1 개요
실수 전체집합 [math]\mathbb{R}[/math]의 부분집합 [math]X[/math]에 대하여 집합 [math]X[/math]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 수와 작거나 같은 수가 모두 존재할 때 집합 [math]X[/math]는 유계이다. 유계인 집합의 대표적인 예시로 구간이 있다. 예를 들어, 열린 구간 [math]\left(0, 1\right)[/math]에 대하여 [math]0[/math]과 [math]1[/math]사이의 모든 수보다 큰 수인 [math]2[/math], [math]0[/math]과 [math]1[/math]사이의 모든 수보다 작은 수인 [math]-1[/math]가 각각 존재하므로 열린구간 [math]\left(0, 1\right)[/math]는 유계인 집합이다.
2 상세
유계를 정의하기 위해서는 상계(하계)와 상한(하한)을 먼저 정의해야한다.
2.1 상계와 하계
실수 집합 [math]\mathbb{R}[/math]의 부분집합 [math]X[/math]에 대해서 [math]X[/math]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 실수를 [math]X[/math]의 상계라 한다. 비슷하게 [math]X[/math]의 하계는 [math]X[/math]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 실수를 말한다. 예를들어 열린 구간 [math]\left(0, 1\right)[/math]의 상계는 구간 [math]\left[1, \infty\right)[/math]의 임의의 원소가 가능하다. 마찬가지로 구간 [math]\left(-\infty, 0\right][/math]의 모든 원소는 구간 [math]\left(0, 1\right)[/math]의 하계가 될 수 있다.
[math]X[/math]의 원소이면서 [math]X[/math]의 상계 또는 하계가 되는 것도 가능하다. 예를들어 1은 닫힌 구간 [math]\left[0, 1\right][/math]의 모든 원소보다 크거나 같고, 따라서 상계가 된다.
2.1.1 상한과 하한
상한과 하한은 각각 상계의 최솟값과 하계의 최댓값을 말한다. 즉, 집합 [math]X[/math]의 상한은 [math]X[/math]의 모든 원소보다 크거나 같은 수들 중 가장 작은 수를, 하한은 [math]X[/math]의 모든 원소보다 작거나 같은 수 들 가장 큰 수를 말한다. 열린 구간에서 볼 수 있듯이 모든 집합에 대해 최솟값과 최댓값이 존재하는 것은 아니다. 하지만 상한과 하한은 최대/최솟값을 갖지 않는 열린구간에도 존재하며 따라서 상한과 하한을 최대, 최솟값의 일반화라 볼 수 있다. 예를 들어 [math]\left(0, 1\right)[/math]는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않지만 상계 [math]\left[1, \infty\right)[/math]의 최솟값과 하계 [math]\left(-\infty, 0\right][/math] 최댓값은 각각 [math]1[/math]과 [math]0[/math]으로 존재한다.
상한과 하한을 각각 supremum과 infimum이라고 하며 집합 [math]X[/math]의 상한, 하한을 각각 [math]\text{sup}\ X[/math], [math]\text{inf}\ X[/math]로 표기한다.
2.2 유계
집합 [math]X[/math]가 상계(하계)를 가지면 [math]X[/math]는 위로(아래로)유계라고 부르며, [math]X[/math]가 동시에 위와 아래로 유계인 경우 [math]X[/math]를 유계인 집합이라고 한다. 유계 개념은 함수, 수열[1], 함수열등에도 적용할 수 있는데, 이를 이용해 실수의 완비성의 한 형식을 나타낼 수 있다.[2] 또한 원점을 중심으로 한 Ball을 이용하여 [math]\mathbb{R}^n[/math]으로 유계 개념을 확장할 수 있다. 닫힌 구간 내에서 유계인 함수는 적분이 가능한 등 여러 좋은 성질을을 갖는다.