수열

數列, Sequence

1 개요

자연수 집합을 정의역으로 갖는 함수. 쉽게 말하자면, 수를 늘어놓고 그것에 순번을 붙이는 것이다. 늘어놓는 규칙은 있어도 되고 없어도 된다. 다만 교육과정에서는 주로 규칙적으로 나열된 수열들을 다룬다. 만약 수열의 길이가 유한한 경우 유한수열이라고 하며([math]\left\lt1, 6, 3, 9\right\gt[/math], [math]\left\lt3, 4, 7\right\gt[/math] 등), 수열의 길이가 무한한 경우에는 무한수열이라고 한다([math]\left\lt1, 2, 3, 4,\ldots\right\gt[/math], [math]\left\lt1, 3, 5, 7,\ldots\right\gt[/math] 등).

수열에서 각각의 숫자를 '항'이라 하며(예를 들어 [math]1[/math], [math]3[/math], [math]5[/math], [math]7[/math], …), 나열된 항들의 규칙성을 첫번째 항 [math]a_{0}[/math](또는 [math]a_{1}[/math])과 [math]n[/math] ([math]n=1, 2, 3, \ldots[/math]) 등으로 표현한 식을 '일반항'이라 한다. 일반항을 이용하여 수열을 계속 나열하지 않고도 특정 번째 항의 숫자를 구할 수 있다. 예로 든 수열(홀수)의 일반항은 [math]a_n=a_0+2n-2=2n-1[/math] 이다.

1.1 등차수열 (Arithmetic Sequence)

등차수열은 인접한 항의 차가 일정한 수열이다. 쉽게 '숫자와 그 옆에 있는 숫자의 차이가 동일한 숫자들을 나열한 것'이라고도 설명해도 무방하다. 그게 공차의 개념이기 때문. 예를 들어([math]1, 4, 7, 10, \ldots[/math]), ([math]3, 8, 13, 18, \ldots[/math]) 등이 등차수열이다. 이 때 인접한 항의 차를 공차#s-1라고 한다. ([math]1, 4, 7, 10,\ldots[/math])을 예로 들어보면, 첫째항은 1이고 공차가 3인 등차수열이다.

등차수열의 일반항 [math]a_n[/math]은 첫째항을 [math]a[/math], 공차를 [math]d[/math]라고 하면 [math]a_n=a+\left(n-1\right)d[/math]로 나타낼 수 있다. 여기서 [math]n[/math]째항을 [math]n-1[/math]로 표시하는 이유는 첫째항은 공차에 의해 더해지거나 빼지지 않으므로 [math]n-1[/math]로 표시한다. 등차수열의 일반항을 쉽게 구하는 방법은 공차 d와 [math]n[/math]째항을 곱한 것을 쓴 다음, [math]n[/math]에다 자연수 [math]k[/math]를 넣어서 [math]k[/math]째항과 수를 맞춰서 완성시키면 된다. 일반적으로 [math]n[/math]째항에 [math]1[/math]을 비교하는 것이 가장 쉽다. 즉 식으로 나타내면 [math]a_n=dn+\left(a-d\right)[/math]가 된다.

일반적으로 등차수열의 연속적인 항 [math]\left(1, 5, 9\right)[/math]라는 수가 있다고 하면, 이걸 [math]a+\left(n-1\right)d[/math] 꼴로 고치면 [math]\left(1, 1+4, 1+2\times 4\right)[/math] 가 된다. 여기서 양 끝의 값을 더하면 [math]10[/math], 가운데의 항은 [math]5[/math]다. 여기서의 양 끝 항이랑 가운데의 항과 연관점은 가운데의 항을 두 번 곱한 값은 양 끝 항의 값이랑 같다는 것이다. 따라서, 등차수열의 연속적인 항 [math]\left(a, b, c\right)[/math]에서 양 끝 값을 더한 [math]a+c[/math]는 가운데 항의 두 배인 [math]2b[/math]와 같다. 따라서 [math]2b=a+c[/math]이며, [math]2[/math]로 나눈다면 [math]b=\frac{a+c}{2}[/math]로 표현할 수 있다. 이는 두 수를 놓고 평균을 구하는 것과 비슷한 개념이다.[1] 여기서 가운데 항 [math]b[/math]는 등차중항이라고 한다.

