테일러 급수/목록

1 개요

여러 대표적인 함수의 테일러 급수를 다루는 문서이다.
아래의 예들은 $$x_0 = 0$$ 일 때를 다루므로 매클로린 급수이기도 하다.

2 무한등비급수 $${1 \over 1-x}$$

$$\displaystyle {1 \over 1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots, \left|x\right|\lt1$$ 일 때 수렴한다.
https://www.desmos.com/calculator/inj5s0nwot
여기서 그래프를 확인할 수 있다. 실제로 k값이 커질수록 테일러 급수는 원래 함수와 닮아가나, $$\left|x\right|\lt1$$ 외의 구간에서는 갑자기 원래 함수의 형태와 동떨어진 형태를 보인다.

2.2 활용

아래 자연로그와 역탄젠트 함수의 무한급수를 구할 때 활용할 수 있다.

3 지수함수 $$e^x$$

$$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + \cdots + {x^n \over n!} + \cdots,$$ 복소평면 전체에서 수렴한다.
[1]

3.1 증명

$$f\left(x\right) = e^x$$ 의 미분은 자기 자신, 즉 $$f'\left(x\right) = e^x$$ 이다. 따라서 $$f^{\left(n\right)}\left(0\right) = 1$$ 이 되므로, $$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)} {n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!}x^n$$ 이 성립한다.

3.2 활용

3.2.1 자연상수 $$e$$ 구하기

이 식에서 $$x=1$$ 을 대입해 주면 아래와 같은 식을 얻는다.
$$\displaystyle e={{1}\over {0!}}+{{1}\over{1!}}+{1\over{2!}}+{1\over{3!}}+{1\over{4!}}+\cdots$$
이를 계산하면 $$e$$ 의 값을 구할 수 있다. $$n = 4$$ 까지만 계산해 주어도 $$\displaystyle {65 \over 24} = 2.708333\cdots$$ 가 되어 참값 $$2.7182818284\cdots$$ 와의 오차가 약 $$0.01$$ 밖에 나지 않는다. 컴퓨터를 이용해 죽 계산해주면 금방 어마어마한 자리수의 근삿값을 구할 수 있다.

3.2.2 쌍곡선함수 $$\sinh x, \cosh x$$ 의 무한급수

$$y=\sinh x,\ y=\cosh x$$ 는 정의에 따라 무한급수를 도출할 수 있다.

먼저 쌍곡사인 함수는 $$y=e^x$$ 의 무한급수의 홀수 번째 항들로 구성된다.
$$\displaystyle \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \right)-\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots \right)\right] = x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$$
$$\displaystyle \sinh x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

쌍곡코사인 함수는 짝수 번째 항들로 구성된다.
$$\displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \right)+\left(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots \right)\right] = 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$
$$\displaystyle \cosh x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

사인함수와 형태가 비슷하다!

3.2.3 오차함수(Error function)의 무한급수

확률, 통계나 미분방정식에서 나타나는 비초등함수의 대표적인 예로 오차함수( $$\text{erf}$$ )가 있다. 비록 특수함수이지만 마찬가지로 무한급수를 펼칠 수 있고, 이에 따라 근삿값을 얻을 수 있다.
$$\displaystyle \text{erf}\left(x\right)={2 \over \sqrt {\pi}}\int^x_0 e^{-t^{2}} dt$$
피적분 함수를 무한급수로 전개할 수 있다.
$$\displaystyle e^{-t^{2}}= \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n t^{2n} \over n!}$$
따라서 오차함수의 무한급수는 아래와 같이 나타난다.
$$\displaystyle \text{erf}\left(x\right)={2 \over \sqrt {\pi}} \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n x^{2n+1} \over n!\left(2n+1\right)}$$
정규분포표를 구할 때 쓰는 오차함수도 다음과 같이 쉽게 나타낼 수 있다.
$$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{n}x^{2n+1}}{\left ( 2n+1 \right )2^{n}n!}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x}e^{\frac{-x^{2}}{2}}dx$$

4 이항급수 $$\left(1+x\right)^\alpha$$

$$\displaystyle \left(1+x\right)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n}x^n = 1 + \alpha x + {\alpha \left(\alpha - 1\right) \over 2!}x^2 + \cdots + {\alpha \left(\alpha - 1\right)\cdots \left(\alpha - n +1\right) \over n!}x^n + \cdots$$

