각속도

1 개요

각속도(angular velocity)는 강체 운동을 대표하는 물리량 중 하나로, 기준이 되는 축 주위로 얼마나 빠르게 도는지를 나타낸다.

기호는 주로 Ω나 ω(오메가)를 쓰며, 단위는 SI 단위 체계로 rad/s(초당 라디안)로 나타낸다. 물론 라디안은 무차원 양이라 가끔 s^-1, 초의 역수로 표기하기도 한다.
일상에서는 분당 회전수로 RPM(revolution per minute)을 많이 쓴다.

2 정의

각속도는 기준 축에서 떨어진 거리에 대한 강체 내 입자의 속도의 비로 정의한다.
여기서 크기와 방향을 모두 일컬을 때에는 각속도, 크기만을 가리킬 때에는 각속력(angular speed)이라 한다.

2.1 평면 운동

평면 운동에서는 강체의 운동이 반시계방향/시계방향 두 가지로 나눌 수 있기 때문에 각변위와 함께 스칼라로 취급할 수 있다.
각변위와 각속도는 통상 반시계방향을 +, 시계방향을 - 부호로 잡는다. 할리데이에서는 시계가 잠을 억지로 깨는 도구이므로 "시계의 존재는 마이너스"라고 드립을 친다

평균 각속도와 순간 각속도의 크기는 아래와 같이 속도의 정의와 비슷한 맥락으로 주어진다.

$$\omega_{avg} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{t_{2}-t_{1}}$$
$$\omega= {\displaystyle \lim_{\Delta t\to 0}}\omega_{avg} = \frac{d\theta}{dt}$$

속도와는

$$r_{1}\omega=v_{1}, \vec{r_{1}} \bot \vec{v_{1}}$$ 의 관계가 있다. 중심에서 멀어질수록 물체 내 입자의 속력은 빨라진다. 여기서 아래첨자는 물체 자체가 아닌 물체 내 입자를 나타낸다.

2.2 공간 운동

삼차원에서는 벡터로 다루어진다. 입자의 속도와 기준 축의 한 지점에서 떨어진 변위가 주어져 있을 때, 강체 운동의 경우 특정한 벡터

$$\vec{\omega}$$ 로써 나타낼 수 있다. 아래 식에서 나타나는 벡터 $$\vec{\omega}$$ 를 각속도 벡터라 한다.
$$\vec{v_{1}} = \vec{\omega} \times \vec{r_{1}}$$

사실 이는 강체의 특성에서 이끌어낼 수 있다. 강체란 임의의 두 입자 사이의 거리가 언제나 일정한 입자계이다. 만일 물체의 모양이 변형되면, 적어도 두 입자 이상은 거리가 변하기 때문이다.
즉 아래 식과 같이 시각에 관계없이 일정한 값으로 써진다.

$$|\vec{r_{2}}(t)-\vec{r_{1}}(t)| = const, (\vec{r_{2}}(t)-\vec{r_{1}}(t))\cdot(\vec{r_{2}}(t)-\vec{r_{1}}(t)) = const$$
여기서 시간 미분을 하면
$$(\vec{v_{2}}(t)-\vec{v_{1}}(t))\cdot(\vec{r_{2}}(t)-\vec{r_{1}}(t)) = 0, \Delta\vec{v} \bot \Delta\vec{r}$$
두 입자 사이의 속도 차이와 변위 차이 벡터가 서로 수직이다. 따라서 속도 벡터의 차이를 외적으로 나타낼 수 있다.
$$\Delta\vec{v} = \vec{\omega} \times \Delta\vec{r}$$
이 때 기준이 되는 축은 순간 속력이 0인 지점을 포함한다. 이를 기준으로 하면 위에 써진 식과 같아진다.

3 각속도는 벡터인가?

당연히 방향과 크기가 있으므로 곧장 벡터라고 생각하기 쉽지만 사실 '각변위'는 벡터가 아니다.
벡터는 방향과 크기가 있는 것 말고도 아래 조건도 만족시켜야 한다. 벡터의 대수적 정의 참고.

