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1 정의
선형 변환(Linear Transform)는 벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 함수로, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. 아니면 카테고리 이론을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다. 일차변환(First Order Transform)이라고도 부르기도 한다. 스칼라가 F로 같은 벡터 공간V, W에 대해, 흔히 V에서 W로 가는 선형 변환들의 모임을 L(V,W)라 표시한다. 달리 선형사상(Linear Map)이라고 한다.
f:V→W가 선형 변환이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
* (선형성(linearity)) 임의의 a∈F, u,v∈V에 대해, f(au+v)=af(u)+f(v)
mathbbR를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자.
- V=W=R2에 대해, f(x,y)=(5x+3y,7x−2y)는 선형 변환이다.
- V=W=R2에 대해, f(x,y)=(6x,5x)는 선형 변환이다.
- V=W=R2에 대해, f(x,y)=(x2+siny,0)는 선형 변환이 아니다.
- V=W=R2에 대해, f(x,y)=(0,0)는 선형 변환이다.
- V=W=R2에 대해, f(x,y)=(x+1,x+5y+2)는 선형 변환이 아니다.
- V를 [0,1]에서 R로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, R-벡터 공간이다. ϕ:V→>R을 ϕ(f):=∫10f라 하면 ϕ는 선형 변환이다.
- V를 n차 정사각 행렬의 모임이라 하면, R-벡터 공간이다. 주 대각합 tr:V→R은 선형 변환이다.
- V=W=C, T(z):=¯z라 정의하자. R, C위에서, V, W는 벡터 공간이다.[1]
- R위에서, T는 선형 변환이다.
- C위에서, T는 선형 변환이 아니다. iT(1)=i≠−i=T(i⋅1)이기 때문이다.
2 핵(kernel)과 상(image)
벡터 공간V, W와 f∈L(V,W)에 대해[2]
* (핵(kernel)[3]) kerf:={v∈V:f(v)=0}
- (핵 공간의 차원(nullity)) Null(f):=dimkerf
- (상(image)[4]) Imf:={f(v):v∈V}
- (계수(차수; rank)) rank(f):=dimImf
라 정의한다. 다음이 성립한다.
- nullity-rank theorem[5]
dimV=Null(f)+rank(f)
3 행렬과의 관계
유한차원 벡터공간에서 유한차원 벡터공간으로 가는 선형 연산자는 행렬과 1-1 대응을 이룬다.[6] 따라서, 유한차원 벡터공간 사이의 선형 연산을 연구하고 싶다면, 행렬을 보는 것으로 충분하다. 이것이, 행렬에 대해 정의되는 행렬식, 주대각합 등을, 선형변환에 대해서도 정의할 수 있는 이유이다.
여담으로 개정으로 행렬이 수학 교육과정에서 완전히 빠지기전 기하와 벡터 과목에서 선형변환을 배웠다. 그러나 엄밀하게 정의하고 증명하고 넘어가는 방식을 채택하고 있는 대한민국 교육과정마저도 행렬 부분과 미적분 부분에 있어선 증명하지 않고 넘어가는 게 많은데, 행렬은 선형대수학의 선형사상 때문이고 미적분은 해석학의 엡실론 - 델타 논법 때문이다! 그래서 선형대수학을 공부하는 사람은 이 선형사상을 이해하는 것을 강요받고 있다고 할 수 있다.- 이동 ↑ 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.
- 이동 ↑ 핵과 상이 부분 공간임이라는 것은 쉽게 알 수 있다.
- 이동 ↑ 변환 f가 행렬일 때에 한해, 영공간(null space)라고 하기도 한다.
- 이동 ↑ 변환 f가 행렬일 때에 한해, 행공간(column space)라고 하기도 한다.
- 이동 ↑ 책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다.
- 이동 ↑ 벡터 공간에는 기저가 존재한다. 선형 변환이 주어지면, 그것을 기저에 맞춰 행렬로 표현할 수 있다. 행렬이 주어지면, 기저에 맞춰 그에 해당하는 선형 변환을 만드는 것은 더 쉽다.