푸앵카레 군

푸앵카레 군은 로런츠 군과 평행이동의 반직접곱(semidirect product) [math] R^4 \rtimes SO(1,3)[/math]으로 정의된다. 푸앵카레 군은 푸앵카레 변환[math]{x\prime}^{\mu}=\Lambda^\mu\,_\nu x^\nu + a^\mu[/math] 단 [math] \left \{ \Lambda^\mu\,_\nu\right \} \in SO(1,3)[/math], [math] \left \{ a^\mu\right \} \in R^4 [/math] 들이 이루는 군으로 정의할 수 도 있다. 푸앵카레 군은 로런츠 군에 추가적인 항이 붙어있는 형태이기 때문에 원래의 로런츠 군을 homogeneous Lorentz group 이라 부르고 푸앵카레 군을 inhomogeneous Lorentz group 으로 부르기도 한다. 푸앵카레 군의 10개의 원소 [math]P_0,P_1,P_2,P_3,J_1,J_2,J_3,K_1,K_2,K_3[/math]는 교환관계
[math]\left[ P_j,P_k\right]=0[/math]
[math]\left[ J_j,P_k\right]=i\epsilon_{jkl}P_l[/math], [math]\left[ J_j,P_0\right]=0[/math]
[math]\left[ K_j,P_k\right]=i\eta_{jk}P_0[/math], [math]\left[ K_j,P_0\right]=-iP_j[/math]
[math]\left[ J_j,J_k\right]=i\epsilon_{jkl}J_l[/math]
[math]\left[ J_j,K_k\right]=i\epsilon_{jkl}K_l[/math]
[math]\left[ K_j,K_k\right]=-i\epsilon_{jkl}J_l[/math]
를 만족한다. 푸앵카레 군을 분류하기 위해선 보통 little group 을 사용한다. 물리학에선 물리학자 유진 위그너의 표기법을 따라 주어진 값을 불변시키는 변환들의 부분군을 little group이라 부르며 수학에선 이를 안정화 부분군(stabilizer subgroup)라 부른다. 위그너는 푸앵카레 군을 [math]p=\left (p_0,p_1,p_2,p_3\right )[/math]에 대한 little group 들로 분류했다. [math]p[/math]에 로런츠 변환을 하면 위치 [math]x[/math]에 의존하는 운동량 고유값을 가지게 되지만 궤도(orbit) 전체에 대해 불변하는 스칼라 값인 [math]p^2[/math]를 이용하면 위치 의존성을 없앨 수 있다. 이 방법으로 푸앵카레 군을 분류하면 크게 세가지로 나눌 수 있다. [math]p_0^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2=m^2[/math]면 이엽쌍곡면을 이루며 기술하는 입자는 시간꼴(time-like)로 움직인다. [math]p_0^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2=-m^2[/math]면 일엽쌍곡면을 이루고 기술하는 입자는 공간꼴(space-like)로 움직이는 타키온이 된다. [math]p_0^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2=0[/math]면 광원뿔을 이루며 기술하는 입자는 질량이 없는 입자가 된다.

푸앵카레 군은 [math]p^2=m^2[/math]를 만족하는 가장 일반적인 군이지만 질량이 없는 입자에 한해선 등각군(conformal group)의 특수한 경우로 볼 수도 있다. 푸앵카레 군이 10개의 생성자로 기술되는 데에 비해 등각군은 15개의 생성자로 기술된다. 등각군은 질량이 없는 입자를 서술하지만 질량이 있는 입자도 질량이 없는 장과 결합(coupling) 효과로 서술할 수 있다. 초대칭이론에 푸앵카레 군을 포함시킬 경우 초중력이론을 만들 수 있다.