벡터 공간

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1 정의

벡터 공간(vector space)은 체 위에서 정의된 가군이다. 풀어쓰면, 체(field)

$$F$$ 에 대해, 집합 $$V$$ 가 체 $$F$$ 위의 벡터 공간(vector space)이라 함은, $$V$$ 가 $$F$$ 의 $$F$$ -가군(module)인 것이다. 이를 풀어쓰면 다음과 같다. 그리고 이 때, $$F$$ 를 $$V$$ 의 스칼라라고 한다.

• (가환군) $$V$$ 위에 $$+$$ 가 정의되어 있으며, $$\left( V,+\right)$$ 는 가환군(abelian)이다. 즉 다음의 4가지 성질을 만족한다.
  임의의 $$u , v, w\in V$$ 에 대하여
  • 덧셈에 대한 항등원 존재 : $$V$$ 에는 특정한 원소 $$0$$ 이 존재하여 모든 $$v \in V$$ 에 대하여 $$v + 0 = 0 + v = v$$
  • 덧셈에 대한 역원 존재 : $$V$$ 의 임의의 원소 $$v$$ 에 대하여 $$v + u = u + v = 0$$ 을 만족하는 $$u \in V$$ 가 존재한다.
  • 교환법칙 성립 : $$\forall u, v\in V$$ , $$u + v = v + u$$
  • 결합법칙 성립 : $$\forall u, v, w\in V$$ , $$\left( u + v \right) + w = u + \left( v + w \right)$$
• (스칼라 곱) 임의의 체 F에 대하여 함수 $$f:F\times V\rightarrow V, f(a, v)=:a\cdot v$$ (스칼라 배)가 존재하고 임의의 $$a,b\in F$$ , $$u, v\in V$$ 에 대해 다음이 성립한다.
  • $$a\cdot\left(u+v\right)=a\cdot u+a\cdot v$$
  • $$\left(a+b\right)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v$$
  • $$\left(ab \right)\cdot v=a\cdot\left(b\cdot v \right)$$
  • $$1v=v$$

벡터공간

$$V$$ 의 원소를 벡터(vector)라고 하는데 특히 덧셈 항등원 $$0$$ 을 영벡터(zero vector)라고 한다.

즉, 위 조건들만 만족하면 벡터 공간이 되는 것이다. 따라서 우리가 주로 아는 좌표공간 이외에도, 위상공간에서 좌표 공간으로 가는 연속함수들의 집합이나 다항식들의 집합도 벡터 공간이 된다.

2 벡터 공간의 준동형 사상(homomorphism)

벡터 공간의 준동형 사상은, 벡터 공간의 선형성을 보존하는 함수이다. 즉, 선형 변환이 벡터 공간의 준동형 사상이다. 자세한 것은 해당 문서 참조.

3 부분공간(subspace)

벡터 공간

$$V$$ 의 부분집합 $$W\subset V$$ 가 스칼라 곱과 덧셈, 역원에 대해 다시 닫혀있으면 $$W$$ 를 $$V$$ 의 부분공간(subspace)이라 하고, $$W\ltV$$ , $$W\leq V$$ 등으로 표시한다. 다음을 쉽게 알 수 있다.

• 임의의 $$\alpha\in A$$ 에 대해, $$W_{\alpha}\ltV$$ 라 하자. $${\displaystyle \bigcap_{\alpha}}W_{\alpha}\ltV$$ 다.
• $$W_{1}, W_{2}, ... , W_{n}\le V$$ 이면, $$\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V$$ 이다.

3.1 부분공간의 생성원

$$X\subset V$$ 에 대해, $$X$$ 를 포함하는 $$R$$ 의 가장 작은(smallest) 부분공간을 $$X$$ 가 생성하는 부분공간(subspace generated by $$X$$ )이라 하고, $$\left\langle X\right\rangle$$ 로 적는다. $$X$$ 는 $$\left\langle X\right\rangle$$ 의 생성원이라 한다. smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분환 $$\left\langle X\right\rangle$$ 의 존재성과 유일성은 $$\left\langle X\right\rangle = \bigcap_{X \subset W \leq V} W$$ 를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 이는 쉽게 보일 수 있다.
구체적으로는 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\left\langle X\right\rangle=\left\{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}:v_{1},\ldots,v_{n}\in X,a_{1},\ldots,a_{n}\in F\right\}$$

