位相數學
Topology
목차
1 개요
공간 속의 점·선·면 및 위치 등에 관하여, 양이나 크기와는 별개의 형상이나, 위치 관계를 연구하는 수학 분야. 기하학에서 발전했다.
위상수학에서는 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키는 방법을 제외한 변형을 같은 모양으로 취급한다. 이를테면 손잡이 달린 컵과 구멍 뚫린 도넛은 같은 모양으로 생각한다.
이해하기 쉽게 찰흙 반죽이나 만득이 반죽 같은걸 상상해보자. 임의의 방법으로 찌그러뜨리거나 늘려도 되지만, 표면을 터뜨리면 안 된다. 이 경우 원래 구멍이 난 물건은 어떻게 뭉그러뜨려도 구멍을 없앨 수 없고, 원래 구멍이 없는 물건은 표면을 터뜨리지 않는 이상 어떻게 찌그러뜨려도 구멍을 낼 수 없다는 걸 쉽게 상상할 수 있다.[1]
위 설명에서도 알 수 있듯이 애초에 중등교육 수준에서는 개념을 정확히 이해하기에도 상당히 무리가 있으며 그래서 별명이 또모르지다[2] 대학에서도 수학과 및 인접학과가 아니면 깊이 배울 기회도 드물다. 수학을 좋아하지만 주로 응용분야를 써먹는 자연대, 공대 등의 이과생들이 위상수학은 뭔가 하고 들어가 봤다가 개깜놀하는 경우도 많다.
모두가 잊어버리고 있지만(…) 한국에서는 중학교 1학년 수학 시간에서 배우는 다면체에 잠깐 등장한다.[3] 단일폐곡선의 개념, 뫼비우스의 띠, 오일러의 공식, 한붓그리기 규칙 등을 간단히 언급하고 지나가는 정도이지만 그 내용이 얼마나 심오하고 혁신적인가는 잘 이야기되지 않는다. 애초에 가르치는 수학 선생님들조차도 대수학, 고전기하학, 해석학 등 중고등학교 수학의 다른 분야에 비해 이 쪽에는 정통한 경우가 드물다.[4] 가끔 수학에 큰 애착을 가진 선생님들이 수학 잘하는 제자들에게 신나서 가르치는 정도. 하지만 영악한 제자놈들은 이게 수능에는 별 도움이 안된다는 것을 알고 있다.
그런데 지하철 노선도가 지금처럼 '간결하게' 그려질 수 있게 된 것은 이 위상수학의 발달 덕분이라고 하기엔 사실은 좀 오버다. 처음에는 지도에다가 본을 떠서 그린 것처럼 상당히 '복잡하게' 그려졌었는데, 이로 인하여 오히려 승객이 감소하게 되자 지금과 같은 형태의 노선도가 나오게 되었다. 이후 전세계 지하철 노선도는 지금처럼 간결한 형태로 나오게 된다. 물론 지도를 본떠서 만든 노선도도 존재한다.[5]
2 역사
보통 집합 위에서 위상공간을 추상적으로 정의하고 그 성질을 연구하는 것과 달리, 역사적으로는 말 그대로 도형의 모양을 연구하는 데에서 출발했다. 대개 출발을 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제[6]로 생각하는데, 이는 레온하르트 오일러가 도형을 그 정확한 크기 등을 무시하고 형태만을 '개략적으로' 나타낸 것을 들어, 처음으로 학술적으로 위상수학적 접근이 나타났다고 말한다.
이후 19C 후반부터 20C 초반에 이르러, 필릭스 클라인, 앙리 푸앵카레로 이어지며 대수적 위상수학(algebraic topology)의 기본개념인 호모토피(homotopy), 호몰로지(homology)에 대한 개념이 정립되면서 본격적으로 도형의 연속적인 성질을 연구할 수 있는 대수학적 도구가 만들어졌다.
한편, 19C 후반부터 해석학에서도 수직선 위의 연속함수와 부분집합에 대한 다양한 성질이 연구되고 있었다. 라이프니츠와 뉴턴 시대부터 미적분이 워낙 막장으로 정립됐어서 (...) 코시, 바이어슈트라스, 볼차노, 보렐 등 많은 수학자에 의해 미적분학의 내용을 (극한부터) 제대로 설명하는 시도가 있었고, 그 중 많은 성질이 실수의 열린집합(open set)의 성질에 의존한다는 것을 밝혔다.
