코시함수

1 개요

Cauchy's functional equation
코시 함수 방정식이라고도 한다.

$$f(x+y) = f(x)+f(y)$$ 를 만족하는 함수이다. 대표적으로 $$f(x) = k x$$ 형태의 일차 함수가 있다.

$$y = 0$$ 을 대입하면 $$f(x+0) = f(x)+f(0)$$ 이 되므로 $$f(0) = 0$$ 이 되어야 한다.
$$y = x$$ 을 대입하면 $$f(x+x) = f(x)+f(x)$$ 이 되므로 $$f(2x) = 2f(x)$$ 를 만족하며, 일반적으로 $$f(ax) = af(x)$$ 를 만족한다.
여기에 다시 $$x = 1$$ 을 대입하면 $$f(a) = af(1)$$ 을 만족하게 된다.

2 상세

이런 기초적인 내용에 그 유명한 수학자 코시#s-1의 이름이 붙어 있느냐 하겠지만, 이게 파고 들면 은근히 기묘한 특성이다. 코시는 실수에서는 이런 성질을 만족하는 연속함수는 $$f(x) = kx$$ (이때 k=f(1)다.)형태 밖에 없다는 사실을 증명했다.
그런데, 실수를 벗어나면 불연속 함수가 존재할 수 있다고 증명이 되었다. 게다가 이는 르벡 메져와 연결되며, 일반화 하면 힐베르트의 23가지 문제의 5번째 문제로 연결된다.

참고로 실수를 벗어난 연속함수중 kx꼴이 아닌것은 의외로 찾기 쉽다, 복소수에서 켤례. 그리고 선택공리를 가정하면 실수에서도 불연속 함수일 수 있다! 물론 대개는 선택공리에서 유도되는 초른의 보조정리를 쓴다. 수체계항목에 나오는 아이젠슈타인 정수처럼 실수를 유리수체의 무한차원(...)벡터공간으로 보고 각 기저의 함숫값이 서로 다른 경우가 생기게 정의하면 된다.