• $$\left\langle \emptyset\right\rangle=\left\{ 0\right\}$$

4 벡터 공간의 합

벡터 공간

$$V$$ 의 두 부분공간 $$W_{1}, W_{2}\subset V$$ 를 생각하자. $$W_{1}+W_{2}$$ 는 $$W_{1}+W_{2}:=\left\langle W_{1} \cup W_{2}\right\rangle$$ 로 정의되며, 구체적으로는 $$W_{1}+W_{2}=\left\{ w_{1}+w_{2}:w_{i}\in W_{i}, i=1, 2\right\}$$ 로 계산된다. 유한한 경우에 한해 합을 다루었지만, 무한한 벡터 공간의 합도 다룰 수 있다.
이 때 물론, $$W_{1}+W_{2}+...+W_{n}$$ 을 $$\sum _{k=1} ^n W_{k} \le V$$ 로 표현한다.

5 직합(direct sum)

벡터 공간

$$V$$ 의 두 부분공간 $$W_{1}, W_{2}\leq V$$ 가 $$W_{1}\cap W_{2}=\left\langle \emptyset\right\rangle$$ 이라 하자. 그러면, 임의의 $$w_{1}\in W_{1}$$ , $$w_{2}\in W_{2}$$ 에 대해, $$w_{1}+w_{2}=0$$ 이면, $$w_{1}=w_{2}=0$$ 이다. 즉, $$W_{1}$$ , $$W_{2}$$ 는 독립적이다. 이 점을 강조해주기 위해, $$W_{1}\bigoplus W_{2}$$ , $${\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{2}}W_{i}$$ 등과 같이 쓴다. 이를 직합(direct sum)이라 한다. 무한 개의 부분 공간들의 모임 $$\left\{ W_{\alpha}:\alpha\in A\right\}$$ 에 대해서도 마찬가지의 일을 할 수 있고, 이 때 독립성 조건은, 임의의 $$\beta\in A$$ 에 대해 $$W_{\beta}\cap{\displaystyle \sum_{\alpha\neq\beta}}W_{\alpha}=\left\langle \emptyset\right\rangle$$ 인 것이다.

두 벡터 공간

$$V$$ , $$W$$ 에 대해서도 직합을 정의할 수 있다. $$V\bigoplus W:=\left\{ \left(v,w\right):v\in V,w\in W\right\}$$ 라 정의해주고, 스칼라 배와 덧셈을 좌표별로(component wise) 정해준다. 무한 개의 벡터 공간들에 대해서도 비슷하다. 이 경우, $$V=\left\{ \left(v,0\right):v\in V\right\}\ltV\bigoplus W$$ 와 같이 생각하여, $$V\cap W=\left\langle \emptyset\right\rangle$$ 라 할 수 있다. 즉, 이 정의도 앞서 설명한 관점에 잘 맞는다. 두 부분공간 $$W_{1}, W_{2}\leq V$$ 의 경우로 돌아가 이야기하자면, $$W_{1}+W_{2}=\left(W_{1}\bigoplus W_{2}\right)/\left(W_{1}\cap W_{2}\right)$$ 이다.

6 선형 독립(linearly independent), 기저(basis)와 차원(dimension)

선형대수의 핵심 개념 중 하나가 선형 독립(linearly independent)과 기저(basis)의 개념이다. 기저라는 부분집합만 갖고 벡터 공간 전체를 묘사할 수 있기 때문이다. 그리고 기저에 대해 어떻게 묘사하더라도, 그에 맞는 벡터 공간에 대한 묘사를 찾을 수 있다. 이것이 free object의 개념이고, 이는 가군은 갖지 못 하는 벡터 공간만의 특징이다.

6.1 선형 독립(linearly independent)

$$F$$ 위의 벡터 공간 $$V$$ 와 그것의 부분집합 $$S\subset V$$ 가 다음을 만족하면, $$S$$ 가 선형 독립(linearly independent)이라 한다. 그렇지 않은 경우, 선형 종속(linearly dependent)이라 한다.

