수학Ⅱ

2015개정 교육과정(2021학번 이후 세대 해당)에 관한 내용에 대해서는 수학Ⅱ(2015) 문서를 참조하십시오.

2009 개정 교육과정 고등학교 수학 (14'~17' 高1)
공통	수학Ⅰ		수학Ⅱ	미적분Ⅰ	확률과 통계
자연	미적분Ⅱ			기하와 벡터
기초 선택 과목으로 기초 수학, 심화 선택 과목으로 고급 수학Ⅰ · 고급 수학Ⅱ가 있다.

• 관련 항목 : 교과 관련 정보

1 개요

영칭(비공식): High School Mathematics Ⅱ

보통 고등학교 1학년 2학기에 배우는 교과목. 단, 특성화고에서는 2학년에서 배우는 교과목이다. 과거의 6차교육과정 공통수학 2학기 혹은 7차교육과정 「수학 10-나」에 해당되는 시기에 배운 과목이다. 수학Ⅰ의 도형의 방정식을 기초로 하여 함수(해석기하학)를 긴밀하게 이해한다. 전통적으로는 II란 로마숫자는 이과용 수학에만 부여되오던 것이다.

주의! 여기서 서술하는 수학Ⅱ은 2014학년도 이후 고등학교에 입학한 학생들 위주로 설명되어 있으며, 2009~2013학년도에 고교에 입학한 학생은 맨 아래 부분의 2007 개정 교육 과정 쪽을 살펴볼 것.

2 변천사

• 2차 교육과정부터 6차 교육과정까지는 고1용 보통수학(공통수학)을 이수한 이과반 2학년, 3학년들이 배우던 과목이었다.(문과는 수학 I) 주요 단원은 행렬, (수열), 극한, 미적분, 삼각함수, (2차곡선), 공간도형과 벡터, 확률과 통계. 그러나 7차교육과정부터는 보통수학이후의 과정이 여러 세부과목으로 쪼개지면서 애매모호한 존재가 되었다.

• 7차 실시 초기인 97년 체제하에서는(2002년 입학자부터) 보통수학 이수후 문과는 수학 I만 배우면 됐으나 이과는 수학 I, II를 다 배워야했다. 이전 수학 II의 내용이 수학 I과 II 로 나뉜 것이다. 게다가 수학 II에는 다항함수의 미적분만 포함돼있었고 초월함수 미적분은 미분과 적분이라는 별도의 과목하에 있었다. 확률과 통계도 별도로 있었다.

• 그러나 2007년 개정 이후(2009년 입학자부터) 수학II와 <미분과 적분>에 나뉘어 있던 미분법이 수학 II로 몰아지면서 적분법은 확률통계와 합쳐져 별도의 과목 적분과 통계로 빠져나갔고 공간도형과 벡터부문도 기하와 벡터로 분리됐다.

• 2009년 개정으로(2014년 입학자부터) 다시 전면 개편됐는데, 1학년용 보통수학(소위 고등수학)이 1학기용과 2학기용으로 쪼개져 각각 수학 I, 수학 II의 이름을 갖게 됐다. 즉 역사상 최초로 보통수학에 로마숫자표기가 된 것이다. 기존의 수학 I, II와 적통, 기벡은 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ와 기벡, 확통으로 재편됐다.

2.1 여담

2009 교육과정의 수학Ⅱ는 사실상 이전의 수학Ⅱ로부터 명칭만 내려왔다고 보면 이해하기 쉽다. 92년생까지는 수학Ⅱ 하면 이과생들도 감히 범접할 수 없는 과목이었는데 갈아엎어버린 교육 과정으로 인해 그 위상이 점점 낮아지고 있다.(...) 아시다시피 이는 이전에 수학 교과서 4권(고1 수학, 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미분과 적분(다 선택 기준)을 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ, 기하와 벡터, 확률과 통계 6권으로 쪼개놨기 때문에 단원이 점점 내려오게 됐다.

