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군의 작용

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1 개요

의 작용은 집합의 원소를 다른 원소로 변환시키는 방식이다. 군의 작용은 유한군을 분류하는 데에 핵심적인 역할을 하며, 또 실로우 정리를 이해하는 데에 필수적이다.

2 정의

G와 집합X에 대해, :G×XX군의 작용(group action)이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

* 임의의 a,bG, xX에 대해, (ab)x=a(bx)
  • 임의의 xX에 대해, 1x=x[1]
  • 직교군 G=O(n)Rn{0}에 대해, Av:=Av로 작용한다.
  • 이면군(dihedral group)D_{2n}=\left\ltr,f\mid r^{n}=f^{2}=1,rfrf=1\right\gtZ/nZ에, ra=a+1, fa=a로 작용한다.
  • G는 자기 자신에게 작용한다.
    • (translation) ab=ab
    • (conjugation) ab=aba1
  • GH\ltG에 대해, HG/H에게, a(xH)=(ax)H로 작용한다.
  • K-벡터공간의 스칼라곱은 스칼라체 K에서 그 벡터공간으로 작용한다.

3 다른 정의들

다음과 같은 정의가 있어야 군의 작용을 다루기 편하다.
G와 집합 X, 작용 :G×XX을 생각하자.

* (궤도(orbit))xX에 대해, Gx:={gx:gG}
  • (안정화 부분군(stabilizer subgroup))xX에 대해, Gx:={gG:gx=x}[2]
  • XG:={xX:gGgx=x}
  • X/G:={Gx:xX}[3]

사실 이는 편함을 넘어 대수에서의 철학이 나타난다. 궤도의 정의는 어떤 원소에 계속 작용을 가했을 때 생성되는 구조를 나타내며 특정 원소에 대한 생성의 개념을 나타내고, 표현론과도 이어지는 개념이다. 또 GxXG의 정의는 어떤 집합을 보존시키는 작용들을 모으면 어떻게 되는지, 반대로 어떤 작용을 보존하는 집합을 모으면 어떻게 되는 지를 나타낸다. 이는 보존원리를 보여주는 것으로써, 대칭원리와도 연결된다. 예시로써 갈루아 이론이 있다.

그러면 이 정의들에 대하여, 다음 정리들을 얻는다. 유한군 G, 유한집합 X에 대해 다음이 성립한다.

* [G:Gx]=|Gx|
  • |X/G|=1|G||Xg|
  • (Burnside lemma) |X/G|=1|G||Xg|
  • (class equation) |G|=|Z(G)|+[G:CG(x)][4]
  • 소수 p에 대해,
  • Gp-군(|G|=pk)이면, |X||XG|(p)이다.
  • H\ltGp-부분군(|H|=pk)이면, |G/H||NG(H)/H|(p)이다.[5]
  • (Cauchy) p|G|이면, aG가 존재하여, |a|=p이다.

4 유한군에 대한 결과들

  • 실로우 정리
  • Gp-군일 때, Z(G)=1이면 G=1이다.
  • H\ltG에 대해, [G:H]|G|의 가장 작은 소인수일 때, H이다.
  1. 이동 1G의 항등원이다.
  2. 이동 정의로부터, 실제로 부분군을 이룬다는 것을 알 수 있다.
  3. 이동 궤도를 모두 모은 것이다. 그리고 각 궤도는 서로소(disjoint)라는 것을 쉽게 알 수 있다. 즉, G는 동치관계로 볼 수 있다.
  4. 이동 두 번째 것에서 X=G, 작용을 conjugation으로 잡아주면 된다.
  5. 이동 앞선 정리에서, G, X대신 H, G/H를 두고, 작용을 a\cdot \left(xH\right)=\left(ax\right)H라 하면 된다.