임의의 서로 다른 $$v_{1},\ldots,v_{n}\in S$$ 와 임의의 $$a_{1},\ldots,a_{n}\in F$$ 에 대해, $${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}}a_{i}v_{i}=0$$ 이면, $$a_{1}=\ldots=a_{n}=0$$ 이다.

• $$\mathbb{R}^{2}$$ 에서, $$\left\{e_{1}, e_{2}\right\}$$ 는 선형 독립이지만, $$\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}$$ 는 선형 독립이 아니다.

$$S\subset V$$ 의 선형 독립성이 중요한 이유는, $$S$$ 가 선형 독립이면 벡터 공간 $$V$$ 의 모든 원소가 $$S$$ 의 선형 결합으로 유일하게 표현되기 때문이다. $$S$$ 가 선형 종속이면, $$V$$ 의 원소에 대한 묘사가 유일하지 않을 수도 있다. 위에서 예로 든 $$\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}$$ 의 경우, $$(3, 2)$$ 가 $$3e_{1} + 2e_{2}$$ 로 표현될 수도 있고, $$3(e_{1}+e_{2})-e_{2}$$ 로 표현될 수도 있다.

6.2 기저(basis)

부분 집합

$$S\subset T\subset V$$ 를 생각하자. $$S$$ 는 $$T$$ 보다 선형 독립이기 쉬운 반면, $$\left\langle S\right\rangle \lneq V$$ 이기도 쉽다. 한 마디로, 집합이 작으면 선형독립이기 쉽고, 집합이 크면 $$V$$ 전체를 표현하기 쉽다.
예컨대 위에서 예로 든 $$\mathbb{R}^{2}$$ 에서, $$\left\{e_{1}\right\}$$ 는 작아서 선형독립이지만 너무 작아서 $$\mathbb{R}^{2}$$ 전체를 표현하지 못하고, $$\left\{e_{1}, e_{1}+e_{2}, e_{2}\right\}$$ 는 커서 $$\mathbb{R}^{2}$$ 전체를 표현할 수 있지만 너무 커서 선형독립이지 않다.

이러한 관점에서, 집합의 크기에 따라 선형독립(즉, 유일한 표현)과

$$V$$ 전체에 대한 표현의 여부가 달라진다고 볼 수 있다. 그렇다면, 두 조건(선형독립과 $$V$$ 전체에 대한 묘사)을 모두 만족하는 "적절한" 크기의 집합을 찾을 수 있을까? 만약 이러한 집합이 존재한다면, 그 적절한 크기의 집합을 기저(basis)라 부른다. 형식적인 정의는 다음과 같다.

부분 집합

$$\mathcal{B}\subset V$$ 가 $$V$$ 의 기저(basis)라 함은, 다음을 만족하는 것이다.

* (선형 독립성) $$\mathcal{B}$$ 는 선형 독립이다.

• (생성성) $$\left\langle \mathcal{B}\right\rangle =V$$

선택공리 하에 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다. 좀 더 의미를 찾자면 다음과 같이 적을 수 있을 것이다.

* $$V={\displaystyle \bigoplus_{v\in \mathcal{B}}}\left\langle v\right\rangle$$

6.2.1 기저의 존재성 증명

선택공리와 동치인 초른의 보조정리(Zorn's lemma)를 이용한다.

$$V$$ 의 선형독립인 부분집합 $$L$$ 이 있다고 할 때, $$L$$ 을 포함하면서 선형독립인 $$V$$ 의 부분집합들을 모두 모은 집합을 $$P$$ 라고 하자. 그리고 $$P$$ 위의 순서 관계 $$\leq$$ 를 포함 관계 $$\subset$$ 와 같도록 정의하자. 그러면 $$\left(P, \leq \right)$$ 는 부분순서 집합이 된다. 이때 $$P$$ 의 임의의 사슬 $$C=\left\{L_i : i\in I\right\}$$ 에 대하여 $$\displaystyle L_{\text{max}}=\bigcup C$$ 를 생각하자.

$$L_{\text{max}}$$ 에서 임의로 유한 개의 원소 $$v_1, v_2, \cdots, v_n$$ 을 뽑았을 때 $$C$$ 가 포함 관계에 대하여 전순서 집합이기 때문에 $$\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}\subset L_i$$ 인 $$i\in I$$ 가 존재한다. 이때 $$L_i$$ 가 선형독립이므로 $$\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}$$ 도 선형독립이다. 따라서 $$L_{\text{max}}$$ 는 선형독립이고, $$L$$ 을 포함하는 것은 자명하므로 $$L_{\text{max}}\in P$$ 이다.

