있다.

2b. 1에 대한 상대방의 대답이 진실페널티를 받은 경우, 상대방이 답한 그룹을 제외한 두 그룹에 대해 패스워드가 속하지 않는 그룹을 고르라고 질문한다.

3a. 2b에 대한 상대방의 대답이 진실페널티를 받지 않은 경우, 상대방이 답한 그룹에 대한 이진 탐색을 진행한다. 이 시점에 한 그룹에 속한 경우의 수는 1008(=9*8*7*6/3)개이며, 이는 1024(= 2¹⁰)보다 작으므로 10회 이진 탐색을 통해 총 12회만에 답을 찾을 수 있다.

3b. 2b에 대한 상대방의 대답이 진실페널티를 받은 경우, 진실밖에 답할 수 없는 질문을 통해 상대방의 패스워드를 구성하는 숫자를 진실페널티로 찾는다.

4a. 3b를 통해 7번째 질문에 네 종류 숫자임을 확인한 경우, 남은 24개 경우의 수에 대해 5회 이진 탐색을 통해 총 12회만에 답을 찾을 수 있다.

4b. 3b를 통해 8번째 질문에 세 종류 숫자임을 확인한 경우, 상대방이 2b와 3b에서 대답하지 않은 나머지 그룹에 속하는 12개 경우의 수에 대해 4회 이진 탐색을 통해 총 12회만에 답을 찾을 수 있다.

4c. 3b를 통해 8번째 질문에 세 종류 숫자가 아님을 확인한 경우, 남은 16개 경우의 수에 대해 4회 이진 탐색을 통해 총 12회만에 답을 찾을 수 있다.

위와 같이 모든 경우에 대해 총 12회 질문을 통해 답을 찾을 수 있다. 이 방법의 핵심은 2a, 3a 단계의 이진 탐색에서 탐색 범위를 총 12회 질문으로 답을 찾을 수 있는 크기로 줄였다는 점과, 4b 단계에서 남는 경우의 수가 36이 아닌 12가 되도록 질문 1과 2b를 통해 줄였다는 점이다.

2.3 아이템

선플레이어 아이템과 더블턴 아이템을 둘 다 가지게 될 경우 이길 확률이 매우 높다. 상대의 전략이 나의 전략보다 좋아도 해당 전략을 따라가기만 해도 차례가 앞설 수 있기 때문이다. 선플레이어 아이템과 더블턴 아이템이 나뉠 경우 더블턴 쪽이 유리하다.

룰 12에 따르면 더블턴 아이템을 써서 질문 없이 정답만 두 번 말하는 것은 불가능한 것으로 해석할 수 있지만, 이는 사실상 게임에 큰 영향이 없다. 탐색 공간이 3 남았고 더블턴 아이템이 정답 두 번을 허용하는 경우 바로 정답을 맞출 확률도 2/3이 되지만, 질문을 하는 경우 그 질문으로 답을 바로 알 확률이 1/3이고, 답을 안다면 그 답을 찍으면 되고, 아니라면 둘 중 하나를 찍게 되니, 결국 1/3+2/3*1/2=2/3으로 똑같은 확률이 나오기 때문이다.

방송 후 가장 이슈가 되었던 것은 진실페널티 면제 아이템이다. 위와 같은 전략들이 제안되는 과정에서 진실페널티 면제 아이템의 효력에 대한 여러 가지 추측이 있었으나, 아래와 같이 명확하게 정리할 수 있다.

• 룰 5에 따라 진실탐지기는 진실을 답변했을 때 반드시 울린다. 진실페널티 면제 아이템은 패스워드에 포함되지 않은 숫자를 공개하는 페널티만을 없애줄 뿐, 진실탐지기가 울리는 것은 페널티가 아니므로 막을 수 없다.
• 룰 6에 따라 패스워드와 무관한 질문과 회피성 답변은 질문이나 답변을 한 것으로 인정조차 되지 않으며, 플레이어가 정상적인 질문이나 답변을 할 때까지 기다린다.

