벡터 공간

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1 정의

벡터 공간(vector space)은 체 위에서 정의된 가군이다. 풀어쓰면, 체(field) [math] F [/math]에 대해, 집합 [math] V [/math]가 체 [math]F[/math]위의 벡터 공간(vector space)이라 함은, [math] V [/math]가 [math] F [/math]의 [math] F [/math]-가군(module)인 것이다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 그리고 이 때, [math]F[/math]를 [math]V[/math]의 스칼라라고 한다.

• (가환군) [math] V [/math] 위에 [math] + [/math]가 정의되어 있으며, [math] \left( V,+\right) [/math]는 가환군(abelian)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.
  임의의 [math] u , v, w\in V [/math]에 대하여
  • 덧셈에 대한 항등원 존재 : [math] V [/math]에는 특정한 원소 [math] 0 [/math]이 존재하여 모든 [math] v \in V [/math]에 대하여 [math] v + 0 = 0 + v = v [/math]
  • 덧셈에 대한 역원 존재 : [math] V [/math]의 임의의 원소 [math] v [/math]에 대하여 [math] v + u = u + v = 0 [/math]을 만족하는 [math] u \in V [/math]가 존재한다.
  • 교환법칙 성립 : [math]\forall u, v\in V[/math], [math] u + v = v + u [/math]
  • 결합법칙 성립 : [math]\forall u, v, w\in V[/math], [math] \left( u + v \right) + w = u + \left( v + w \right) [/math]
• (스칼라 곱) 임의의 체 F에 대하여 함수 [math] f:F\times V\rightarrow V, f(a, v)=:a\cdot v[/math](스칼라 배)가 존재하고 임의의 [math]a,b\in F[/math], [math]u, v\in V[/math]에 대해 다음이 성립한다.
  • [math] a\cdot\left(u+v\right)=a\cdot u+a\cdot v [/math]
  • [math] \left(a+b\right)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v [/math]
  • [math] \left(ab \right)\cdot v=a\cdot\left(b\cdot v \right)[/math]
  • [math] 1v=v [/math]

벡터공간 [math]V[/math]의 원소를 벡터(vector)라고 하는데 특히 덧셈 항등원 [math]0[/math]을 영벡터(zero vector)라고 한다.

즉, 위 조건들만 만족하면 벡터 공간이 되는 것이다. 따라서 우리가 주로 아는 좌표공간 이외에도, 위상공간에서 좌표 공간으로 가는 연속함수들의 집합이나 다항식들의 집합도 벡터 공간이 된다.

2 벡터 공간의 준동형 사상(homomorphism)

벡터 공간의 준동형 사상은, 벡터 공간의 선형성을 보존하는 함수이다. 즉, 선형 변환이 벡터 공간의 준동형 사상이다. 자세한 것은 해당 문서 참조.

3 부분공간(subspace)

벡터 공간 [math]V[/math]의 부분집합 [math]W\subset V[/math]가 스칼라 곱과 덧셈, 역원에 대해 다시 닫혀있으면 [math]W[/math]를 [math]V[/math]의 부분공간(subspace)이라 하고, [math]W\ltV[/math], [math]W\leq V[/math] 등으로 표시한다. 다음을 쉽게 알 수 있다.

• 임의의 [math]\alpha\in A[/math]에 대해, [math]W_{\alpha}\ltV[/math]라 하자. [math]{\displaystyle \bigcap_{\alpha}}W_{\alpha}\ltV[/math]다.
• [math] W_{1}, W_{2}, ... , W_{n}\le V [/math] 이면, [math]\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V [/math]이다.

3.1 부분공간의 생성원

[math]X\subset V[/math]에 대해, [math]X[/math]를 포함하는 [math]R[/math]의 가장 작은(smallest) 부분공간을 [math]X[/math]가 생성하는 부분공간(subspace generated by [math]X[/math])이라 하고, [math]\left\langle X\right\rangle[/math] 로 적는다. [math]X[/math]는 [math]\left\langle X\right\rangle[/math]의 생성원이라 한다. smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분환 [math]\left\langle X\right\rangle[/math]의 존재성과 유일성은 [math]\left\langle X\right\rangle = \bigcap_{X \subset W \leq V} W [/math]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 이는 쉽게 보일 수 있다.
구체적으로는 다음과 같음을 알 수 있다.