또한, 평행선 공준(parallel postulate)에 대한 "반례"로, 가우스와 리만을 필두로 한 구면기하학(spherical geometry) 혹은 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)이 제시되었고, 이들 역시 등장변환(isometry)라는 연속성에 대해 변하지 않는 성질이 몇몇 있음이 밝혀졌다. 추가바람
이 따로 노는 듯한 아이디어가, 칸토어의 집합론 관점 하에서 모두 묶는 과정이 20세기 초에 수학기초론에 대한 연구가 활발히 이루어지면서 차차 진행되었다. 그 결과,
- 먼저 열린집합(open set)을 집합 위에서 정의하면
- 연속함수(continuous function)을 정의할 수 있고
- 이 연속함수의 모임에 대해 이런 저런 조작을 가해서 호모토피나 호몰로지를 집합론적으로 정립할 수 있고
- 혹은, 열린집합의 모임이 잘 알려진 공간(예: Rⁿ)의 열린집합과 위상동형(位相同型, homeomorphic)하다고 보고, 기타 미분에 쓸만한 성질을 추가하면 특수한 거리 개념을 지니는 기하학을 다룰 수 있다
는 점을 알 수 있었다. 때문에 학부 과정부터 시작하는 위상수학은 대개 열린집합의 성질과 연속함수의 기본적인 성질부터 출발해, 좀 더 복잡한 호모토피나 호몰로지, 또는 (미분)다양체의 성질을 다루게 된다.
3 위상공간론(General topology, Point-set topology)
모든 위상수학의 시작이라 부를 수 있는 개념을 다룬다. 다만, 너무 일반적인 경우를 다루고 있어, 해석학 중에서 함수해석학 정도에서만 심도있게 사용하는 분야이다. (함수해석학에서 다루는 공간들이 위상공간 중에서 가지고 있는 성질이 아주 적다.)
위상공간이라 부르는, 집합과 그 열린집합(open set)의 모임의 순서쌍에 대해 다루며, 컴팩트(compact), (경로) 연결성((path) connectivity), 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 정칙/정규공간(regular/normal space) 등 위상수학적으로 의미있는 많은 성질이 열린집합만으로 정의될 수 있으며, 때문에 위상공간 자체를 다루는 것도 어느 정도 의미가 있다.
재미있는것은, closed set 으로도 다 정의가 가능하며, neighbourhood 로도 가능하다. 하지만, open set 으로 정의하는것이 de facto 스탠다드이다.
직접 위상공간의 성질만을 다루는 것 외에도 거리공간(metric space)[7], uniform space 등 위상공간과 연관되어 있는 다른 공간의 성질도 다루기도 한다. 이런 성질은 주로 해석학에서 쓰일 것을 염두에 두고 다루는 것이다.
도형에서 시작은 했지만, 집합론적으로 정의된 이후부터는 도형과 전혀 관련없는 분야들에도 많이 쓰인다. 정의 자체가 그냥 집합이기만 하면 되는식으로 엄청나게 일반적이기때문에, 논리학등 이산집합에도 자주 쓰인다. 이런경우에는 도형에서 다져진 직관력이 전혀 안통하기때문에 처음보는 사람들은 매우 추상적으로 느끼기도 한다. 이런 부류의 증명중 가장 쉬우면서도 대표적인것이, 소수가 무한대로 많이 존재한다는 유클리드 정리의 Furstenberg 버전 증명이다. 정수집합에 기발하게 위상을 정의하고 그것을 통해 간단히 증명을 하였다.
4 대수적 위상수학(Algebraic topology)
위상공간 중에서도 특히 성질이 좋은 것, 가령 다양체(manifold)나 CW 복합체(CW complex)의 경우 보통 '도형' 하면 떠올리는 구, 다면체, 혹은 그래프[8]와 같은 것으로 제한된다.
이들의 성질은 대개의 경우 경로(path)나 고차원 구(hypersphere)에서의 연속함수의 성질로 결정되는 부분이 있다. 한 예로, 경로가 연속적으로 변형되어(continuously deform; homotope) 한 점이 될 수 없을 경우, 이 경로는 공간 내의 '구멍'에 의해 이러한 변형이 막힌다고 해석할 수 있다.
