1 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시
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Augustin Louis Cauchy
1789년 8월 21일 ~ 1857년 5월 23일
프랑스의 근대 수학자. 현대 미적분의 기초를 마련하였다. 프랑스의 루이 필리프가 왕위에 즉위했을 때 충성서약을 하지 않았다는 이유로 공직 취임이 금지되어서 이탈리아로 피난갔다가 나폴레옹 3세가 즉위하면서 다시 복귀하여 소르본 대학의 교수로 취임한다. 코시의 대부분의 수학적 업적은 이탈리아 피난 시기에 나온 것들이라고 한다. 당시 하도 학회에 발표하는 논문이 많자 학회에서는 코시에 대한 논문 분량 제한도 있었을 정도라고 한다.
사실 이는 어릴 때부터 마찬가지였다. 코시는 말그대로 수학을 하기 위해 태어난 인간이라 봐도 무방할 정도로 어릴때부터 수학에만 극한의 흥미를 보였고, 심지어 그의 아버지가 이대로 크다가는 모국어도 제대로 못하는 인간이 될까봐 수학을 금지시키기도 했을정도였다.
대충 근대수학에서 코시의 영향력은, 오일러 이후로 더이상 수학의 발전은 없을 거라 생각하던 수학계에 가우스가 튀어나왔고, 오일러와 가우스 이래로 수학의 발전은 없을 거라 생각하던 시기에 코시가 튀어나와 상황을 반전시킨 수준의 영향력이라고 보면 된다. 특히 오일러-가우스의 주 역할이 기존 수학에 산재하던 문제를 풀어내던 것이었다면, 코시의 가장 큰 업적은 기존에 산재하던 수학문제를 푸는 것이 아닌, 엄밀성이라는 반대의 영역으로 수학계의 관심을 돌려버린 패러다임 전환에 있다. 코시 수열을 이용한 수열과 급수의 수렴에 대한 연구, 연속함수에 대한 엄밀한 정의, 평균값 정리, 입실론-델타 논법을 이용한 극한의 엄밀한 정의 같은 것이 이러한 흐름 속에서 나온 결과물.[1] 이러한 업적을 바탕으로 기존의 미적분이 해석학으로 발전할 수 있는 토대를 만든 사람이라고 보면 된다. 특히 복소해석 쪽에서는 코시가 이 분야의 창시자라고 보아도 무방한 정도로, 복소해석을 처음 공부하다 보면 코시의 이름이 들어가지 않은 부분을 찾기 힘들 정도이다.
수학 외적인 분야에서도 몇몇 업적을 남겼는데, 대표적으로 선형 탄성학, 정확히는 연속체에 대한 이론을 정립하였다. 기계공학에서 나오는 코시 응력 텐서가 이분의 작품. 본인이 만들다시피 한 복소해석을 이용하여 유체역학 등에서의 미분방정식을 푸는 방법을 제안하기도 하였다. 이 외에도 천체역학, 광학 등에서 업적을 남겼으며, 그답게 대부분의 연구는 수학적으로 엄밀한 모델을 만드는 것에 초점을 맞추고 있다.
중고등학생 입장에서는 대표적인 업적으로 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz 공식)이 있는데, 임의의 실수 a, b, x, y에 대하여
[math]\displaystyle (a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2 [/math]
가 성립한다는 공식이다. 절대부등식의 증명과 관련되어 있는데,이 공식을 발견한 사람은 슈바르츠 인데 코시가 샘나서 자기 이름을 끼웟다는 설이 있다. 당대 최고의 수학자였으니 가능했을지도 모른다.
위 부등식은 변수의 수가 많아져도 성립하는 부등식이며 n 차원 공간에서 두 벡터의 내적이 두 벡터의 길이 곱보다 같거나 작다는 사실을 이용하거나 임의의 실수 t에 대해 [math]\displaystyle (at+b)^2 [/math] 를 같은 수의 a, b에 대해 합한 값의 t에 대한 2차 함수로 생각했을 때 판별식이 0 이하라는 점을 사용하면 증명할 수 있고 그 외에 여러 증명법이 있다. (제곱의 합은 0 이상이기에 2차 함수의 판별식은 0 혹은 허근의 경우 음수 밖에 될 수가 없다.)
이 부등식의 위력은 주변에 수학올림피아드를 공부하는 친구에게 물어보면 알 수 있다.
중등부 KMO는 100% 산술기하 부등식과 코시 부등식으로 해결되고, (물론 다른 방법으로 풀거나 지저분하게 풀수도 있지만 이 두가지로 풀 수 있는 방법이 반드시 존재한다.) 고등부 KMO 및 IMO 조차도 정말 복잡하게 풀거나 지저분하게 어놓고 봤더니 정말로 절묘하게 이 부등식을 적용해서 깔끔하게 두줄 세줄 풀이가 존재하여 학생들을 농락하는 경우가 부지기수이다. 사실상 올림피아드 부등식? 조금 과장 보태서 코시 마스터 하면 별다른 준비도 필요없을 정도이다. 그런데 진짜로 말도 안되는 발상으로 코시 부등식을 적용한다는게 함정.... 난 그냥 안되면 전미분하고 장렬하게 전사하겠습니다...
2 모델
캐럴라인 코시 항목 참조
3 야구의 코리안 시리즈를 줄여서 부르는 말
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