• 7차 교육 과정 : 방정식과 부등식, 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법, 이차곡선, 공간 도형, 벡터
• 2007 개정 교육 과정 : 방정식과 부등식, 삼각함수, 함수의 극한과 연속, 미분법
• 2009 개정 교육 과정 : 집합과 명제, 함수(유리함수와 무리함수), 수열, 지수와 로그

3 상세

3.1 목차 및 단원 설명 (2009 개정 교육 과정)

2014학년도에 고등학교를 입학한 학생부터 적용되는 교과 과정. 2017학년도 대학수학능력시험부터 수학 ‘나’형에 직접적으로 30 문항 중 10 문항이 출제된다. (‘가’형은 간접출제)

Ⅰ. 집합과 명제(구 중학교 수학, 고등수학)
Ⅱ. 함수(구 고등수학)
Ⅲ. 수열(구 수학Ⅰ)
Ⅳ. 지수와 로그(구 수학Ⅰ)

이과생의 경우 간접 출제 범위이지만, 문과생의 경우 직접 출제 범위이므로 소홀히 하면 안 된다. 특히 집합과 명제는 참·거짓을 논하는 합답형 문제의 출제 가능성이 매우 높기 때문에, 이전 교과 과정에서 충공깽으로 등장하던 행렬의 4점짜리 공포를 이 단원에서 몸소 느낄 수도 있다.
1학년 1학기때 배웠던 그것과는 차원이 다른 수포자의 양산지이다. 개인차가 있겠지만 문과 학생들에게는 '나형' 출제범위과목들 중에서 가장 난이도가 높은 과목일 수도 있다.

3.1.1 Ⅰ. 집합과 명제(구 중학교 수학, 고등수학)

• 집합

원래는 수학의 가장 기초적인 부분이라고 여겨져, 항상 중학교와 고등학교 수학의 첫 단원이었으나 수학 교과 과정이 바뀌면서 고1 역사상 네 번째 단원으로 밀리게 되었다. 이에 관해, 수학에서 가장 기본인 집합을 첫 번째로 배우지 않는다는 것에 대해서 비판이 많다. 예를 들어, 부등식의 영역 이후에 집합을 배우는 경우는 이 자체가 벌써 집합의 센스를 차용했다고 할 수 있다. 이같이, 어느 곳에서도 집합은 기본으로 깔려있기 때문에 먼저 배워야 하는데 이것을 뒤로 뺐다는 것이 주된 이유다.
새로운 용어들이 많이 나온다. 집합의 연산 부분을 벤 다이어그램으로 풀면 직관적으로 이해할 수 있다. 그러나 벤 다이어그램을 항상 완벽하게 그릴 수는 없으므로, 연산 법칙으로 전개하는 방법도 익혀둬야 한다. 집합 단원은 2015년 고등학교 2학년 3월 모의고사에서도 가장 간접적으로 많이 등장했다. 실제로 이전 교육과정과 다르게 노골적으로, 전체 문제 1/3 정도의 주요 설명 방식을 집합에서 차용했다.

• 명제

사실상 2017 문과 수능에서 헬게이트가 열리게 될 단원. 앞서 언급했듯이 이전 선배들이 치를 떨던 행렬의 합답형 문항의 대체재가 될 가능성이 무지 높다. 특히, 뒤에 나오는 충분 조건, 필요 조건, 필요충분조건의 개념을 이해하지 못한다면 점수는 안드로메다로 날아간다. 상당수의 학생들이 수학인지 아닌지도 모를 이 명제 단원을 제대로 이해하지 못해, 이해를 위해 따로 기초 집합론이나 언어 논리를 공부할 정도다. 즉, 우리는 국어를 잘해야 한다. 하지만 명제 단원은 대학 진학 후에도 PSAT(행시 1차 시험)이나 로스쿨 선발시험 등에 필요한 논리학(정확히 말하면 형식논리학, 기호논리학)을 배우기 위한 기초로서 중요하다.

