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대수기하학

Algebraic Geometry

1 개요

대수기하학을 설명하는 서울대 대나무숲(!!)의 글. 댓글 중 이분 최소 서울대가 눈에 띈...

대수기하학은 다항식으로 표현할 수 있는 기하학적 대상에 대해서 생각한다. 이렇게 말하면 뭐가 뭔지 모르겠다면 고등학교 기하와 벡터를 생각해 보자. 우리는 이차곡선을 나타낼 때 "두 초점 사이 거리의 합이 일정한 점들의 집합"이나 "준선과 초점 사이 거리가 같은 점들의 집합" 말고도 x와 y에 대한 이차방정식으로도 나타낸다. 그러니까, 모든 이차곡선은 x와 y의 이차방정식만으로 나타낼 수 있다. 공간벡터도 마찬가지다. 공간벡터를 소개할 때 먼저 직선의 방정식을 설명하는데, 바로 이 직선을 나타내는 것이 공간벡터다. 그러니까 공간벡터는 원래 일차방정식에서 나왔고, 일차방정식을 표현하기 위해 나왔다. 그렇기에 공간벡터도 대수기하의 일부에 들어가며 공간벡터의 generation인 그라스만 다양체가 나온다. [1]

대수기하를 배우면 다음과 같은 질문에 답할 수 있다.

복소수체 위에서 변수 세 개인 세 d차 동차다항식[2] F1,F2,F3이 있다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 연립방정식
{F1(x1,x2,x3)=x1F2(x1,x2,x3)=x2F3(x1,x2,x3)=x3
의 해는 (0 빼고)총 몇 개일까??

이는 교차 이론(intersection theory)을 이용하면 쉽게 답할 수 있으며 정답은 d2+d+1개다. 이렇게 쉽게 계산할 수 있는 이유는 사영공간의 저우 환(chow ring)이 너무 쉽게 계산되기 때문.

2 내용

대수기하학에서 가장 많이 관심가지는 것은 대수적 다양체라는 것이다. 간단하게 대수적 다양체를 정의하자면 먼저 k를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 Sk[x1,,xn]의 부분집합이라 하면
Z(S)={(a1,,an)kn|F(a1,,an)=0 for all fS}
꼴의 모든 집합을 algebraic set이라고 하고 이런 꼴의 집합들을 closed set으로 하는 topology를 Zariski topology라고 한다.[3] 그리고 이렇게 topology를 준 algebraic set이 irreducible[4]이라면 이 algebraic set을 algebraic variety라고 부른다. 이렇게 정의하는 이유는 이를 ring에 대응시킬 때 너무 편하기 때문이다. 뭔 소리나면 어떤 algebraic set X가 있을 때
I(X)={fk[x1,,xn]|f(a1,,an)=0 for all (a1,,an)X}
라고 정의하자. 그렇다면
I(Z(S))=¯S
라는 게 알려져 있다.[5]여기에서 ¯SS로 generated되는 k[x1,,xn]의 ideal이고, 는 radical이라고 해서 Ik[x1,,xn]의 ideal이라면
I={fk[x1,,xn]|fnI for some n}
으로 정의한다. 그리고 Z(S)가 algebraic variety라는 것은 ¯S가 prime ideal이란 것과 동치다. k[x1,,xn]의 prime ideal P에 대해서 다음이 성립한다.
I(Z(P))=P
그렇기 때문에 대수기하학의 대부분은 먼저 irreducible일 때만 다룬 뒤에 그 다음으로 irreducible이 아닌 것들은 irreducible인 것들로 나눈 뒤에 다루는 것이 일반적이다.[6]

어떤 algebraic variety가 있다면 그것의 성질은 어떻게 알아내야 하는 걸까?? 그 algebraic variety가 prime ideal P로 표현된다면
Γ(Z(X))=k[x1,,xn]/P
를 생각해보자. 이는 정확히 원래 algebraic variety Z(P)와 일대일 대응을 이룬다!! 이것의 의미는 fk[x1,,xn]/P이고 (a1,,an)Z(P)일 때 f(a1,,an)이 정확히 하나로 정의된다는 것에 있다. 그러니까 X에서 k로 가는 적당한 함수들을 모아놨다는 의미가 된다. 덤으로 그 algebraic variety의 closed subset은 Γ(Z(P))의 prime ideal에 해당되고 point는 maximal ideal에 해당된다. 그리고 UZ(P)의 open subset일 때 다음을 정의할 수 있다.
OZ(P)(U)={fg|f,gk[x1,,xn] and g(a1,,an)=0 for all (a1,,an)U}
그리고 모든 U에 대해서 이런 꼴들의 ring들을 모아놓은 것을 Z(P)의 structure sheaf라고 한다.

이게 무슨 말이여

3 관련 항목

  1. 이동 이렇게 직선을 공간벡터로 표현하는 일같이 어떤 기하학적 대상을 어떤 공간의 점처럼 보는 것을 모듈리 문제라고 한다.
  2. 이동 다항식을 이루는 모든 단항식들이 같은 차수를 가지고 있는 다항식이라고 생각하면 된다. 정확한 정의는 k이며 모든 ak에 대해서 F(ax1,ax2,ax3)=adF(x1,x2,x3)를 만족하는 다항식. 여기에서 d는 0을 포함한 자연수며 dF의 차수라고 부른다. 이런 이상해보이는 polynomial을 쓰는 이유는 이것이 projective space에 꼭 맞기 때문이다.
  3. 이동 아주 잘 정의된다.
  4. 이동 Topological space X에 대해서 어떤 두 closed subset Z1,Z2가 있어서 Z1Z2=이고 X=Z1Z2라면 Z1,Z2 둘 중 하나는 empty set이다.
  5. 이동 이를 Hilbert nullstellensatz라고 부른다. 참고로 독일어.
  6. 이동 이것은 중요한데, irreducible이 아니라면 그 아닌 각각의 closed set들은 성질이 너무나도 다를 수 있다!!