자연상수

나무위키의 수학상수
01iπe√2√3√5φγB2, B4Gδ, α

1 개요

[math]\displaystyle e={ \lim_{n\to\infty}}\left(1+{1 \over n} \right)^{n}={ \lim_{x\to0}}\left(1+x\right)^{1 \over x}[/math]
[math]\displaystyle e={\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots}[/math]
自然常數
The mathematical constant "e"
2.71828182845904523536...

오일러의 수(Euler's number)[1]
네이피어 상수(Napier's constant)[2]

위 그림과 같은 수식으로 정의되는 수. 비순환소수이므로 무리수의 값을 가진다. 원주율 3.141592...를 파이로 쓰는 것처럼, 이 수는 오일러의 이름 'Leonhard Euler'의 첫 글자를 따서 e라고 표기하며, 자연상수라고 부른다. 초월수로 증명된 첫번째 상수이다. 발견 자체는 원주율이 훨씬 빨랐지만 원주율이 초월수로 증명된 것은 e가 초월수로 증명된 9년 후.

여담이지만 서로 아무 상관 없는 수처럼 보이는 [math]e[/math]와 원주율 [math]\pi[/math], 허수단위 [math]i[/math]를 합치면 [math]e^{\pi i} + 1 = 0[/math]이라는 결과가 나온다.[3] 또한 [math]a^x[/math]와 그 역함수가 접하는게 [math]a = e^{1 \over e}[/math]일 때 [math]x = e[/math]일 때이다. 수학의 간결함(?)을 담은 수라고 볼 수 있겠다.

고등학교에서 [math]e[/math]를 배울 때는 '무리수 [math]e[/math]'라는 명칭으로 배우게 된다. 하지만 선생님이나 이 문서 등을 통해 '자연상수'라는 정식 명칭을 알게 되면 왜 하나도 자연스럽지 않은(무지하게 부자연스럽게 정의되는 수가 아닌가!) 수를 자연상수라고 부르는지 의문스러울 수가 있다. 하지만 그렇지 않다. 부자연스러운 것은 어디까지나 인간들이 쓰는 정의일 뿐이고, 실제 미적분학을 비롯한 수학 전반에서 [math]e[/math]를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해진다. 예컨대

[math]\displaystyle \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}[/math]

[math]\displaystyle \frac{d}{dt}\log_{e}t=t^{-1}[/math]

[math]\displaystyle \int_{1}^{e}t^{-1}dt=1[/math]

[math]\displaystyle e={\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots}[/math]

180px-Euler%27s_formula.svg.png


(아래쪽의 두 식은 대학 초급미적의 테일러 급수(Taylor series)와 복소평면을 이해하면 바로 알 수 있고, 나머지는 고등학교 미분과 적분의 기초 중 기초. 세 번째 식은 테일러 급수 말고도 이항정리를 이용해서도 구할 수 있는데 오일러가 그렇게 발견했다.)

이런 식으로 굉장히 깔끔한 결과가 나온다. 따라서 미적분학에서 e는 매우 사랑받는 존재일 수밖에 없다. 자연의 규칙을 따라 정의한 여러 함수들에서 요리조리 미적분을 하면 매우 자연스러운 결과가 나오기 때문이다.

실제로는 숫자지만 쓸 때는 그냥 e라고 쓰는 것을 이용하여 문과 놀리기를 하기도 한다.[4]

참고로 로그의 밑수가 [math]e[/math]인 로그를 자연로그라고 하며, [math]\ln[/math]이라고 적는다. 하지만 책에 따라서는 먼저 자연로그를 [math]\log[/math]로 정의(즉 [math]\log e = 1[/math]로 정의)하고 밑이 [math]e[/math]가 아닌 로그들은 자연로그의 밑변환을 통해 정의하기도 한다. 자연로그의 역함수(즉 [math]e^{x}[/math])는 [math]\exp[/math]라는 이름으로 따로 정의할 정도로 중요성이 높다.[5] 또한 [math]x\gt0[/math] 구간에서 [math]y = x^{x}[/math]의 최솟값은 [math]\displaystyle x = {1 \over e}[/math]에서, [math]y = x^{1 \over x}[/math]의 최댓값은 [math]\displaystyle x = e[/math]일 때 나온다.

소수점 아래 열번째 자리까지는 매우 쉽게 외울수 있다. 2.7/18/28/18/28/死... (...) 9번째 자리까지만 본다면 유리수같이 보이는 착각이 일어난다.[6][7] 어? 이런 거 어디서 많이 본 거 같다?[8]

한편, "2의 2승, 2의 e승, e의 2승, e의 e승" 이 4가지 단어가 동남 방언에서는 완벽히 구분되는데 표준어에서는 전혀 구분되지 않는다는 이야기가 인터넷에 돌았고, 각 방언 사용자들이 서로에게 그게 진짜냐고 묻는(...) 떡밥이 돌기도 했다. 이(2)↘의 이(e)↗승으로 읽는다. 2보다 e가 조금 높은 음이다. 해당 방언 사용자는 2e와 ee를 각각 발음해 보면 감이 온다. 자음은 묵음이고 /i/만 달랑 발음되는 숫자 2와는 달리 e 앞에 자기도 모르는 새 /ʔ/음가가 들어가기 때문.[9]

자연상수의 값은 자연상수/값에서 볼 수 있다. 원주율에 비해서 떡밥이 적다. 우리모두 동그라미를 그릴줄 알기에 원주율에 대해서는 직감적이지만 자연상수는...

2 관련 항목

  1. ↑ 오일러-마스케로니 상수 [math]\gamma=0.5772156649015328606\ldots[/math]과는 상관 없다. 다만 이것을 구하는 과정에서 자연로그가 사용되기는 한다.
  2. ↑ 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어를 기려 붙인 이름.
  3. ↑ 오일러의 공식참고
  4. ↑ 현행 교육과정에서는 자연상수 관련 내용이 미적분Ⅱ 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다.
  5. ↑ 그도 그럴 게, 위 그림을 보듯 지수함수 중 미분해서 그대로인 녀석은 자연상수가 밑일 때 뿐이다!
  6. ↑ 자연상수의 대표적인 근사값으로 271801/99990(2.7 이후 1828 반복)이 있다.
  7. ↑ '2.친일파 이시팔 시팔 이시팔'로 외울 수 있다
  8. ↑ 참고로 이과 고등학생 이라면 적어도 2.718 정도 까지는 외워두는게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 예를 들어 3,e,2 의 대소를 비교하라 할때.
  9. ↑ 이건 엄연히 성조나 강세가 아닌 하나의 음가다. 성문음 참조.