그리고 수능에서는 미적분1이나 확률과 통계에서 끌어다가 명제를 낼 수도 있다. (확률은 그리 높진 않겠지만.) 조심하자.

• 부등식의 증명

집합과 명제를 통해 절대부등식을 증명한다. 코시-슈바르츠 단원은 시험에서 다크호스로 군림할 가능성이 크니 응용 문제도 제대로 파악한다. 기하-산술 평균은 이후에도 최솟값 문제에 주구장창 쓰니 꼭 익혀둘 것.

여기까진 약간 수월하다. 집합과 명제는 어느 정도 수학적 감각만 있으면 조금 수월하고, 부등식의 증명도 유형을 파악하면 많이 어렵지 않다. 명제가? 어떤 상황이든 문제로 만드는 마법의 단원이?

3.1.2 Ⅱ. 함수(구 고등수학)

• 함수의 뜻

여러 가지 함수의 이론에 대해서 배운다. 2013년부터 중학교 1학년에서 다루지 않던 정의역, 공역, 치역을 이 단원에서 다루게 되었다. 많은 학생들이 이런 게 있었는지 놀란다. 얼핏 보기에는 중학교 때 함수를 처음 다루면서 나온 내용과 비슷해 보이나, 여기서는 중학교 내용을 바탕으로 합성함수, 역함수 등이 새로 나온다. 합성함수는 합성의 순서에 주의할 것. 역함수는 일대일 대응인 함수에 대해서만 존재함을 기억하고, 역함수를 구할 때는 x와 y를 먼저 바꾸든 먼저 식을 x에 대해 풀고서 x와 y를 바꾸든 상관없으니 편한 대로 하자. 이과생들은 미적분Ⅱ에서 다시 합성함수와 역함수의 미분을 만나게 될텐데, 그 때 가서 고전하지 말고 여기서 잘하자.

• 유리함수와 무리함수

무리함수는 역함수와 엮인 문제로 나오는 것이 다반사인데, 무리함수의 정의역을 잘 살펴서 역함수를 구해야 한다. 반대로 정의역이 주어진 이차함수의 역함수를 구할 때도 마찬가지이다. 유리식과 무리식을 익힌 뒤에 유리함수와 무리함수를 배우게 된다. 이는 중학교 수학과 수학Ⅰ에서 배웠던 이차함수의 그래프 말고도 새로운 그래프의 함수를 다룬다는 의미에서 학생들에게 생소하게 다가올 지도 모르는데, 결국은 정의를 잘 이해하면 모든 게 해결된다. 특히 유리함수는 중학교 1학년 때 배운 반비례 그래프의 연장선이라고 보면 된다.

3.1.3 Ⅲ. 수열(구 수학Ⅰ)

수학 ll의 메인 스테이지
여전히 수학II가 어려운 이유
문과와 이과 모두의 적
모든 수포자 양산의 근원지, 수열 그리고 로그...

함수와 연관지어 설명하자면, 수열은 함수의 일종으로써 정의역이 자연수의 집합에서만 정의되는 경우를 말한다. 수의 규칙성을 판단하여 이산적인 추론력을 기를 수 있다. 이전 교육 과정에 비해 점화식, 조화수열, 군수열, 계차수열 등의 내용이 빠졌다. 쎈에서 군수열과 조화수열을 다루는데, 내신에서만 나오니까 걱정하지 말자. 근데 요새 수시비중이 늘어서... 썅
이전에 비해 내용이 많이 빠졌지만, 그래도 중요한 단원으로 이 부분이 약하면 고2 첫학기에 올라가서 배우는 미적분Ⅰ의 수열의 극한 파트에서 정줄을 놓을 가능성이 높으니 소홀히 하면 안된다.