이로부터

$$P$$ 의 임의의 사슬의 상계가 $$P$$ 에 존재함을 알 수 있고 초른의 보조정리에 의하여 부분순서 집합 $$\left(P, \leq \right)$$ 은 극대 원소를 갖는다. 그 원소를 $$B$$ 라 하자. 일단 $$B$$ 는 선형독립이다. 그런데 $$V\setminus \left\langle {B}\right\rangle \neq \emptyset$$ 이라면 $$V\setminus \left\langle B\right\rangle$$ 의 원소 $$w$$ 를 뽑아 $$M:=B\cup \left\{w\right\}$$ 이라 할 때 $$M$$ 은 선형독립이고 $$L$$ 을 포함하므로 $$M\in P$$ 이다. 그러면 $$B\leq M$$ 이고 $$B\neq M$$ 이므로 $$B$$ 가 극대원소라는 데 모순이다. 따라서 $$V\setminus \left\langle {B}\right\rangle = \emptyset$$ 이어야 하고, $$B$$ 는 $$L$$ 을 포함하면서 $$V$$ 의 기저가 된다.

6.3 차원(dimension)

벡터 공간의 기저의 크기를 차원(dimension)이라 부르고,

$$\dim_{F}V$$ 라 적는다. 이것이 잘 정의되어있으려면(well-defined), 모든 벡터 공간은 기저를 가져야 하고, 주어진 벡터 공간의 기저들은 모두 같은 크기를 가져야 한다. 전자는 위에서 말한 대로 선택공리를 가정한다면 보일 수 있고, 후자도 쉽게 보일 수 있다.

차원은 스칼라를 어떻게 택하느냐에 따라 달라지기도 한다. 예를 들어, 복소수체는 실수체와 복소수체 모두의 벡터 공간이고,

$$\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2\neq 1=\dim_{\mathbb{C}}\mathbb{C}$$ 이다.

갖은 스칼라 체를 갖는 두 벡터 공간이 동형적(isomophic)일 필요충분 조건은 차원이 같은 것이다. 동형이라면 차원이 같음은 자명하고, 차원이 같다면 두 벡터 공간의 기저 사이에 일대일 대응을 만든 후, 그 대응을 선형 변환으로 확장하면 된다. 이 때 확장 가능성은 물론 기저의 선형 독립성과 생성성에 의해 보장된다.

7 쌍대 공간(dual space)

$$F$$ 를 스칼라로 갖는 벡터 공간 $$V$$ 위의 선형 범함수(linear functional)들의 모임, 즉 쌍대 공간(dual space) $$V^{*}$$ 은 다음과 같이 정의되고, 이 또한 $$F$$ 를 스칼라로 갖는 벡터 공간이고 만약 V의 차원이 유한하다면, $$\dim_{F}V=\dim_{F}V^{*}$$ 이다. 따라서 $$V\cong V^{*}$$ 이다. 그러나 natural한 동형사상이 존재하는 것은 아니다.

$$V^{*}:=L\left(V,F\right)$$

7.1 이중 쌍대 공간(double dual space)

$$V^{*}$$ 도 벡터 공간이므로 이것의 쌍대 공간인 $$V^{**}$$ 을 생각할 수 있다. 이를 $$V$$ 의 이중 쌍대 공간(double dual space)이라 한다. 이 역시 $$V\cong V^{*}\cong V^{**}$$ 에서, $$V\cong V^{**}$$ 이다. 이 동형성은 $$V\cong V^{*}$$ 와는 달리, natural하다. $$\phi:V^{**}\rightarrow V$$ 를 $$\phi\left(f\right)\left(v\right)=f\left(v\right)$$ 라 정의하면, $$\phi$$ 가 동형이기 때문이다.

8 관련 항목

• 텐서곱
• 델