군의 작용

1 개요

군의 작용은 군이 집합의 원소를 다른 원소로 변환시키는 방식이다. 군의 작용은 유한군을 분류하는 데에 핵심적인 역할을 하며, 또 실로우 정리를 이해하는 데에 필수적이다.

2 정의

군[math]G[/math]와 집합[math]X[/math]에 대해, [math]\cdot: G\times X \rightarrow X[/math]가 군의 작용(group action)이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

* 임의의 [math]a,b\in G[/math], [math]x\in X[/math]에 대해, [math]\left(ab\right)\cdot x=a\cdot\left(b \cdot x\right)[/math]

• 임의의 [math]x\in X[/math]에 대해, [math]1\cdot x=x[/math]

• 직교군 [math]G=\text{O}\left(n\right)[/math]은 [math]R^{n}-\left\{0\right\}[/math]에 대해, [math]A\cdot v:=Av[/math]로 작용한다.
• 이면군(dihedral group)[math]D_{2n}=\left\ltr,f\mid r^{n}=f^{2}=1,rfrf=1\right\gt[/math]은 [math]Z/nZ[/math]에, [math]r\cdot a=a+1[/math], [math]f\cdot a=-a[/math]로 작용한다.
• 군 [math]G[/math]는 자기 자신에게 작용한다.
  • (translation) [math]a\cdot b=ab[/math]
  • (conjugation) [math]a\cdot b=aba^{-1}[/math]
• 군 [math]G[/math]와 [math]H\ltG[/math]에 대해, [math]H[/math]는 [math]G/H[/math]에게, [math]a\cdot \left(xH\right)=\left(ax\right)H[/math]로 작용한다.
• K-벡터공간의 스칼라곱은 스칼라체 K에서 그 벡터공간으로 작용한다.

3 다른 정의들

다음과 같은 정의가 있어야 군의 작용을 다루기 편하다.
군 [math]G[/math]와 집합 [math]X[/math], 작용 [math]\cdot: G\times X \rightarrow X[/math]을 생각하자.

* (궤도(orbit))[math]x\in X[/math]에 대해, [math]Gx:=\left\{ gx:g\in G\right\} [/math]

• (안정화 부분군(stabilizer subgroup))[math]x\in X[/math]에 대해, [math]G_{x}:=\left\{ g\in G:gx=x\right\} [/math]
• [math]X^{G}:=\left\{ x\in X:\forall g\in G\qquad gx=x\right\} [/math]
• [math]X/G:=\left\{ Gx:x\in X\right\} [/math]

사실 이는 편함을 넘어 대수에서의 철학이 나타난다. 궤도의 정의는 어떤 원소에 계속 작용을 가했을 때 생성되는 구조를 나타내며 특정 원소에 대한 생성의 개념을 나타내고, 표현론과도 이어지는 개념이다. 또 [math]G_{x}[/math]와 [math]X^{G}[/math]의 정의는 어떤 집합을 보존시키는 작용들을 모으면 어떻게 되는지, 반대로 어떤 작용을 보존하는 집합을 모으면 어떻게 되는 지를 나타낸다. 이는 보존원리를 보여주는 것으로써, 대칭원리와도 연결된다. 예시로써 갈루아 이론이 있다.

그러면 이 정의들에 대하여, 다음 정리들을 얻는다. 유한군 [math]G[/math], 유한집합 [math]X[/math]에 대해 다음이 성립한다.

* [math]\left[G:G_{x}\right]=\left|Gx\right|[/math]

• [math]\left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum\left|X^{g}\right|[/math]
• (Burnside lemma) [math]\left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum\left|X^{g}\right|[/math]
• (class equation) [math]\left|G\right|=\left|Z\left(G\right)\right|+\sum\left[G:C_{G}\left(x\right)\right][/math]
• 소수 [math]p[/math]에 대해,
• [math]G[/math]가 [math]p[/math]-군([math]\left|G\right|=p^{k}[/math])이면, [math]\left|X\right|\equiv\left|X^{G}\right|\left(p\right)[/math]이다.
• [math]H\ltG[/math]가 [math]p[/math]-부분군([math]\left|H\right|=p^{k}[/math])이면, [math]\left|G/H\right|\equiv\left|N_{G}\left(H\right)/H\right|\left(p\right)[/math]이다.
• (Cauchy) [math]p\mid \left|G\right|[/math]이면, [math]a\in G[/math]가 존재하여, [math]\left|a\right|=p[/math]이다.

4 유한군에 대한 결과들

• 실로우 정리
• [math]G[/math]가 [math]p[/math]-군일 때, [math]Z\left(G\right)=1[/math]이면 [math]G=1[/math]이다.
• [math]H\ltG[/math]에 대해, [math]\left[G:H\right][/math]가 [math]\left|G\right|[/math]의 가장 작은 소인수일 때, [math]H\vartriangleleft G[/math]이다.