페르마의 마지막 정리/증명

< 페르마의 마지막 정리

1 개요

본 문서에서는 페르마의 마지막 정리(FLT)의 증명의 발전 과정과 최종적인 증명들의 수식을 문서가 언제쯤이면 완성될진 모르겠지만소개한다.[1] 기본적인 과정에서 차근차근 접근하고 싶다면 FLT의 기본적인 틀인 디오판토스 방정식을 참조하는 것이 좋다.[2] 또한 본 문서에선 읽는이의 이해를 돕기 위해, 특정한 n값에서의 증명은 많은 증명법들이 개발되었으므로 문단에서 최초 증명법을 고안한 수학자에 대해 설명하고 있더라도 해당 수학자의 증명법과 비교하여 좀더 대중적이거나 난도가 낮은 증명법이 있다면 후자를 소개한다.

덧붙여 FLT에서 n=4 와 n=3인 경우의 증명은 대한민국의 의무교육 과정 중 이과 과정을 좋은 성적으로 이수한 이는 시간만 투자한다면 충분히 스스로 해결할 수 있으므로 본 문서를 열람하기전에 다채로운 방법으로 시도해볼 것을 권장한다.

2 와일즈의 증명 이전

2.1 n=4인 경우

왜 n=3인 경우가 먼저 안나오고 n=4가 먼저 나오냐고 의구심을 갖는 위키러들이 있을텐데, n=4인 경우는 페르마의 정리의 원작자인 페르마가 직접 남겨놓은 유일한 증명으로, n=3일때보다 먼저 발표되었다. 페르마의 경우 무한강하법으로 증명했다. 사실 페르마가 연구했던 것은 '직각삼각형의 두 변을 이루는 정수로 된 네제곱 수가 존재할 수 없다'는 것으로 방정식 [math]x^4 - y^4 = z^2[/math]의 미지의수 x, y, z의 정수해가 존재하지 않는다는 것인데 이 방정식의 양변을 정리하면 애초에 페르마는 의도치 않았고 얻어걸린 느낌이지만FLT의 기본 꼴인 [math]x^n + y^n = z^n[/math]꼴로 치환된다. 이 페르마의 증명법은 n=3의 증명중 오일러의 증명법과 연계되며, 페르마의 <직각삼각형 정리>에 수록되어있다. n=4인 경우는 1600년대부터 현재까지 수십명의 학자들이 증명 논문을 발표했으며, 이중엔 페르마의 증명법을 재탐구 한 논문도 많다. 증명은 다음과 같다.

1. 귀류법을 사용한다. 즉, [math]x^4 +y^4 = z^2 (x\gt0, y\gt0, z\gt0)[/math]을 만족하는 정수해가 존재한다고 가정하자[3].

2. 우선 x와 y를 서로소로 두자[4]. 둘이 서로소라면 x와 y 중 하나는 반드시 홀수이다. 따라서

  • A. x와 y 둘 다 홀수, z는 짝수
  • B. x가 짝수, y가 홀수, z는 홀수

중 하나가 성립한다[5].
한편 홀수의 네제곱은 8로 나눈 나머지가 1이고[6], 짝수의 네제곱은 8로 나눈 나머지가 0이다.
이 정리에 의해, A의 경우
준식 [math]x^4 +y^4 = z^2 (x\gt0, y\gt0, z\gt0)[/math]의 좌변을 8로 나눈 나머지는 2, 우변을 8로 나눈 나머지는 0이므로, A의 경우는 성립할 수 없다. 따라서
x는 짝수, y는 홀수, z는 홀수이다.

3. 2에 의해
[math]x^2 = 2ab[/math]
[math]y^2 = a^2 - b^2[/math]
[math]z^2 = a^2 + b^2[/math](단 a와 b는 서로소, a>b)
을 만족하는 a, b가 존재하다.[7]
y는 홀수이므로 y²을 4로 나눈 나머지는 1이다.[8]
y²=a²-b², 즉 a²-b²을 4로 나눈 나머지 역시 1이어야 하므로, a는 홀수, b는 짝수이다.[8]
여기서 b=2c라고 두면 x²=2ab에서
[math]({x^2 \over 2})^2 = ac[/math]
이며, a와 b가 서로소이므로 a와 c도 서로소이다.
위 식에서 서로소인 두 수의 곱이 제곱수이므로 각각의 수 a와 c는 제곱수이다. 따라서
a=u², b=2c=2v²이라고 둘 수 있다.

