Algebraic Geometry
1 개요
대수기하학을 설명하는 서울대 대나무숲(!!)의 글. 댓글 중 이분 최소 서울대가 눈에 띈...
대수기하학은 다항식으로 표현할 수 있는 기하학적 대상에 대해서 생각한다. 이렇게 말하면 뭐가 뭔지 모르겠다면 고등학교 기하와 벡터를 생각해 보자. 우리는 이차곡선을 나타낼 때 "두 초점 사이 거리의 합이 일정한 점들의 집합"이나 "준선과 초점 사이 거리가 같은 점들의 집합" 말고도 x와 y에 대한 이차방정식으로도 나타낸다. 그러니까, 모든 이차곡선은 x와 y의 이차방정식만으로 나타낼 수 있다. 공간벡터도 마찬가지다. 공간벡터를 소개할 때 먼저 직선의 방정식을 설명하는데, 바로 이 직선을 나타내는 것이 공간벡터다. 그러니까 공간벡터는 원래 일차방정식에서 나왔고, 일차방정식을 표현하기 위해 나왔다. 그렇기에 공간벡터도 대수기하의 일부에 들어가며 공간벡터의 generation인 그라스만 다양체가 나온다. [1]
대수기하를 배우면 다음과 같은 질문에 답할 수 있다.
복소수체 위에서 변수 세 개인 세 d차 동차다항식[2] F1,F2,F3이 있다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 연립방정식 {F1(x1,x2,x3)=x1F2(x1,x2,x3)=x2F3(x1,x2,x3)=x3 의 해는 (0 빼고)총 몇 개일까?? |
이는 교차 이론(intersection theory)을 이용하면 쉽게 답할 수 있으며 정답은 d2+d+1개다. 이렇게 쉽게 계산할 수 있는 이유는 사영공간의 저우 환(chow ring)이 너무 쉽게 계산되기 때문.
2 내용
대수기하학에서 가장 많이 관심가지는 것은 대수적 다양체라는 것이다. 간단하게 대수적 다양체를 정의하자면 먼저 k를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 S를 k[x1,⋯,xn]의 부분집합이라 하면
Z(S)={(a1,⋯,an)∈kn|F(a1,⋯,an)=0 for all f∈S}
꼴의 모든 집합을 algebraic set이라고 하고 이런 꼴의 집합들을 closed set으로 하는 topology를 Zariski topology라고 한다.[3] 그리고 이렇게 topology를 준 algebraic set이 irreducible[4]이라면 이 algebraic set을 algebraic variety라고 부른다. 이렇게 정의하는 이유는 이를 ring에 대응시킬 때 너무 편하기 때문이다. 뭔 소리나면 어떤 algebraic set X가 있을 때
I(X)={f∈k[x1,⋯,xn]|f(a1,⋯,an)=0 for all (a1,⋯,an)∈X}
라고 정의하자. 그렇다면
I(Z(S))=√¯S
라는 게 알려져 있다.[5]여기에서 ¯S는 S로 generated되는 k[x1,⋯,xn]의 ideal이고, √는 radical이라고 해서 I가 k[x1,⋯,xn]의 ideal이라면
√I={f∈k[x1,⋯,xn]|fn∈I for some n}
으로 정의한다. 그리고 Z(S)가 algebraic variety라는 것은 ¯S가 prime ideal이란 것과 동치다. k[x1,⋯,xn]의 prime ideal P에 대해서 다음이 성립한다.
I(Z(P))=P
그렇기 때문에 대수기하학의 대부분은 먼저 irreducible일 때만 다룬 뒤에 그 다음으로 irreducible이 아닌 것들은 irreducible인 것들로 나눈 뒤에 다루는 것이 일반적이다.[6]
어떤 algebraic variety가 있다면 그것의 성질은 어떻게 알아내야 하는 걸까?? 그 algebraic variety가 prime ideal P로 표현된다면
Γ(Z(X))=k[x1,⋯,xn]/P
를 생각해보자. 이는 정확히 원래 algebraic variety Z(P)와 일대일 대응을 이룬다!! 이것의 의미는 f∈k[x1,⋯,xn]/P이고 (a1,⋯,an)∈Z(P)일 때 f(a1,⋯,an)이 정확히 하나로 정의된다는 것에 있다. 그러니까 X에서 k로 가는 적당한 함수들을 모아놨다는 의미가 된다. 덤으로 그 algebraic variety의 closed subset은 Γ(Z(P))의 prime ideal에 해당되고 point는 maximal ideal에 해당된다. 그리고 U가 Z(P)의 open subset일 때 다음을 정의할 수 있다.
OZ(P)(U)={fg|f,g∈k[x1,⋯,xn] and g(a1,⋯,an)=0 for all (a1,⋯,an)∈U}
그리고 모든 U에 대해서 이런 꼴들의 ring들을 모아놓은 것을 Z(P)의 structure sheaf라고 한다.
이게 무슨 말이여
3 관련 항목
- 이동 ↑ 이렇게 직선을 공간벡터로 표현하는 일같이 어떤 기하학적 대상을 어떤 공간의 점처럼 보는 것을 모듈리 문제라고 한다.
- 이동 ↑ 다항식을 이루는 모든 단항식들이 같은 차수를 가지고 있는 다항식이라고 생각하면 된다. 정확한 정의는 k가 체이며 모든 a∈k에 대해서 F(ax1,ax2,ax3)=adF(x1,x2,x3)를 만족하는 다항식. 여기에서 d는 0을 포함한 자연수며 d를 F의 차수라고 부른다. 이런 이상해보이는 polynomial을 쓰는 이유는 이것이 projective space에 꼭 맞기 때문이다.
- 이동 ↑ 아주 잘 정의된다.
- 이동 ↑ Topological space X에 대해서 어떤 두 closed subset Z1,Z2가 있어서 Z1∩Z2=∅이고 X=Z1∪Z2라면 Z1,Z2 둘 중 하나는 empty set이다.
- 이동 ↑ 이를 Hilbert nullstellensatz라고 부른다. 참고로 독일어.
- 이동 ↑ 이것은 중요한데, irreducible이 아니라면 그 아닌 각각의 closed set들은 성질이 너무나도 다를 수 있다!!