따라서 모호한 답변을 통해 상대에게 정보를 주지 않거나, 해당 아이템을 이용하여 상대방에게 잘못된 정보를 인식시킬 수 있는 방법은 없다. 또 답변하는 플레이어가 계속 한 숫자만 진실페널티로 공개하고 그것이 허용된다면 이 면제 아이템은 의미를 거의 상실하게 된다. 그러나 진실페널티가 가능하다면 항상 새로운 숫자를 공개해야 하는 것이고 상대가 진실페널티를 적극 활용하는 전략을 구사할 경우 1턴을 버는 용도로 이용할 수 있다.

2.4 실수 유발

복잡한 질문을 하면 상대방이 아무렇게나 대답하거나 계산 과정에서 실수할 수도 있다. 실제로 방청중이던 남휘종이 "소인수 분해가 되나요?"같은 질문을 하면 어때요 같은 드립을 하기도 했고, 임요환의 더하기 곱하기 등도 조금이나마 상대방이 답변하면서 실수할 여지를 만들기 위해 꼰 것으로 해석할 수도 있다. 패러독스를 이용한 질문도 효과적이다. 예를 들면 "겹치는 숫자가 있습니까?"라는 질문을 한 번 꼬아서 "내가 당신에게 겹치는 숫자가 있다고 물으면 뭐라고 답을 해야 진실페널티를 안받습니까?"라고 물어보면 겹치는 숫자가 없을 경우 답변은 "아니오 없다고 답을 해야합니다"라고 해야 한다. 진실페널티 유도로 쓸 수도 있지만 다지 선다와 융합하여 큰 정보를 낚는 데에도 쓸 수 있다.

한편 실수 유발은 대답에 대해서도 적용할 수 있다. 예/아니오를 묻는 질문에 대해 "스타크래프트 2의 업그레이드 전의 마린의 체력이 40(실제로는 45)이냐는 질문에 대한 대답과 같다."고 하는 등 이해에 전문 지식이 필요한 대답이나, 계산 실수를 유발할 수 있는 복잡한 수식으로 꼰 대답을 통해 질문자가 대답의 의미를 제대로 이해하지 못하거나 잘못 이해하는 것을 노리는 것이다. 단, 이에 대해서는 질문자가 회피성 대답이라고 항의하면 딜러가 이 항의를 받아들일 여지가 충분하고, 진실탐지기를 즉시 동작시켜야 하는 제작진 입장에서도 대답으로 인정하기 어렵다.

2.5 둘 이상 대답하기

상대가 다지선다형 질문을 할 때 둘 이상의 보기를 선택할 경우 진실페널티를 회피할 수 있다. 예를 들어 "당신의 패스워드가 아닌 것은 무엇이냐"는 질문에 패스워드 아닌 것 하나만 정해서 그것 빼고 전부라는 대답을 하는 것이다. 이는 거짓이므로 진실페널티를 적용받지 않으며, 엉뚱하거나 불가능한 대답도 아니며, 상대방에게도 정보를 주는 것이 거의 없다.

이를 방지하기 위해 질문자는 위의 "당신의 패스워드 말고 다른 숫자 하나 불러주세요."와 같이 반드시 하나만 선택하라고 해야 한다. 이런 질문에 둘 이상 대답해버리면 엉뚱한 대답으로 처리할 수 있기 때문이다.

2.6 플레이 평가

이상민은 이진 탐색에 의거하여 차분히 임요환의 4자리 숫자와 숫자의 배열을 하나 하나 파악해나가는 전략을 택했다. 가장 예측 가능한 전략이지만, 가장 안정적인 전략이기도 했다. 이는 임요환이 같은 전략으로 맞대응 하더라도 더블 찬스를 통한 턴 수의 우위 때문에 이상민이 이기는 게임이었다. 이상민은 게임 후반에 임요환이 잇따라 정답을 외치자 흔들리기도 했지만, 얼굴을 수차례 두들기며 평정심을 되찾아 임요환의 숫자 4자리를 14턴만에 완벽하게 맞춰냈다.