4. 위 식을 [math]y^2 = a^2 - b^2[/math]에 대입하면
[math]y^2 = u^4 - 4v^4[/math]
[math]4v^4 + y^2 = u^4 [/math]
[math](2v^2)^2 + y^2 = (u^2)^2 [/math]
이라고 하는 식을 새로 얻을 수 있다.
2v²과 y가 서로소이고 2v²이 짝수이므로, 다시
[math]2v^2 = 2lm[/math]
[math]y =l^2 - m^2[/math]
[math]u^2 = l^2 + m^2[/math](단 l과 m은 서로소, l>m)
이라는 식을 얻는다.
한편 v²=lm에서 l과 m이 각각 제곱수, 즉
l=r², m=s²이며, 이를 [math]u^2 = l^2 + m^2[/math]에 대입하면
[math]r^4 + s^4 = u^2[/math], 즉 1에서 주어진 식과 완전히 똑같은 형태의 식을 얻는다.
한편 u ≤ u² = a ≤ a² < a² + b² = z, 즉
u<z이다.

5. 1, 2, 3, 4를 종합하면
[math]x^4 +y^4 = z^2 (x\gt0, y\gt0, z\gt0)[/math]을 만족하는 정수해가 존재한다고 가정하면
[math]r^4 +s^4 = u^2 (r\gt0, s\gt0, u\gt0)[/math]이면서 u<z를 만족하는 정수해가 항상 존재한다. 그런데 무한강하법에 의해 이는 성립할 수 없으며, 가정이 잘못되었다는 결론을 얻는다. 따라서, n=4일 때 페르마의 마지막 정리는 성립한다.


어때요, 참 쉽죠? 뭐?

2.2 n=3인 경우

n=3의 증명은 여러가지가 있는데, 이중 가장 유명한것은 오일러의 증명법이다. 오일러는 페르마의 n=4의 증명에서 착안하여 n=3일때를 증명해냈다. n=2인 경우를 증명하는 것 보다 약간 발전한 정도의 난이도로, 한국 기준으로는 의무교육 중학교 1년차인 학생이라면 무리없이 이해를 할 수 있다. n=3인 경우를 증명하는 것은 n=4인 경우를 증명하는 것과 함께 페르마의 마지막 정리를 증명하는 과정의 첫출발점이고 난도도 쉬우니 위키러들은 공책 하나 잡고 직접 해보자! 오일러가 발표한 귀류법식 증명은 다음과 같다.

방정식 [math]x^3 + y^3 = z^3[/math]을 만족하는 미지수 x, y, z의 정수해가 있다고 가정하면 임의의 수 A, B, C가 있을때 방정식 [math]A^3 + B^3 = C^3 [/math]가 성립한다.

한편 n=3인 경우를 단절 오차(truncation error)를 통해서도 훨씬 간결하게 증명할 수 있다. 이는 다음과 같다.

2.3 소피 제르맹의 증명

n=3일 경우 FLT가 참이라는 단계까지 진척되자,[9] FLT를 연구하는 학자들 사이에서는 n의 개별적인 값에서 FLT를 증명하기 보다는 반드시 일반론적인 방법에서 접근해야 자신이 관짝으로 들어가기 전에FLT의 최종 증명에 조금이라도 더 가까워질 가능성이 높아진다고 보는 풍조가 더욱더 강해졌다. 소피 제르맹(1776년 4월 1일 ~ 1831년 6월 27일)은 이 같은 학계의 분위기에서 FLT의 증명에 큰 진보를 이뤄냈다. 소피 제르맹은 자신의 소피 제르맹 정리를 통해 '100미만의 소수 p와 이 소수 p의 배수가 지수일때 페르마의 마지막 정리는 항상 참이다.' 라는 당대로서는 충격과 공포급의 엄청난 발표를 내놨다.[10]

소피 제르맹의 발표 이후 학계는 현대로 치자면 모듈러성 정리와 FLT와의 관계를 밝혀낸 게르하르트 프라이의 발표 정도의 충격적인 것이었으며, 이를 접한 수학자들은 하나같이 난리가 났었다.(...) 남들은 쫌생쫌생 n=... 하나씩 증명하고 있는데 대범하게 셀수도없는 무한한 가짓수를 한 번에 해결한 것. 물론 무한한 경우수에서 무한한 경우수를 쳐낸거라 갈길이 아직 멀다 증명에 관해선 소피 제르맹의 정리 문서 참조.

