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목차
[숨기기]1 개요
군의 작용은 군이 집합의 원소를 다른 원소로 변환시키는 방식이다. 군의 작용은 유한군을 분류하는 데에 핵심적인 역할을 하며, 또 실로우 정리를 이해하는 데에 필수적이다.
2 정의
군G와 집합X에 대해, ⋅:G×X→X가 군의 작용(group action)이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
* 임의의 a,b∈G, x∈X에 대해, (ab)⋅x=a⋅(b⋅x)
- 임의의 x∈X에 대해, 1⋅x=x[1]
- 직교군 G=O(n)은 Rn−{0}에 대해, A⋅v:=Av로 작용한다.
- 이면군(dihedral group)D_{2n}=\left\ltr,f\mid r^{n}=f^{2}=1,rfrf=1\right\gt은 Z/nZ에, r⋅a=a+1, f⋅a=−a로 작용한다.
- 군 G는 자기 자신에게 작용한다.
- (translation) a⋅b=ab
- (conjugation) a⋅b=aba−1
- 군 G와 H\ltG에 대해, H는 G/H에게, a⋅(xH)=(ax)H로 작용한다.
- K-벡터공간의 스칼라곱은 스칼라체 K에서 그 벡터공간으로 작용한다.
3 다른 정의들
다음과 같은 정의가 있어야 군의 작용을 다루기 편하다.
군 G와 집합 X, 작용 ⋅:G×X→X을 생각하자.
* (궤도(orbit))x∈X에 대해, Gx:={gx:g∈G}
사실 이는 편함을 넘어 대수에서의 철학이 나타난다. 궤도의 정의는 어떤 원소에 계속 작용을 가했을 때 생성되는 구조를 나타내며 특정 원소에 대한 생성의 개념을 나타내고, 표현론과도 이어지는 개념이다. 또 Gx와 XG의 정의는 어떤 집합을 보존시키는 작용들을 모으면 어떻게 되는지, 반대로 어떤 작용을 보존하는 집합을 모으면 어떻게 되는 지를 나타낸다. 이는 보존원리를 보여주는 것으로써, 대칭원리와도 연결된다. 예시로써 갈루아 이론이 있다.
그러면 이 정의들에 대하여, 다음 정리들을 얻는다. 유한군 G, 유한집합 X에 대해 다음이 성립한다.
* [G:Gx]=|Gx|
4 유한군에 대한 결과들
- 실로우 정리
- G가 p-군일 때, Z(G)=1이면 G=1이다.
- H\ltG에 대해, [G:H]가 |G|의 가장 작은 소인수일 때, H⊲이다.