[math]\left\langle X\right\rangle=\left\{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}:v_{1},\ldots,v_{n}\in X,a_{1},\ldots,a_{n}\in F\right\}[/math]

• [math]\left\langle \emptyset\right\rangle=\left\{ 0\right\} [/math]

4 벡터 공간의 합

벡터 공간 [math]V[/math]의 두 부분공간 [math]W_{1}, W_{2}\subset V[/math]를 생각하자. [math]W_{1}+W_{2}[/math]는 [math]W_{1}+W_{2}:=\left\langle W_{1} \cup W_{2}\right\rangle[/math]로 정의되며, 구체적으로는 [math]W_{1}+W_{2}=\left\{ w_{1}+w_{2}:w_{i}\in W_{i}, i=1, 2\right\} [/math]로 계산된다. 유한한 경우에 한해 합을 다루었지만, 무한한 벡터 공간의 합도 다룰 수 있다.
이 때 물론, [math]W_{1}+W_{2}+...+W_{n}[/math]을 [math]\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V [/math]로 표현한다.

5 직합(direct sum)

벡터 공간 [math]V[/math]의 두 부분공간 [math]W_{1}, W_{2}\leq V[/math]가 [math]W_{1}\cap W_{2}=\left\langle \emptyset\right\rangle[/math]이라 하자. 그러면, 임의의 [math]w_{1}\in W_{1}[/math], [math]w_{2}\in W_{2}[/math]에 대해, [math]w_{1}+w_{2}=0[/math]이면, [math]w_{1}=w_{2}=0[/math]이다. 즉, [math]W_{1}[/math], [math]W_{2}[/math]는 독립적이다. 이 점을 강조해주기 위해, [math]W_{1}\bigoplus W_{2}[/math], [math]{\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{2}}W_{i}[/math] 등과 같이 쓴다. 이를 직합(direct sum)이라 한다. 무한 개의 부분 공간들의 모임[math]\left\{ W_{\alpha}:\alpha\in A\right\} [/math]에 대해서도 마찬가지의 일을 할 수 있고, 이 때 독립성 조건은, 임의의 [math]\beta\in A[/math]에 대해 [math]W_{\beta}\cap{\displaystyle \sum_{\alpha\neq\beta}}W_{\alpha}=\left\langle \emptyset\right\rangle [/math]인 것이다.

두 벡터 공간 [math]V[/math], [math]W[/math]에 대해서도 직합을 정의할 수 있다. [math]V\bigoplus W:=\left\{ \left(v,w\right):v\in V,w\in W\right\} [/math]라 정의해주고, 스칼라 배와 덧셈을 좌표별로(component wise) 정해준다. 무한 개의 벡터 공간들에 대해서도 비슷하다. 이 경우, [math]V=\left\{ \left(v,0\right):v\in V\right\}\ltV\bigoplus W[/math]와 같이 생각하여, [math]V\cap W=\left\langle \emptyset\right\rangle [/math]라 할 수 있다. 즉, 이 정의도 앞서 설명한 관점에 잘 맞는다. 두 부분공간 [math]W_{1}, W_{2}\leq V[/math]의 경우로 돌아가 이야기하자면, [math]W_{1}+W_{2}=\left(W_{1}\bigoplus W_{2}\right)/\left(W_{1}\cap W_{2}\right)[/math]이다.

6 선형 독립(linearly independent), 기저(basis)와 차원(dimension)

선형대수의 핵심 개념 중 하나가 선형 독립(linearly independent)과 기저(basis)의 개념이다. 기저라는 부분집합만 갖고 벡터 공간 전체를 묘사할 수 있기 때문이다. 그리고 기저에 대해 어떻게 묘사하더라도, 그에 맞는 벡터 공간에 대한 묘사를 찾을 수 있다. 이것이 free object의 개념이고, 이는 가군은 갖지 못 하는 벡터 공간만의 특징이다.

6.1 선형 독립(linearly independent)

[math]F[/math] 위의 벡터 공간 [math]V[/math]와 그것의 부분집합 [math]S\subset V[/math]가 다음을 만족하면, [math]S[/math]가 선형 독립(linearly independent)이라 한다. 그렇지 않은 경우, 선형 종속(linearly dependent)이라 한다.