또한, 문과의 경우 개수세기 유형이 빠지게 되면서(지수로그함수가 빠졌으므로), 그 대체제왜 그런 것만 대체제를 찾니로 수열 노가다가 지목되고 있다. 주의해야 할 것이다.

점화식의 경우에도 삼각함수의 배각과 반각 공식처럼 교과서 상에 꼼수로 튀어나왔으나, 일부 교과서만 그렇고 대부분의 교과서에서는 대입을 통해 규칙 찾기 같은 간단한 경우를 제외하면 나오지 않는다. 안 그래도 2009 개정 교육과정의 목표가 학습량 경감인데 만약 보기 제시 등을 통해 간접적으로 출제한다고 하면 평가원이 엄청난 욕을 먹을 것은 뻔하다. 거기다 교육과정 해설서에도 점화식을 이용한 일반항 추론하기는 학습하지 않는다라고 나와있다. 즉, 일부 고등학교의 내신 문제를 제외하면 수능에서 절대로 나올리는 없다.
계차수열도 마찬가지로 수능에서 나오지 않지만, 군수열문제나 수열의 심화문제, 그리고 미적분1 수열의극한,급수 단원에서 쓰면 편하게 문제를 풀 수 있으므로 계차수열은 기억하고 있자. 그렇다고 계차수열에 집중해서 문제풀이를 하는것은 좋지않다.

등차, 등비수열 및 급수의 응용문제는 확률과 마찬가지로 응용력이 중요한 단원이다. 상대적으로 개념이나 지식적 측면은 많이 필요하지 않으나, 특히 귀납적 사고력이 중요하기 때문에 어떤 학문을 하더라도 필요한 경험적 추론능력을 길러준다. 혹자는 수열을 고등학교 수학의 꽃 중 하나라고 하기도 한다. 다른 하나는 미적분. 그리고 젤 가시가 난 꽃은 조합론

3.1.4 Ⅳ. 지수와 로그(구 수학Ⅰ)

수학 ll의 끝판왕 이 단원을 끝내면 왜 수학 2에서 수포자가 줄줄이 나오는 지 알 수 있을거다 이과는 미적분2에서 개수세기나 미적분 등과 합체하여 진화한 모습으로 다시 대면한다 그런데 2009년 개정판부터는 그래프가 빠져서 위엄이 줄었다

• 지수와 로그

지수 법칙, 로그의 성질 등 대수에서 아주 기초적인 부분을 배운다. 실수에서의 지수 법칙은 항상 중요하니 입에 불이 붙도록 외운다. 실수 지수에서 밑은 항상 양수이다. 왜, 밑이 음수이면 안되냐는 질문을 하게 될텐데, 여기서 밑이 음수인 경우는 '정수'범위의 지수까지는 지수 법칙을 적용할 수 있지만 유리수 범위부터는 적용할 수 없다는 한계에 이른다. 따라서 지수 법칙을 실수 지수로 확장하려면 밑>0 이라는 조건이 필요하다. 이에 따라 로그도 정의도 중요해지게 되는데 여기서도 밑과 진수 조건에 유의한다. 로그도 밑>0이니 당연지사 진수>0이 되겠다. (단, 밑≠1이다.) 밑은 항상 1이 아니어야 하는 이유는 1의 n제곱은 항상 1이기 때문이다. 그래서 이의 경우는 제외한다. 또, 예전에는 무리식에서 다루던 이중 근호 파트를 여기에서 배운다. 이과생은 자연상수 e와 자연로그 ln을 배우기 위한 미적분의 기초 중의 기초가 된다.