임요환은 더하기 곱하기를 질문으로 던지는 등 일반인은 이해하기 어려운 전략을 구사했고, 이는 관중들의 비웃음을 사기도 했지만 임요환 나름의 전략임이 드러났다. 다만 처음 정답을 외칠 때 방정식 계산을 실수했으며, 숫자의 배열은 고려하지 않은 전략이었고, 첫 두질문이 너무 비효율적이었다. 4가지 숫자를 먼저 알아내긴 했지만 4자리 숫자를 배열할 때 얻을 수 있는 경우의 수는 4!= 24가지이며 (물론 그것도 숫자 4개가 전부 다르다는 가정하에.) 임요환이 처음 2자리 숫자의 합이 10임을 알아낸 걸 포함해도 정답이었던 /1928/의 앞 2자리도 합이 10, 뒤 2자리도 합이 10이었기에 경우의 수는 8가지(2x2x2). 그나마 맨 처음 상위 두 숫자를 알아내는데 운이 안 따랐다면 더욱 절망적이었을 것이다. 막판에 답을 두번 찍었는데, 이상민이 더블을 가져서 그대로 가면 필패였으므로 운에 맡긴 것이지만 도박을 걸어볼만큼 경우의 수를 빠르게 좁히지 못했던 탓에 결국 패배하였다. 아니면 자신이 확률에 자신이 있다고 생각한 것일 수도 있다 물론 이렇게 맞혀서 우승한다고 해도 모양새는 미묘했을 것이다.(...)

여담이지만 임요환이 곱이나 합을 물어보면서 말 그대로 찍기와 랙에 견줄만한 장고를 하는 동안 노홍철은 원래는 '요환이가 왜 저러지?'라고 생각하는게 맞는데, 이 모습을 보니까 '아... 요환이가 맞구나...'라고 생각하게 된다며 소소한 웃음을 주었다. 하지만 임요환의 상황에서는 곱과 합 모두 특정 숫자나 조합을 제거할 수 있는 중요한 질문들이었다. 관련 내용은 이 글을 참고.

3 게임 자체에 대한 평가

기본적으로 처음 공개되는 게임이라 그런지 여러모로 게임 자체가 허점이 많은 느낌을 준다.

몇가지 지적되는 것을 살펴보자면 먼저 질문을 예/아니오 형태로 대답할 수 있는 것으로 제한하지 않은 점, 그리고 진실 페널티 면제 아이템의 효용성이 다른 아이템의 효용성에 비해 떨어지는 점 정도가 있다.

하지만 일단 질문의 방법을 제한하지 않은 것은 어찌보면 일부러 룰 브레이킹을 유도한 듯한 느낌이 든다. 시즌 1에서 이와 가장 가까운 유형의 게임은 5:5이고, 당시에도 기존에 있던 정보를 확인하는 것에 그치지 않고 새로운 정보를 만드는 창조적인 플레이를 한 홍진호가 우승한 바 있다. 기본적인 전략인 "이진 탐색"외에도 이두희가 제안한 "삼진 탐색"이 가능한 것도 질문의 대답 방식을 예/아니오로 한정하지 않은 것에 기인한다.

또한 상대방이 대답할 수 없는 질문을 해서 진실페널티를 강제하는 전략이나 어렵거나 모를 수 밖에 없는 질문으로 실수를 유발하는 전략이 가능했던 것도 이에 대한 반증이라고 볼 수도 있다. 즉, 생각보다 게임에 미치는 영향이 적어보이는 진실페널티 아이템의 존재 자체는 이러한 전략을 사용할 수도 있다는 것에 대한 힌트였을 수도 있다는 점이다. 그리고 진실페널티 때문에 수학적으로 따져봐도 결코 간단한 게임이 아니게 되었다.

일단은 나머지 두 게임에 비해서는 밸런스가 잘 잡혀있다라고 할 수도 있다. 하지만 양쪽 모두 룰브레이킹을 하지 않고 기본적인 전략을 사용하는 상황을 가정하면 선플레이어+더블찬스 소지자가 거의 무조건 이기는 재미없이 진행될 가능성이 높은 게임이기도 하다.