임의의 서로 다른 [math]v_{1},\ldots,v_{n}\in S[/math]와 임의의 [math]a_{1},\ldots,a_{n}\in F[/math]에 대해, [math]{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}=0[/math]이면, [math]a_{1}=\ldots=a_{n}=0[/math]이다.

• [math]\mathbb{R}^{2}[/math]에서, [math]\left\{e_{1}, e_{2}\right\}[/math]는 선형 독립이지만, [math]\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}[/math]는 선형 독립이 아니다.

[math]S\subset V[/math]의 선형 독립성이 중요한 이유는, [math]S[/math]가 선형 독립이면 벡터 공간[math]V[/math]의 모든 원소가 [math]S[/math]의 선형 결합으로 유일하게 표현되기 때문이다. [math]S[/math]가 선형 종속이면, [math]V[/math]의 원소에 대한 묘사가 유일하지 않을 수도 있다. 위에서 예로 든 [math]\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}[/math]의 경우, [math] (3, 2)[/math]가 [math] 3e_{1} + 2e_{2} [/math]로 표현될 수도 있고, [math] 3(e_{1}+e_{2})-e_{2}[/math]로 표현될 수도 있다.

6.2 기저(basis)

부분 집합 [math]S\subset T\subset V[/math]를 생각하자. [math]S[/math]는 [math]T[/math]보다 선형 독립이기 쉬운 반면, [math]\left\langle S\right\rangle \lneq V[/math]이기도 쉽다. 한 마디로, 집합이 작으면 선형독립이기 쉽고, 집합이 크면 [math]V[/math] 전체를 표현하기 쉽다.
예컨대 위에서 예로 든 [math]\mathbb{R}^{2}[/math] 에서, [math] \left\{e_{1}\right\}[/math]는 작아서 선형독립이지만 너무 작아서 [math]\mathbb{R}^{2}[/math] 전체를 표현하지 못하고, [math]\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}[/math]는 커서 [math]\mathbb{R}^{2}[/math] 전체를 표현할 수 있지만 너무 커서 선형독립이지 않다.

이러한 관점에서, 집합의 크기에 따라 선형독립(즉, 유일한 표현)과 [math]V[/math]전체에 대한 표현의 여부가 달라진다고 볼 수 있다. 그렇다면, 두 조건(선형독립과 [math]V[/math] 전체에 대한 묘사)을 모두 만족하는 "적절한" 크기의 집합을 찾을 수 있을까? 만약 이러한 집합이 존재한다면, 그 적절한 크기의 집합을 기저(basis)라 부른다. 형식적인 정의는 다음과 같다.

부분 집합 [math]\mathcal{B}\subset V[/math]가 [math]V[/math]의 기저(basis)라 함은, 다음을 만족하는 것이다.

* (선형 독립성) [math]\mathcal{B}[/math]는 선형 독립이다.

• (생성성) [math]\left\langle \mathcal{B}\right\rangle =V[/math]

선택공리 하에 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다. 좀 더 의미를 찾자면 다음과 같이 적을 수 있을 것이다.

* [math]V={\displaystyle \bigoplus_{v\in \mathcal{B}}}\left\langle v\right\rangle [/math]

6.2.1 기저의 존재성 증명

선택공리와 동치인 초른의 보조정리(Zorn's lemma)를 이용한다. [math]V[/math]의 선형독립인 부분집합 [math]L[/math]이 있다고 할 때, [math]L[/math]을 포함하면서 선형독립인 [math]V[/math]의 부분집합들을 모두 모은 집합을 [math]P[/math]라고 하자. 그리고 [math]P[/math] 위의 순서 관계 [math]\leq[/math]를 포함 관계 [math]\subset[/math]와 같도록 정의하자. 그러면 [math]\left(P, \leq \right)[/math]는 부분순서 집합이 된다. 이때 [math]P[/math]의 임의의 사슬 [math]C=\left\{L_i : i\in I\right\}[/math]에 대하여 [math]\displaystyle L_{\text{max}}=\bigcup C[/math]를 생각하자.