2.4 n=5인 경우

n=5인 경우는 상술한 소피 제르맹의 자료를 활용하여 증명되었다. 디리클레 함수로도 유명한 독일의 수학자 디리클레와 르장드르 다항식으로 유명한 르장드르가 처음으로 발표를 했으며, 이후 가우스, 라메 곡선의 라메 등이 추가로 발표하였다.

2.5 n=7인 경우

3 와일즈의 증명

와일즈의 증명을 이해하기 위해서는 수학과 석사에서 대수기하학과 대수적 정수론을 공부하고 와야 한다. 해당 과목을 공부하지 않은 사람의 경우 증명 과정 중 언급되는 정리 혹은 이론들을 먼저 습득한 후에야 본 문단을 이해하는 게 가능하다. 와일즈의 증명은 와일즈의 논문을 기준으로 설명을 하겠습니다. 설명하겠습니다. 안 되잖아?

간단히 설명하자면, 아이클러의 정리를 이용해 귀류법으로 증명했다.

[math]a^p+b^p = c^p[/math] 인 소수[math]p\gt=3[/math]과 자연수 [math]a,b,c[/math]가 있다고 한다.

타원 곡선 E: [math]y^2=x(x-a^p)(x+b^p)[/math]를 만든다.

[math]L(s,E)=L(s,F)[/math]인 보형 형식F가 있다.

이러한 F는 존재 하지 않는다.
([math]L(s,F)[/math]의 [math]mod[/math] [math]p[/math]를 본다..)

모순

따라서 해 a,b,c는 존재하지 않는다.

4 와일즈의 증명 이후

4.1 김민형 교수의 증명

김민형 교수는 위상수학의 차원에서 해결책을 제시하였다.
  1. ↑ 본 문서에서 서술된 풀이와 서식은 <페르마의 마지막 정리>의 역사(현재 비공개) 글에서 대부분 참조하였다.
  2. ↑ n=2인 경우는 피타고라스의 정리와 페르마의 마지막 정리 문서 참조.
  3. ↑ z의 지수가 2일 때 이 식을 만족하는 정수해가 없다는 것을 보여주면, 지수가 4일 때도 마찬가지임은 자명하다.
  4. ↑ x와 y가 공약수를 갖는다면 z 또한 같은 공약수를 가지므로
  5. ↑ 물론 B의 경우 x가 홀수, y가 짝수로 둬도 준식이 대칭식이기 때문에 증명방법은 동일하다.
  6. ↑ [math](2k+1)^4 = 16k^4+32k^3+24k^2+8k+1\equiv 1\left(\text{mod}\,8\right)[/math]
  7. ↑ 이 해는 피타고라스의 정리를 만족하는 일반해, 즉 원시 피타고라스 수이다. 이렇게 되는 이유는 추가 바람.
  8. ↑ 8.0 8.1 인용 오류: <ref> 태그가 잘못되었습니다;
    .EC.A6.9D.EB.AA.85.EC.83.9D.EB.9E.B5라는 이름을 가진 주석에 제공한 텍스트가 없습니다
  9. ↑ n=4와 n=3이 증명되기까지 FLT 발표 이후 100년이 걸렸다.(...)괜찮아 이제 250년만 더 가면 돼!
  10. ↑ 이렇듯 소피 제르맹은 FLT를 부분적으로 참이라고 증명해냈지만, 소피 제르맹 소수가 무한이 많을지는 모듈러성 정리처럼 바로 증명이 안됐으며, 불행하게도 모듈러성의 정리완 다르게 현재까지도 증명이 안됐다 OTL