대수기하학

Algebraic Geometry

1 개요

대수기하학을 설명하는 서울대 대나무숲(!!)의 글. 댓글 중 이분 최소 서울대가 눈에 띈...

대수기하학은 다항식으로 표현할 수 있는 기하학적 대상에 대해서 생각한다. 이렇게 말하면 뭐가 뭔지 모르겠다면 고등학교 기하와 벡터를 생각해 보자. 우리는 이차곡선을 나타낼 때 "두 초점 사이 거리의 합이 일정한 점들의 집합"이나 "준선과 초점 사이 거리가 같은 점들의 집합" 말고도 x와 y에 대한 이차방정식으로도 나타낸다. 그러니까, 모든 이차곡선은 x와 y의 이차방정식만으로 나타낼 수 있다. 공간벡터도 마찬가지다. 공간벡터를 소개할 때 먼저 직선의 방정식을 설명하는데, 바로 이 직선을 나타내는 것이 공간벡터다. 그러니까 공간벡터는 원래 일차방정식에서 나왔고, 일차방정식을 표현하기 위해 나왔다. 그렇기에 공간벡터도 대수기하의 일부에 들어가며 공간벡터의 generation인 그라스만 다양체가 나온다. [1]

대수기하를 배우면 다음과 같은 질문에 답할 수 있다.

복소수체 위에서 변수 세 개인 세 d차 동차다항식[2] [math]F_1,F_2,F_3[/math]이 있다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 연립방정식
[math] \begin{cases} F_1\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1 \\ F_2\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_2 \\ F_3\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_3 \end{cases}[/math]
의 해는 (0 빼고)총 몇 개일까??

이는 교차 이론(intersection theory)을 이용하면 쉽게 답할 수 있으며 정답은 [math] d^2+d+1[/math]개다. 이렇게 쉽게 계산할 수 있는 이유는 사영공간의 저우 환(chow ring)이 너무 쉽게 계산되기 때문.

2 내용

대수기하학에서 가장 많이 관심가지는 것은 대수적 다양체라는 것이다. 간단하게 대수적 다양체를 정의하자면 먼저 [math]k[/math]를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 [math]S[/math]를 [math]k\left[x_1,\cdots,x_n\right][/math]의 부분집합이라 하면
[math] Z\left(S\right)=\left\{\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in k^n|F\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }f\in S\right\}[/math]
꼴의 모든 집합을 algebraic set이라고 하고 이런 꼴의 집합들을 closed set으로 하는 topology를 Zariski topology라고 한다.[3] 그리고 이렇게 topology를 준 algebraic set이 irreducible[4]이라면 이 algebraic set을 algebraic variety라고 부른다. 이렇게 정의하는 이유는 이를 ring에 대응시킬 때 너무 편하기 때문이다. 뭔 소리나면 어떤 algebraic set [math]X[/math]가 있을 때
[math] I\left(X\right)=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in X\right\}[/math]
라고 정의하자. 그렇다면
[math] I\left(Z\left(S\right)\right)=\sqrt{\overline{S}}[/math]
라는 게 알려져 있다.[5]여기에서 [math]\overline{S}[/math]는 [math]S[/math]로 generated되는 [math]k\left[x_1,\cdots,x_n\right][/math]의 ideal이고, [math]\sqrt{}[/math]는 radical이라고 해서 [math] I [/math]가 [math]k\left[x_1,\cdots,x_n\right][/math]의 ideal이라면
[math]\sqrt{I}=\left\{f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]|f^n\in I \text{ for some }n\right\} [/math]
으로 정의한다. 그리고 [math]Z\left(S\right)[/math]가 algebraic variety라는 것은 [math]\overline{S}[/math]가 prime ideal이란 것과 동치다. [math]k\left[x_1,\cdots,x_n\right][/math]의 prime ideal [math]P[/math]에 대해서 다음이 성립한다.
[math] I\left(Z\left(P\right)\right)=P[/math]
그렇기 때문에 대수기하학의 대부분은 먼저 irreducible일 때만 다룬 뒤에 그 다음으로 irreducible이 아닌 것들은 irreducible인 것들로 나눈 뒤에 다루는 것이 일반적이다.[6]

어떤 algebraic variety가 있다면 그것의 성질은 어떻게 알아내야 하는 걸까?? 그 algebraic variety가 prime ideal [math]P[/math]로 표현된다면
[math] \Gamma\left(Z\left(X\right)\right)=k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P[/math]
를 생각해보자. 이는 정확히 원래 algebraic variety [math] Z\left(P\right)[/math]와 일대일 대응을 이룬다!! 이것의 의미는 [math]f\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]/P[/math]이고 [math]\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in Z\left(P\right)[/math]일 때 [math] f\left(a_1,\cdots,a_n\right)[/math]이 정확히 하나로 정의된다는 것에 있다. 그러니까 [math]X[/math]에서 [math]k[/math]로 가는 적당한 함수들을 모아놨다는 의미가 된다. 덤으로 그 algebraic variety의 closed subset은 [math]\Gamma\left(Z\left(P\right)\right)[/math]의 prime ideal에 해당되고 point는 maximal ideal에 해당된다. 그리고 [math]U[/math]가 [math]Z\left(P\right)[/math]의 open subset일 때 다음을 정의할 수 있다.
[math] O_{Z\left(P\right)}\left(U\right)=\left\{\frac{f}{g}|f,g\in k\left[x_1,\cdots,x_n\right]\text{ and }g\left(a_1,\cdots,a_n\right)=0\text{ for all }\left(a_1,\cdots,a_n\right)\in U\right\}[/math]
그리고 모든 [math]U[/math]에 대해서 이런 꼴들의 ring들을 모아놓은 것을 [math]Z\left(P\right)[/math]의 structure sheaf라고 한다.

이게 무슨 말이여

3 관련 항목

  1. ↑ 이렇게 직선을 공간벡터로 표현하는 일같이 어떤 기하학적 대상을 어떤 공간의 점처럼 보는 것을 모듈리 문제라고 한다.
  2. ↑ 다항식을 이루는 모든 단항식들이 같은 차수를 가지고 있는 다항식이라고 생각하면 된다. 정확한 정의는 [math]k[/math]가 체이며 모든 [math]a\in k[/math]에 대해서 [math]F\left(ax_1,ax_2,ax_3\right)=a^dF\left(x_1,x_2,x_3\right)[/math]를 만족하는 다항식. 여기에서 [math]d[/math]는 0을 포함한 자연수며 [math]d[/math]를 [math]F[/math]의 차수라고 부른다. 이런 이상해보이는 polynomial을 쓰는 이유는 이것이 projective space에 꼭 맞기 때문이다.
  3. ↑ 아주 잘 정의된다.
  4. ↑ Topological space [math] X [/math]에 대해서 어떤 두 closed subset [math]Z_1,Z_2[/math]가 있어서 [math]Z_1\cap Z_2=\varnothing[/math]이고 [math]X=Z_1\cup Z_2[/math]라면 [math]Z_1,Z_2[/math] 둘 중 하나는 empty set이다.
  5. ↑ 이를 Hilbert nullstellensatz라고 부른다. 참고로 독일어.
  6. ↑ 이것은 중요한데, irreducible이 아니라면 그 아닌 각각의 closed set들은 성질이 너무나도 다를 수 있다!!