부정적분표

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1 개요

자주 쓰이는 부정적분 관계를 정리한 표이다. 거의 모든 미적분 관련 수학 교과서나 수학을 쓰는 대학교 전공서적에 부록으로 달려 있으며, 하도 많이 쓰이다 보니 나중에는 유명한 적분들은 그냥 외우게 된다.

2 기본 적분

2.1 합차

$$\displaystyle \int \left \{ f\left ( x \right )\pm g\left ( x \right ) \right \}dx=\int f\left ( x \right )dx\pm\int g\left ( x \right )dx$$

2.2 상수배

$$\displaystyle \int \left \{ cf\left ( x \right ) \right \}dx=c\int f\left ( x \right )dx$$

2.3 $$\displaystyle x^{n}$$

유의할 것은 $$n$$ 이 상수여야 한다는 점이다. $$\displaystyle x^{x}$$ 와 같은 함수는 초등함수를 유한 번 사용해 부정적분을 표현할 수 없다.

2.3.1 $$\displaystyle x^{n},n\neq-1$$

$$\displaystyle \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

2.3.2 $$\displaystyle x^{n},n=-1$$

$$\displaystyle \int x^{-1}dx = \int {1 \over x}dx = \ln\left | x \right |+C$$

2.4 지수함수

2.4.1 $$a \gt 0$$ 인 경우

$$\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$$

2.4.2 $$a \lt 0$$ 인 경우

$$\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln |a| + i \pi}+C$$

2.4.3 $$i^x$$

$$\displaystyle \int i^{x} dx = {2 \over \pi} \sin ({\pi x \over 2}) - {2i \over \pi} \cos ({\pi x \over 2}) + C$$

2.5 기타1

$$\displaystyle \int \frac{f'\left ( x \right )}{f\left ( x \right )}dx=\ln\left | f\left ( x \right ) \right |+C$$

2.6 로그함수

2.6.1 $$\ln x$$

$$\displaystyle \int \ln xdx=x\ln x-x+C$$

2.6.2 밑#s-2이 $$\displaystyle a$$ 인 로그함수

$$\displaystyle \int \log_axdx=\frac{x\ln x-x}{\ln a}+C$$

2.7 삼각함수

2.7.1 기본

• $$\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C$$
• $$\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C$$
• $$\displaystyle \int \sec^{2}x dx=\tan x+C$$
• $$\displaystyle \int \csc^{2}x dx=-\cot x+C$$
• $$\displaystyle \int \sec x\tan x dx=\sec x+C$$
• $$\displaystyle \int \csc x\cot x dx=-\csc x+C$$

2.7.2 $$\sin^{n}x$$

$$\displaystyle \int \sin^{n}xdx=\frac{-\sin^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x dx,n\in\mathbb{N},n\geq2.$$

2.7.3 $$\cos^{n}x$$

$$\displaystyle \int \cos^{n}xdx=\frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}xdx,n\in\mathbb{N},n\geq2.$$

2.7.4 탄젠트

$$\displaystyle \int \tan xdx=-\ln\left | \cos x \right |+C$$

$$\displaystyle \int \tan^{n}xdx=\frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int \tan^{n-2}xdx,n\in\mathbb{N},n\geq2.$$

2.7.5 코탄젠트

$$\displaystyle \int \cot xdx=\ln\left | \sin x \right |+C$$

$$\displaystyle \int \cot^{n}xdx=\frac{-\cot^{n-1}x}{n-1}-\int \cot^{n-2}xdx,n\in\mathbb{N},n\geq2.$$

2.7.6 시컨트

$$\displaystyle \int \sec xdx=\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sin x+1}{\sin x-1} \right |+C=\ln \left(\tan x+\sec x\right)+C$$

$$\displaystyle \int \sec^{n} xdx=\frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}xdx,n\in\mathbb{N},n\geq2.$$

2.7.7 코시컨트

$$\displaystyle \int \csc xdx=-\frac{1}{2}\ln\left | \frac{\cos x+1}{\cos x-1} \right |+C=-\ln \left(\cot x+\csc x\right)+C$$

$$\displaystyle \int \csc^{n}xdx=\frac{-\csc^{n-2}x\cot x}{n-1}-\frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}xdx,n\in\mathbb{N},n\geq2.$$

2.7.8 $$\displaystyle \sin^{m}x\cos^{n}x$$

$$\displaystyle \int \sin^{m}x\cos^{n}x dx=\frac{\sin^{m+1}x \cos^{n-1} x}{m+n}+\frac{n-1}{m+n}\int \sin^{m}x \cos^{n-2} x dx,m\geq0,n\geq1,n,m\in\mathbb{N}$$

3 특수 적분

3.1 오차함수

• $$\displaystyle \int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}\text{erf}\left ( x \right )}{2}+C$$

5차함수가 아니라 Error Function이다. 생긴 모양에서 알 수 있듯이 가우스 분포와 관련이 깊어서 통계 쪽에서 종종 나온다.

3.2 $$\displaystyle {e^x \over x}$$

$$\displaystyle \int {e^{x} \over x} dx = \text{Ei}(x) + C = - \int_{-x}^{ \infty}\frac{e^{-t}}{t}dt + C$$
이것은 대표적인 초월함수 중 하나다.
해당 함수는 $$x\gt0$$ 에서 역시 코시 주요값의 예2처럼 정의된다.

3.3 $$\displaystyle a^{1 \over x}$$

$$\displaystyle \int a^{1 \over x} dx = x a^{1 \over x} - \text{Ei}({\ln a \over x}) \ln a + C = x a^{1 \over x} + \ln a \int_{-{\ln a \over x}}^{ \infty}\frac{e^{-t}}{t}dt + C$$
중등교육 과정에서 이런 꼴의 적분식이 나오면 포기하면 편하다(...).

3.4 $$\displaystyle {1 \over \ln x}$$

$$\displaystyle \int {1 \over \ln x} dx = \text{li}(x) + C = \int_{0}^{x} {dt \over \ln t} + C$$
이것도 역시 초월함수로 정의한다. x>1일 때 $$\displaystyle \text{li}(x)=\int_{0}^{x} {dt \over \ln t}$$ 에 대해서는 코시 주요값 참고

3.5 $$\displaystyle {\sin x \over x}, {\cos x \over x}$$

• $$\displaystyle \int {\sin x \over x} dx = \text{Si}(x) + C = \int_{0}^{x}\frac{\sin{t}}{t}dt + C$$
• $$\displaystyle \int {\cos x \over x} dx = \text{Ci}(x) + C = -\int_{x}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}dt + C$$

이 두 함수는 부정적분 과정이 상당히 악랄한 것으로 유명해서(...) 아예 초월함수로 정의했을 정도.