• 덧셈에 대한 항등원과 역원 존재
• 교환법칙과 결합법칙 성립

각변위의 경우 교환법칙에서 깨지게 된다. 사실 각변위는 3차원에서는 행렬과 벡터의 곱 형태로 나타나게 된다. 뭐시라?

어떤 변위벡터

$$\vec{r}$$ 과 원점을 지나는 축이 있다고 하자. 축을 나타내는 단위벡터 $$\vec{u}=(a, b, c)$$ 를 오른손 엄지손가락으로 피면서 네 손가락이 감아쥐는 방향으로 각 $$\theta$$ 만큼 돌린다고 할 때, 돌린 뒤의 벡터를 $$\vec{r^\prime}$$ 이라 하면.. 아래와 같이 선형 변환으로 써진다.
$$\vec{r^\prime} = R_{u, \theta} \cdot \vec{r}$$
$$R_{u, \theta} = (1-\cos\theta) \begin{bmatrix} a^2 \quad ab \quad ac \\ ab \quad b^2 \quad bc \\ ac \quad bc \quad c^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos\theta \quad -c\sin\theta \quad b\sin\theta \\ c\sin\theta \quad \cos\theta \quad -a\sin\theta \\ -b\sin\theta \quad a\sin\theta \quad \cos\theta \end{bmatrix}$$

이 때 서로 다른 회전 변환을 시행한다고 할 때, 각 회전을 나타내는 행렬 두 가지가 나오게 된다. 일반적으로는 행렬의 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 각변위의 순서가 바뀌면 회전 결과도 바뀐다. 가령 책을 앞-뒤로 90도, 좌-우로 90도 돌리는 과정과, 순서를 바꾼 과정을 시행해 보면 결과가 엇갈린다. 결국 각변위는 벡터로 나타낼 수 없다.

그렇지만 각속도는 벡터로 표현할 수 있다. 아주 짧은 시간

$$dt$$ 동안 $$d\theta$$ 만큼 돌아갈 때 변환 행렬은 아래와 같이 써진다. 코사인 항은 1로 취급된다.
$$R=R_{u, d\theta} = \begin{bmatrix} 1 \quad -c\cdot d\theta \quad b\cdot d\theta \\ c\cdot d\theta \quad 1 \quad -a\cdot d\theta \\ -b\cdot d\theta \quad a\cdot d\theta \quad 1 \end{bmatrix}$$
한편 다른 미소 회전 행렬도 비슷하게 쓸 수 있다.
$$R^\prime=R_{u^\prime, d\theta^\prime} = \begin{bmatrix} \quad 1 \quad\quad -c^\prime\cdot d\theta^\prime \quad b^\prime\cdot d\theta^\prime \\ c^\prime\cdot d\theta^\prime \quad\quad 1\quad \quad -a^\prime\cdot d\theta^\prime \\ -b^\prime\cdot d\theta^\prime \quad a^\prime\cdot d\theta^\prime \quad\quad 1\quad \end{bmatrix}$$

따라서 두 행렬의 곱은 순서가 바뀌어도 일치하게 된다. 여기서

$$d\theta, d\theta^\prime$$ 의 곱은 다른 값들에 비해 극히 작아서 무시된다.
$$RR^\prime = R^\prime R = \begin{bmatrix} 1 \quad -c^\prime d\theta^\prime-c d\theta \quad b^\prime d\theta^\prime+b d\theta \\ c^\prime d\theta^\prime+c d\theta \quad 1 \quad -a^\prime d\theta^\prime-a d\theta \\ -b^\prime d\theta^\prime-b d\theta \quad a^\prime d\theta^\prime+a d\theta \quad 1 \end{bmatrix}$$

여기서 시간 변화

$$dt$$ 로 나누어주면 각속도가 도출된다. 교환법칙이 성립하므로 각속도는 벡터가 된다.

자세한 서술은 서적 참고 바람