• 상용로그

일단 이전과 달리 지수함수와 로그함수가 미적분Ⅱ로 따로 빠지고, 엄청난 변별력과 노가다를 자랑하던 지표와 가수가 삭제된다. 이는 지표와 가수라는 개념이 전산의 발달로 더 이상 쓸모가 없어졌기 때문이며, 복잡한 계산만을 요구하기에 사고력을 측정하는 수학 영역에서 쓸 일이 없다는 이유 때문이다. 일부 시중 참고서에서 지표와 가수라는 말을 각각 정수 부분과 소수 부분이라는 용어로 말만 바꿔서 나온 경우가 있는데 신승범 등 여러 강사들은 "지표, 가수 문제는 교육과정에서 삭제되었으므로 많이 풀어볼 이유가 없다"고 홍보하고 있다. 특히 2015년 고2 교육청 학력평가에서도 상용로그의 정수, 소수 부분(옛 지표와 가수)에 관련된 문제는 한 문제도 출제되지 않았다. 거기다 정수 부분과 소수 부분이라는 말은 개정 교육과정의 정식으로 제시된 용어도 아니다! 그렇기 때문에 굳이 예전 기출문제를 일일히 풀어볼 필요는 없다는 것이다. 물론 수능이 아닌 내신 시험의 경우 학교에 따라 변별력 확보를 위해 내는 경우도 있을 수 있다. 알려주지도 않고 문제내는 쓰레기같은 내신시험...

3.2 대학수학능력시험 수학 영역

추가 및 수능 관련 서술 분리 바람.

3.3 목차 및 단원 설명 (2007 개정 교육 과정)

2009학년도에 고등학교를 입학한 학생부터 2013학년도에 고등학교를 입학한 학생까지만 적용되는 교과 과정. 2016학년도 대학수학능력시험을 마지막으로 수학 B형에 30 문항 중 7~8 문항이 직접적으로 출제된다.

대한민국 고등학교 수학 교과서(~2013년)
	수능간접출제범위	수능직접출제범위
A형	고등수학	수학Ⅰ	미적분과 통계 기본
B형			수학Ⅱ	적분과 통계	기하와 벡터

Ⅰ. 방정식과 부등식
Ⅱ. 삼각함수
Ⅲ. 함수의 극한과 연속
Ⅳ. 미분법

고등학교 2학년에 자연계열 진학자가 배우는 과목이다. 이과의 꽃인 수학 B형에서도 '미분'을 이해하기 위한 과목이라고 보면 된다. 옛날 교육 과정에서는 적분, 공도·벡(공간 도형과 공간 벡터)이 포함되었으나 각각 적분과 통계와 기하와 벡터로 이설 되었다. 문과에 비해 전국 퍼센트가 많이 낮아도 같은 대학을 갈 수 있는 원인. 그만큼 수능에서 수학 Ⅱ 이후의 교과목은 어렵게 나오고, 잘하는 사람도 많다. 이과생도 못하는 사람은 A형으로 가기 때문에 응시자도 10만명대 정도로 적다. 비율은 수학 B형 15만, 수학 A형 55만 정도인데 원칙 주의자들은 문과 55만명, 이과 15만명으로 보기도 한다. 사탐/과탐으로 분류하는게 아니다. 참고로 수능에서는 고1 수학과 연계돼서 모르면 틀리거나 시간 걸리는 부분이 자주 나오곤 한다. 이과고 상위권을 목표로 한다면 고1 수학도 좀 제대로 알 필요가 있다. 예컨대 역함수, 코사인 법칙, 부정방정식... 수시의 경우, 논술, 심층면접 등에서 본 단원의 내용들에 대한 증명문제가 나오는 편이다. 보통 미분 쪽에서 많이 나오는 편이다. 물론 본격적으로 해야 할 만큼 깊게 나오는 경우는 없고, 안 나오는 부분은 거의 안 나오니 알아서 공부할 것.

