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곡률

曲率, curvature

1 개요

곡률은 선의 굽은 정도를 표현하는 수치이다. 곡률이 클 수록 곡선은 더 굽어 있다.

한 예시로 원의 곡률은 반지름의 역수이다. 즉 원이 커질수록 곡률은 작아진다. 지구처럼 큰 원이 종이에 그린 동그라미보다 훨씬 평평해 보이는데, 이는 더 작은 곡률을 갖고 있기 때문이다. 자세히 설명하자면, 지구와 동그라미 위에서 같은 길이만큼 이동했을때 동그라미에서 방향이 더 크게 틀어지기 때문에 곡률이 더 크다.

대체로 곡률은 스칼라 값으로 주어지지만 간혹 곡률 벡터라는 이름으로 휘어진 방향과 정도를 함께 표현하기도 한다. 이를 확장하여 곡면이나 n차원 물체의 곡률도 생각할 수 있는데 텐서 등의 형태로 기술된다.

2 구하는 법

원의 경우는 반지름의 역수로 곡률을 구할 수 있지만 일반적인 곡선의 경우에는 "반지름"이 정의되지 않기에 다른 방법을 써야 한다. 곡률의 특징을 나열해 보자면...

  • 직관적으로 직선의 곡률은 0이다.
  • 어떤 선이 시간에 따라 움직이는 점의 자취라고 생각했을 때, 단위 시간당 방향이 심하게 바뀔수록[1] 곡선은 큰 곡률을 갖는다.

이런 조건에 맞는 정의를 찾으려면 먼저 선이 미분 가능해야 하고, 미분한 값이 0인 점[2]이 없어야 한다. 접선 벡터 함수 T와 길이 함수 s가 있을 때, 곡률에 대한 함수 카파는 아래와 같은 형태로 구해진다.

κ=|dTds|

3 3차원 공간 안의 곡면 위에서 곡률

3차원 공간 안에 존재하는 곡면 위에 있는 곡선들의 곡률은 곡선의 모양에 따라 다양하게 변한다. 따라서 곡면 위의 점 P와 그곳에서의 단위 수직벡터(Unit Normal Vector)에 대해 점 P에서 곡면에 접하는 평면 p 위에서 접선벡터 VP에 대해 수직벡터 U가 변하는 정도, 다시 말해 S(VP)=VPU 를 모양 연산자(Shape operator)라고 한다. 단위 수직벡터 U는 길이가 변하지 않으므로 모든 접평면 상의 벡터 V에 대해 이 모양연산자 벡터 S(V)는 U와 수직하다. 다시 말해 P의 접평면 위에 존재한다.
P에 접하는 벡터 v가 역시 단위벡터일 때 스칼라 k(v)=S(vP)v를 v 방향으로의 수직 곡률(Normal Curvature)라고 한다. 기하학적으로는 U, v방향으로 지나는 평면과 곡면과의 교선인 곡선의 곡률이라 생각하면 된다. 다만 이 곡률값은 부호가 존재하며, 수직벡터 U쪽으로 구부러지면 0보다 크고, U와 반대방향으로 구부러지면 0보다 작아진다.

그 수직 곡률중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값 κ1,κ2를 주곡률(Principal Curvature)라고 부른다. 사실 모양 연산자 S(V)는 접평면 벡터 V에 대해 선형 변환이 된다. 주곡률값은 모양 연산자 S(V)의 고유값이라고 생각하면 된다.

그 주곡률값 둘을 곱한 곡률 K=κ1κ2를 점 P에서의 가우스 곡률(Gauss Curvature)라고 하고, 주곡률값 둘의 평균 H=κ1+κ22을 평균 곡률(Mean Curvature)라고 부른다.
예를 들면 평면은 어느 방향으로 그리든지 구부러져 있지 않으므로 모든 방향에서의 수직곡률이 0이 된다. 따라서 가우스 곡률도 0이 된다. 한편 반지름 r인 구는 구면위의 어떤 방향으로도 수직곡률이 1/r이 되므로 가우스 곡률은 1/r×1/r=1/r2가 된다.

특이하게도 가우스의 놀라운 정리(Gauss Theorema Egregium)에 의하면 이 가우스 곡률은 등거리사상(isometry)[3]에 의해 변하지 않는다는 점이다. 예를 들면 지구 표면을 묘사하는 평면상의 어떠한 지도도 두 지점 사의의 거리를 완벽하게 묘사할 수 없다는 이야기이다. 즉, 실제로 지도는 어떻게 그리든 지구표면의 실제 모양과 완벽하게 닮게 그리는게 불가능한 것을 의미한다! [4]
  1. 이동 즉 시간에 비해 빠르게 변할수록
  2. 이동 곡선이 멈추는 지점
  3. 이동 두 접벡터의 내적을 보존하는 사상이다. 쉽게 말하면 두 점 사이의 거리가 변하지 않는 사상을 말한다.
  4. 이동 참조 : [1] 참고로 Rd+1 유클리도 공간 상의 d차원 다양체에 대한 개념으로 설명을 확대했다.