4.1 증명

구하고자 하는 무한급수의 계수를 미지수로 놓는다.
$$\displaystyle y=(1+x)^\alpha=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$$
양 변을 미분하면
$$\displaystyle y'=\alpha(1+x)^{\alpha-1}=a_1+2a_2 x+3a_3 x^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1} x^n$$
한편 이항급수와 그를 미분한 식의 관계식을 세울 수 있다.
$$\alpha(1+x)^\alpha = (1+x)y'=\alpha y,\ $$ $$y'=\alpha y-xy',\ a_0=1$$
여기서 $$xy'$$ 의 무한급수는
$$\displaystyle xy'=0+a_1 x+2a_2 x^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}na_n x^n$$
그러므로 관계식의 양 변을 견주면 점화식이 나온다.
$$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1} x^n= \alpha \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n- \sum_{n=0}^{\infty}na_n x^n,\ (n+1)a_{n+1}=(\alpha-n)a_n,\ a_0=1$$
따라서 $$\displaystyle a_n={\alpha \choose n}$$ 임을 알 수 있다.

4.2 활용

이 이항급수의 테일러 급수는 과학, 공학 분야에서 상당히 많이 쓰이는 편이다. 주로 $$x \ll 1$$ 일 때 $$n=1$$ 항까지 취해 $$\left(1+x\right)^\alpha \approx 1 + \alpha x$$ 로 근사하는 경우가 많은데, $$x \ll 1$$ 이면 $$x^2$$ 부터는 값이 아주 작아지기 때문이다.

5 삼각함수 $$\sin x, \cos x$$

$$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n x^{2n+1} \over \left(2n+1\right)!} = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + \left(-1\right)^n{x^{2n+1} \over \left(2n+1\right)!} + \cdots$$
[2]
$$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n x^{2n} \over \left(2n\right)!} = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots + \left(-1\right)^n{x^{2n} \over \left(2n\right)!} + \cdots$$
[3]
두 함수 모두 복소평면 전체에서 수렴한다.

5.1 증명

사인과 코사인의 n계도함수는 일반적으로 아래와 같이 써진다.
$$\displaystyle (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$$
$$\displaystyle (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}{2})$$
$$x=0,\ n=1,2,3,\cdots$$ 을 차례대로 대입하면 무한급수를 도출할 수 있다.

5.2 활용

5.2.1 극한값

$$\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin x \over x} = 1$$ 임을 증명해 보자.
$$\displaystyle \sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + \left(-1\right)^n{x^{2n+1} \over \left(2n+1\right)!} + \cdots$$ 에서 양변을 $$x$$ 로 나누면
$$\displaystyle {\sin x \over x} = 1 - {x^2 \over 3!} + {x^4 \over 5!} - \cdots + \left(-1\right)^n{x^{2n} \over \left(2n+1\right)!} + \cdots$$ 이 된다.
$$x \to 0$$ 일 때 이차항부터는 모두 0이 되어,
$$\displaystyle \lim_{x \to 0} {\sin x \over x} = 1$$ 임을 알 수 있다.
라플라스 변환 항목의 각주에서 제시한 $$\frac{\sin x}{x}$$ 를 적분해보라는 각주도 이 매클로린 급수를 적분함으로써 해결이 가능하다.

---

이러한 사실로부터 $$\left|x\right| \ll 1$$ 이면 $$\sin x \approx x$$ 라는 근사를 얻을 수 있다. 이 근사 역시 과학, 공학 분야에서 많이 쓰이는데, 대표적으로는 진자의 운동을 기술할 때 사용한다.

5.2.2 오일러의 공식 $$e^{ix}= \cos x + i \sin x$$ 증명하기

상술한 $$e^x$$ 에 $$x$$ 대신 $$ix$$ 를 대입해 보자.( $$\displaystyle i = \sqrt {-1}$$ )
$$\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty {\left(ix\right)^n \over n!} = 1 + ix + {\left(ix\right)^2 \over 2!} + {\left(ix\right)^3 \over 3!} + {\left(ix\right)^4 \over 4!} + \cdots + {\left(ix\right)^n \over n!} + \cdots$$
$$i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, \cdots$$ 이므로,
$$\displaystyle e^{ix} = 1 + ix - {x \over 2!} -i {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$$
$$= \left(1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \cdots + \left(-1\right)^n{x^{2n} \over \left(2n\right)!} + \cdots\right) + i\left(x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \cdots + \left(-1\right)^n{x^{2n+1} \over \left(2n+1\right)!} + \cdots\right)$$
따라서 아래 식을 보일 수 있다.
$$\displaystyle e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n x^{2n} \over \left(2n\right)!} + i\sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n x^{2n+1} \over \left(2n+1\right)!} = \cos x+ i\sin x$$