• 방정식과 부등식

수학 Ⅱ에서 가장 쉬운 부분이다. 혹시 이 부분이 이상하게 약하다면, 방정식과 부등식의 문제 푸는 과정에 차이를 알고 있나 스스로 점검해 보자. 그 둘은 풀이 공식이 비슷나나 풀이 방법은 확연히 달라 제대로 안해두면 헷갈릴 수도 있다.
이 부분에서 저 위의 방법도 아니다 하면, 거의 99% 언어영역이 딸려서 그런 경우가 대부분이다. 문제를 이해 못해서 틀리면 상당히 억울한 부분. 무연근을 정말 조심해야 한다. 다른 단원과 연관된 문제의 경우 문제 풀거 다 풀었는데 무연근의 존재를 실수로 까먹고 푸는 경우가 다반사. 무연근(無緣根, 방정식의 해처럼 보이지만, 실제로는 해가 아닌 것.)을 찾는 것 부터 시작한다. 분모가 0이 되면 안 된다는 당연한 전제를 깔고, 양변을 통분하거나 약분하는 것이 핵심이다. 더 나아가 무리방정식 부분에서 무연근은 주로 [math]{f(x)}=g(x)[/math] 꼴로 정리한 후에 [math]g(x) \geq 0[/math]임을 이용해 찾는다. [math]\sqrt{f(x)}=g(x)[/math] 꼴로 정리한 후 양변을 제곱한 후 다시 정리해서 근을 찾은 후 앞에서 찾은 범위를 벗어나는 무연근을 제외하면 된다.(물론 근의 개수가 몇개 안되고 계산이 간단한 경우 근을 모두 원래 식에 대입해서 무연근을 찾아도 된다.) 삼차부등식과 사차부등식에서는 주로 조립제법(인수정리)으로 인수분해한 후, 그래프(부호만 구별할 수 있으면 된다.)를 작도하여 해가 되는 범위를 찾아야 한다. 조립제법을 다시 공부할 것 마지막으로 분수부등식에서는 문자가 2개가 된다. 보통 간단하게 정리가 가능하며, 이후 그래프에서 해가 되는 영역을 찾는 문제가 주류. 각 영역에서 아무 점이나 찍어서 넣어보면 되며, 그래프의 경계 부분 포함/미포함 여부, 무연근 찾기가 항상 함정으로 나온다. 2012학년도 수능 12번(3점)이 대표적인 예시. 간혹 2013학년도 9월 23번 소금물 문제처럼 실생활 문제가 나와 많은 학생들을 당황하게 할 때도 있다. 여담으로 2009 개정 교육과정 부터는 삭제되고 대학교 과정으로 이동한다.