경로의 연속적 변형. 출처
이런 성질은 경로의 모임을 가지고 군(群, group)을 만들어 "계산"할 수 있고, 이러한 성질은 또한 공간 자체의 연속적 변형에 따른 불변량 중 하나이다.
이러한 조작을 하고 나면, 대수학에서 군, 모듈 등에 대한 성질을 가지고 공간에 대한 성질을 계산만으로 예측할 수 있고, 그에 따른 결과로 브라우베르 고정점 정리(Brouwer fixed point theorem), 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam theorem) 등이 있다.
푸앵카레 추측 역시 3차원인 공간의 대수위상학적 성질에 대한 내용이다.
5 미분 위상수학(Differetial topology)
5.1 참고
6 기하학적 위상수학(Geometric topology)
저차원 다양체를 분류하는 문제에 대한 분야이다.
다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 비슷한 위상공간이다. 구를 예로 들어보자면, 구를 국소적으로 확대하면 평면처럼 생각할 수 있다. 지구는 구형이지만 이 위에서 지구의 몹시 작은 부분만 보고 있는 사람이 보기에 땅이 평평한 평면처럼 보이는 것에 대해 생각해 보면 이해가 쉬울 것이다. 즉 다양체는 유클리드 공간이 아닐 수도 있지만, 그 위의 아주 조그만 영역에서는 유클리드 공간처럼 보이는 위상공간이다.
이런 다양체는 일반적인 위상공간보다 훨씬 좋은 성질을 가진다. 1,2차원의 다양체는 너무 자명한 성질 밖에 가지고 있지 않고, 5차원 이상의 다양체들은 h-cobordism 정리에 의해 모두 비슷한 성질을 가지게 되어 수학적인 의미가 적지만, 3차원과 4차원 다양체에 대해서는 굉장히 특이한 성질을 많이 발견할 수 있다.
19xx년 밀너는 7차원 구가 한가지 이상의 미분다양체 구조를 가진다는 충격적인 연구결과를 발표했다. 그전까지 위상다양체와 미분다양체의 구분이 필요가 없었던 학계에 이 연구결과는 여러 후 연구결과를 낳는 사건이었고. 그후 여러차원에서 이국적인 미분다양체 구조를 찾아내고 규명하고자 하는 노력이 집중됐다.
h-cobordism 에 대한 것은 추가바람
7 다른 학문과의 연관
1900년대 초 일반 상대성 이론에서 '공간의 휘어짐'이란 개념을 수학적으로 표현하는 데 (그 당시에는 수학자들한테도 최첨단의 학문이었던) 미분기하학이 상당수 쓰였으며, 지금도 물리학과 쪽에서는 천체물리학, 우주론은 물론 근래들어 고체물리학 전공자들에게도 모르면 안되는 개념이 되어가고 있다. 그래핀의 발견과 맞물려 나오기 시작한 위상부도체(Topological insulator)의 대두로 기존에 밴드이론으로 물질을 이해하던 것에서 위상적인 개념이 추가되어버렸기 때문이다.그리고 2016년 노벨물리학상 수상자를 킵손으로 확신하던 인터스텔라보고 물리 얘기하는 좆문가들을 물멕였다
경제학과 박사에 유학할 의향이 있는 학생들도 듣고 있다. 수학적 배경을 보여주는 신호로서 작용하기도 한다.
8 교재
교재는 여러가지가 있으나 문제만 풀기 위해서라면 문제가 많은 교재를 무엇을 사도 무방하다. 위상수학은 고도로 추상화된 학문이다보니 교재별 문제가 별 차이가 없으며 난이도도 상 중 하 단계별로 나누기가 까다롭기도 하기 때문이다. 대부분 문제가 푼다, 못푼다(...)로 나뉘는만큼 교재 자체의 난이도를 보고 구매하는것이 중요하다.
- J. Munkres. Topology
- 학부수준의 위상수학 교재중 많이 추전되는 책 중 하나이다. 설명은 친절하지만 연습문제가 조금 어려운것이 흠.
- Croom, Principle of Topology
- 이 또한 많이 추천되는 교재중 하나로 Munkres에 비해서는 난이도가 쉬운 편이라 입문용 교재로 적당하다.