[math]L_{\text{max}}[/math]에서 임의로 유한 개의 원소 [math]v_1, v_2, \cdots, v_n[/math]을 뽑았을 때 [math]C[/math]가 포함 관계에 대하여 전순서 집합이기 때문에 [math]\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}\subset L_i[/math]인 [math]i\in I[/math]가 존재한다. 이때 [math]L_i[/math]가 선형독립이므로 [math]\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}[/math]도 선형독립이다. 따라서 [math]L_{\text{max}}[/math]는 선형독립이고, [math]L[/math]을 포함하는 것은 자명하므로 [math]L_{\text{max}}\in P[/math]이다.

이로부터 [math]P[/math]의 임의의 사슬의 상계가 [math]P[/math]에 존재함을 알 수 있고 초른의 보조정리에 의하여 부분순서 집합 [math]\left(P, \leq \right)[/math]은 극대 원소를 갖는다. 그 원소를 [math]B[/math]라 하자. 일단 [math]B[/math]는 선형독립이다. 그런데 [math]V\setminus \left\langle {B}\right\rangle \neq \emptyset[/math]이라면 [math]V\setminus \left\langle B\right\rangle[/math]의 원소 [math]w[/math]를 뽑아 [math]M:=B\cup \left\{w\right\}[/math]이라 할 때 [math]M[/math]은 선형독립이고 [math]L[/math]을 포함하므로 [math]M\in P[/math]이다. 그러면 [math]B\leq M[/math]이고 [math]B\neq M[/math]이므로 [math]B[/math]가 극대원소라는 데 모순이다. 따라서 [math]V\setminus \left\langle {B}\right\rangle = \emptyset[/math]이어야 하고, [math]B[/math]는 [math]L[/math]을 포함하면서 [math]V[/math]의 기저가 된다.

6.3 차원(dimension)

벡터 공간의 기저의 크기를 차원(dimension)이라 부르고, [math]\dim_{F}V[/math]라 적는다. 이것이 잘 정의되어있으려면(well-defined), 모든 벡터 공간은 기저를 가져야 하고, 주어진 벡터 공간의 기저들은 모두 같은 크기를 가져야 한다. 전자는 위에서 말한 대로 선택공리를 가정한다면 보일 수 있고, 후자도 쉽게 보일 수 있다.

차원은 스칼라를 어떻게 택하느냐에 따라 달라지기도 한다. 예를 들어, 복소수체는 실수체와 복소수체 모두의 벡터 공간이고, [math]\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2\neq 1=\dim_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[/math]이다.

갖은 스칼라 체를 갖는 두 벡터 공간이 동형적(isomophic)일 필요충분 조건은 차원이 같은 것이다. 동형이라면 차원이 같음은 자명하고, 차원이 같다면 두 벡터 공간의 기저 사이에 일대일 대응을 만든 후, 그 대응을 선형 변환으로 확장하면 된다. 이 때 확장 가능성은 물론 기저의 선형 독립성과 생성성에 의해 보장된다.

7 쌍대 공간(dual space)

[math]F[/math]를 스칼라로 갖는 벡터 공간 [math]V[/math] 위의 선형 범함수(linear functional)들의 모임, 즉 쌍대 공간(dual space) [math]V^{*}[/math]은 다음과 같이 정의되고, 이 또한 [math]F[/math]를 스칼라로 갖는 벡터 공간이고 만약 V의 차원이 유한하다면, [math]\dim_{F}V=\dim_{F}V^{*}[/math]이다. 따라서 [math]V\cong V^{*}[/math]이다. 그러나 natural한 동형사상이 존재하는 것은 아니다.

[math]V^{*}:=L\left(V,F\right)[/math]

7.1 이중 쌍대 공간(double dual space)

[math]V^{*}[/math]도 벡터 공간이므로 이것의 쌍대 공간인 [math]V^{**}[/math]을 생각할 수 있다. 이를 [math]V[/math]의 이중 쌍대 공간(double dual space)이라 한다. 이 역시 [math]V\cong V^{*}\cong V^{**}[/math]에서, [math]V\cong V^{**}[/math]이다. 이 동형성은 [math]V\cong V^{*}[/math]와는 달리, natural하다. [math]\phi:V^{**}\rightarrow V[/math]를 [math]\phi\left(f\right)\left(v\right)=f\left(v\right)[/math]라 정의하면, [math]\phi[/math]가 동형이기 때문이다.

8 관련 항목

• 텐서곱
• 델