• 삼각함수

삼각함수의 덧셈정리에서는 두 각도를 더한 각도의 삼각함수 값을 계산하는 공식, 서로 다른 [math]\sin[/math]함수와 [math]\cos[/math]함수를 합성하는 방법, 여기에서 파생되는 각종 아스트랄한 삼각함수 공식을 배운다. 곱을 합/차로 바꾸는 공식, 합/차를 곱으로 바꾸는 공식은 처음 배울 때 짜증나게 헷갈리고, 특수각의 삼각함수값을 머릿속으로 계산하다 보면 실수도 자주 난다. 그래도 일단 공식만 제대로 익히면 별거없다. 근데 이거 어렵게 나오면 수2에서 가장 어렵다. 까짓거 기억력 딸리면 직접 유도하면 되지 뭐(삼각함수의 덧셈정리라도 기억난다면, 유도하는 것도 할 만은 하다.) 여기서 나오는 모든 공식을 제대로 외우고 있지 못하면 앞으로 나오는 삼각함수의 극한, 미분법, 적분과 통계의 적분법에서 개고생하게 된다... 참고로 사인이나 코사인, 탄젠트의 배각, 반각, 합차공식은 모두 삼각함수의 덧셈정리로 증명 될수 있으니 덧셈정리만 기억난다면 매우 쉽게 유도가 가능하다. 회전변환을 안다면 그냥 행렬로 유도해도 된다. 근데 합차공식은 좀 삼각방정식은 '아낰ㅋㅋㅋ 삼각함수만 알면 끝임 ㅋㅋ'라고 하고 문제 풀다간 정신줄이 안드로메다로 갈 경우가 있다. 보통은 [math]\sin[/math]이나 [math]\cos[/math]만으로 나는 쉬운 문제도 있지만, [math]\sin[/math]이나 [math]\cos[/math]의 제곱이나 [math]\tan[/math]의 연속이 나오는 극악의 난이도를 자랑하는 문제도 있다.어차피 이과수학은 인정사정 없다 게다가 뭐 합을 곱으로 바꾸는 공식, 곱을 합으로 바꾸는 공식, 반각 공식, [math]n[/math]배 공식 등 수십 개의 공식을 다 외워야지 겨우 답이 나오는 방정식. 특히 배각 공식을 모르거나 몇 사분면이냐에 따라 부호가 달라지는 것을 모르면 그냥 끝장나는 형태가 많이 나온다. 특히 답은 다 맞았는데 부호가 틀려 몇 점 짜리를 그냥 깎아먹는 경우가 많다. 삼각부등식은 삼각방정식에서 떨어져 나왔다고 할 수 있을 정도로 비슷하다. 걍 등호대신 부등호 나오는 꼴. 근데 삼각방정식보다 어렵다. 특히 이, 삼차부등식+삼각함수 꼴이나 [math]\sin{x}+\sin{3x}+\sin{5x}\gt0[/math] 이런 배각 형태가 많이 나와 억수로 어렵다. 이것도 삼각방정식과 마찬가지로 공식 못 외우면 파탄나는 꼴.

• 함수의 극한과 연속

이 부분도 쉬운 부분이다. 유형보단 개념이 중요한 부분이다. 수학 Ⅰ에 나왔던 극한 개념을 함수에 적용하는 부분으로 "좌극한 우극한 값이 같으면 극한값 존재라고 부르고, 좌극한 우극한에 해당 지점 함수값까지 같으면 연속한다"라고 부른다. 2009,2013 수능엔 제법 난이도 있게 출제된 적이 있으니 너무 소홀히 했다간 망하는 수가 있다. 수열의 극한과 살짝 다르고, 연속을 위한 준비과정. 함수의 극한의 정의는 다양한 형태로 외워두도록 한다. 함수의 극한을 이용해서 뻥 뚫린 부분을 메꾸는 문제도 볼 수 있다. 또한, 합성함수를 이용한 극한값과 연속성 검증, 함수의 극한과 도형과의 통합형 문제로 4점짜리 고난도 문제도 나온다. 여기에서 무리수 [math]e[/math]와 자연로그 [math]\ln[/math]을 처음 배운다. [math]e[/math]를 이용해서 이과생들은 또 하나의 문과 놀리기를 시전할 수 있게 된다. '이의 제곱이 몇이냐?'라고 물은 뒤 "[math]4[/math]"라고 대답하면 페이크다 이 병신들아를 외치면서 놀려먹는 등... 경상도 지역은 [math]e[/math]와 [math]2[/math]의 성조가 달라 못써먹는다. 이어 함수의 연속에서는 함수의 이어짐에 대한 정의를 하는 파트. '중간값의 정리'와 '최대·최소의 정리'라는 사소해 보이지만 심오한 정리와도 관계가 있다. 고등학교 과정에서는 사소하지만 대학 가면 정의부터 크게 피토할 파트.