6 로그함수 $$\ln\left(1+x\right)$$

$$\displaystyle \ln\left(1+x\right) = \sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n+1}x^n \over n} = x - {x^2 \over 2} + {x^3 \over 3} - \cdots + \left(-1\right)^{n+1}{x^n \over n} + \cdots, -1\ltx \leq 1$$ 일 때 수렴한다.
[4]
$$\displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{nx^{n}},\ x \gt1$$ 일 때 수렴한다.

6.1 증명

자연로그 함수는 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
$$\displaystyle \ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}dt$$
피적분함수를 무한등비급수로 전개하면
$$\displaystyle (1+t)^{-1} = 1-t+t^2-t^3+\cdots = \sum^{\infty}_{n=0}(-t)^n$$
따라서 이 무한급수를 적분하면 자연로그의 무한급수를 도출할 수 있다.
$$\displaystyle \ln(1+x)= \sum^{\infty}_{n=0}\frac{-(-x)^{n+1}}{n+1}$$

7 역탄젠트함수 $$\tan^{-1} x$$

$$\displaystyle \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n x^{2n+1} \over 2n+1} = x - {x^3 \over 3} + {x^5 \over 5} - \cdots + \left(-1\right)^n {x^{2n+1} \over 2n+1} + \cdots, -1 \leq x \leq 1$$ 일 때 수렴한다.
[5]

7.1 증명

역탄젠트 함수는 상술한 자연로그와 같이 유리함수의 적분으로 표현할 수 있다.
$$\displaystyle \tan^{-1}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt$$
유리함수는 아래와 같이 무한등비급수로 전개할 수 있다.
$$\displaystyle (1+t^2)^{-1} = 1-t^2+t^4-t^6+\cdots = \sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n t^{2n}$$
따라서 이 무한급수를 적분하면 역탄젠트 함수의 무한급수를 도출할 수 있다.
$$\displaystyle \tan^{-1}x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$$

7.2 활용

7.2.1 원주율 $$\pi$$ 구하기

$$\tan{\pi \over 4}= 1$$ 이므로 역함수의 성질을 이용하면 $$\tan^{-1}1={\pi \over 4}$$
$$\displaystyle \tan^{-1} 1 = \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n \over 2n+1}={\pi \over 4} = 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5}-{1 \over 7}+...$$
따라서 양변에 4를 곱해주면
$${\pi} =4 \displaystyle \sum_{n=0}^\infty {\left(-1\right)^n \over 2n+1}= 4 - {4 \over 3} + {4 \over 5}-{4 \over 7}+\cdots=4-{8 \over 3\cdot 5} - {8 \over 7\cdot 9}- {8 \over 11\cdot 13}\cdots$$

그러나 이 급수는 실제 계산에서 쓸모가 별로 없다. 저 공식을 대입해서 계산하면 수렴 속도가 매우 느리기 때문이다. 역탄젠트의 성질을 이용하여 공식을 변형할 수 있는데, 그 변형된 공식이 바로 --미친--마친 공식(Machin-like formula)이다.

아래 역탄젠트 함수의 성질을 이용할 수 있다. a, b는 정수.
$$\arctan {a_1 \over b_1} + \arctan {a_2 \over b_2} = \arctan {a_1 b_2 + a_2 b_1 \over b_1 b_2 - a_1 a_2}$$
(단, 위 값이 $$\pi/2$$ 보다 작아야 성립)

이를 이용하면 아래와 같은 마친 공식을 이끌어낼 수 있다. 그리고 이 공식에 역탄젠트의 무한급수를 대입하면 참값에 훨씬 빠르게 수렴함을 알 수 있다.
$$\displaystyle {\pi \over 4} = \arctan{\frac{1}{2}}+\arctan{\frac{1}{3}}$$
$$\displaystyle {\pi \over 4} = 4\arctan{\frac{1}{5}}-\arctan{\frac{1}{239}}$$

이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 테일러 급수문서에서 가져왔습니다.</div></div>