외적

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외적(外積)은 두 벡터의 곱에 관한 수학적 용어이다. 우리나라에서는 두 가지의 다른 개념을 외적이라는 말을 사용하고 있다. 혼동하지 말 것. 보통 1번의 개념으로 많이 사용하지만 1번은 엄밀히 말해서 내적에 대응하는 용어로의 의미로만 외적이라는 단어를 사용했기 때문에 혼동을 줄 수 있는 개념이다.

1 벡터곱(Cross Product)

외적(outer product, cross product)는 3차원 벡터 공간에서 정의된 이중 선형(bilinear) 함수의 일종이다. 내적(dot product)과는 달리 결과값은 벡터가 된다. 두 벡터 [math]a[/math], [math]b[/math]의 외적 [math]a \times b[/math]의 크기는 [math] \left\|a\right\| \left\|b\right\|\sin \theta[/math]이고([math]\theta[/math]는 [math]a[/math], [math]b[/math]가 이루는 각의 크기), 방향은 [math]a[/math], [math]b[/math]에 모두 수직이다.

외적은 주로 토크나 각운동량 같이 회전에 관계된 물리량을 측정할 때 사용한다. 예를 들면 토크의 크기는 고정점에 대한 작용점의 변위 벡터를 r, 작용점에 작용하는 힘 벡터를 F라고 놓을 때 [math] \tau = r \times F [/math]와 같이 정의된다.

1.1 정의

체 [math]F[/math]에 대해 3차원 벡터공간 [math]{F}^{3}[/math]이 주어졌다고 하자. 이때 벡터공간의 벡터 [math] \mathbf{x}=\left( x_1 , x_2 , x_3 \right) [/math] 와 [math] \mathbf{y}=\left( y_1 , y_2 , y_3 \right) [/math]외적 [math] \mathbf{x} \times \mathbf{y} [/math]는 다음과 같이 정의된다.

* [math] \mathbf{x} \times \mathbf{y} = \left( x_2 y_3 - x_3 y_2 , x_3 y_1 - x_1 y_3 , x_1 y_2 -x_2 y_1 \right) [/math]

• 행렬식으로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.

[math]\mathbf{x}\times\mathbf{y}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{bmatrix}[/math]

2 외적(Outer Product)

1의 벡터곱과는 달리 두 벡터의 곱으로 묘사된다. 두 열벡터 [math] u, v[/math]의 내적(inner product) [math]\left( u , v \right)[/math]이 차원이 같은 행벡터 u와 열 벡터 v의 곱으로 표현된다면(다시 말해 [math] u^t v [/math]), 외적(Outer Product) [math] u \otimes v [/math]는 열벡터 u와 행벡터 v의 곱으로 표현된다.(다시 말해 [math] u v^t [/math]) 두 벡터 u, v가 차원이 다를 때에도 정의되며, 행렬의 원소 [math] x_ij [/math]에 대해 [math] x_ij = u_i v_j [/math]의 관계식이 성립한다. 다시 말해

* [math]\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^T = \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1v_1 & u_1v_2 & \cdots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \cdots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_mv_1 & u_mv_2 & \cdots & u_mv_n \end{bmatrix}[/math]