• 미분법

함수의 극한개념을 바탕으로 다양한 함수의 미분법을 익힌다. 문과의 경우 다항함수의 미분법만 있지만 여기서는 역시 초월함수의 미분까지 다룬다. 역시 별거없지만 계산과정에서 수식이 쓸데없이 복잡해지는 경우가 많다. 가장 쓸만한 내용이라면 이계도함수를 활용한 함수의 개형파악 및 극대/극소/변곡점 구하기. 이전까지는 손도 못 대던 함수의 그래프를 대충이나마 쓱싹 그려 볼 수 있다. 고등학생에게 미분을 활용하는 방법이란 결국 그래프 그리는 것이다.(대학교 수학이나 물리에서는 물론 그 이상...) 처음에는 미분계수와 도함수의 정의를 익히는데, 이 둘의 차이를 정확히 짚고 넘어가자. 특히 평균변화율 → 미분계수 → 도함수로 이어지는 내용은 함수의 연속에서도, 미분계수의 정의 2가지는 바로 쓸 수 있도록 외워두도록 한다. 연속이 함수가 이어진다는 내용이라면, 미분 가능성은 함수의 그래프가 부드럽게 굽어 있다는 내용이다. 여러 가지 함수의 미분법 파트에서는 미적분과 통계 기본과 달리 좀 더 이과용 미분에 들어간다고 보면 된다. 분수함수의 미분법(몫의 미분법), 합성함수의 미분법, 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법, 음함수의 미분법, 역함수의 미분법, 삼각함수의 미분법, 지수함수와 로그함수의 미분법을 배운다. 삼각함수단원 뺨때리게 외울 공식이 많다. 그리고 이걸 안 외우면 문제를 절대 풀 수 없다. 그렇지만, 큰 핵심은 분수함수의 미분, 합성함수의 미분, 삼각함수/지수함수/로그함수의 미분이다. 나머지는 까먹어도 이건 기억하자. 특히 합성함수의 미분은 중요하다. 최종적으로 도함수의 활용에 대해 배우는데, 여기서는 미분을 응용하여 접선구하기, 평균값의 정리와 롤의 정리를 이용한 근의 판별, 식을 세운 뒤 증가와 감소, 극대/극소, 변곡점 등을 이용해서 최대/최소 구하기, 변화율 구하기등이 문제로 나온다. 이를 통해 미분 관련 몇 가지 내용을 증명할 수 있는데, 상위권(또는 최상위권?)을 노린다면 해 보는 것도 좋다.

3.3.1 더, 더, 더 옛날의 수학Ⅱ (7차 과정)

7차 초기 과정에는 미적분과 통계 기본에서의 미적분, 방정식과 부등식, 기하와 벡터의 '이차곡선'과 '공간도형과 공간좌표', '벡터'로 구성돼 있었다. 이전과 비교했을 때 2007 개정 교육 과정에서는 선택 과목이 었던 미분과 적분의 심화 '삼각함수'가 추가되고, 미분과 적분의 '여러가지 함수의 미분'이 에 추가되어 기존의 '다항 함수의 미분'과 함께 '미분법'이라는 단원에서 배운다. 덕분에 용량이 마땅치 못해 7차의 수학 Ⅱ에 있던 다항함수의 적분이 빠지고 대신 적분과 통계 교과에서 '여러가지 함수의 적분'과 함께 '적분법'이라는 단원에서 배우게 되었다. 다시말해 다항함수 초월함수를 막론하고 미분은 한방에, 적분도 한방에 배운다는 것인데, 이로 인해 미분과 적분을 한 교과서에 넣지 못하고 문/이과의 커리큘럼에 따른 교과서 구성이 이원화되었으며 적분과 통계 교과서는 시작부터 적분을 배우는 비범한 구성이 되었다.그래서 다들 어이없어했다. 물론 적분과 통계, 기하와 벡터는 전국연합학력평가/수능 모의평가 등의 출제 진도에서도 3학년 때 배우는 과목으로 간주하기 때문에(실제로는 2학년 때 다 끝내긴 하지만...) 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 모두 배운 후 건드리는 것이 맞다. 기하와 벡터의 경우는 그냥 병행이 가능할런지도 모르지만 적분과 통계는 확률/통계 파트를 먼저 건드리는 것이 아니고서(그런데 연속확률변수에서 적분의 개념이 등장한다!) 수학Ⅱ를 끝내고 들어가야 한다.