등차수열의 합의 공식은 수열을 쫙 나열해서 그 사이를 더하기를 썼던 것을 한 번 쓰고, 썼던 것을 거꾸로 쓰고 이 둘을 더하면 등차수열의 합의 공식으로 정리할 수 있다. 이것은 가우스가 어렸을 때 [math]1[/math]부터 [math]100[/math]까지의 합을 순식간에 구할 때 사용한 방법이다. 등차수열 [math]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/math]에서 이 수열을 원소나열법으로 나열하면 [math]\left\{a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+\left(n-1\right)d\right\}[/math]가 된다. 이 수들을 제n항까지 합친 [math]S_n[/math]의 값을 나타내면 (계산이 귀찮으므로 [math]a_n=l[/math]로 가정한다.)

[math]S_n=\left(a+0\right)+\left(a+d\right)+\left(a+2d\right)+...+\left(l-0\right)[/math]이다. 이것을 거꾸로 쓰면
[math]S_n=\left(l+0\right)+\left(l-d\right)+\left(l-2d\right)+...+\left(a+0\right)[/math]인데 위의 두 놈을 더하면

[math]\left(a+l\right)[/math]라는 수는 [math]n[/math]개가 나와서 [math]2S_n=n\left(a+l\right)[/math]가 나온다. 같은 애를 두 번 더했으므로 [math]2[/math]로 나누면 등차수열의 합은 [math]S_n=\frac{n\left(a+l\right)}{2}[/math]로 나타낼 수 있다. 그리고 [math]a_n=l[/math]을 사용하면 또 [math]S_n=\frac{n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)}{2}[/math]로도 표현할 수 있다.

1.2 등비수열 (Geometric Sequence)

등비수열은 인접한 항의 비가 일정한 수열이다. [math]\left\lt3, 6, 12, 24,\ldots\right\gt[/math], [math]\left\lt2, 6, 18, 54, \ldots\right\gt[/math] 등이 등비수열이다. 이 때 인접한 항의 비를 공비라고 한다. 역시 [math]\left\lt3, 6, 12, 24\ldots\right\gt[/math]을 예로 들어보면, 첫번째 항은 [math]3[/math]이고 공비가 [math]2[/math]인 등비수열이다.

등비수열의 일반항 [math]a_n[/math]은 첫째항을 [math]a[/math], 공비를 [math]r[/math]이라 하면 [math]a_n=ar^{n-1}[/math]로 나타낼 수 있다. 이것도 역시 공비를 [math]n-1[/math]승으로 곱하는데 첫째항은 공비를 전혀 곱하지 않아서 그렇다. 등비수열의 일반항 꼴은 [math]2\cdot3^{n-1}[/math], [math]2^n\cdot3^{n-1}[/math] 등이 있다. 앞서 말한 수열의 첫째항과 공비는 각각 [math]\left(2,3\right)[/math], [math]\left(2,6\right)[/math]이다.

등차수열에서도 연속적인 항 [math]3[/math]개 가운데에 항을 등차중항이라 하는데, 등비수열에서도 이러한 관계가 있다. 등차수열을 양 끝 항을 더하고 [math]2[/math]로 나누는 반면, 등비수열에서는 이런 게 통하지 않는다. 자, [math]\left(1, 4, 16\right)[/math]을 예로 들어보자. 자 이 세 개의 항을 [math]4^n[/math]꼴로 표현하면 [math]\left\{4^0, 4^1, 4^2\right\}[/math]가 된다. 가운데 항이랑 양 끝 항과의 연관점을 보면 양 끝 값인 [math]4^0[/math], [math]4^2[/math]를 곱하면 [math]4^2[/math]이 되는데, 이는 가운데 항을 제곱하면 같은 수가 된다. 따라서 등비수열의 연속적인 항 [math]\left(a, b, c\right)[/math]에서 양 끝 값을 곱한 [math]ac[/math]는 [math]b[/math]를 제곱한 값과 같다. 그래서 이걸 식으로 나타내면 [math]b^2=ac[/math]이고, 다른 형식으로는 [math]b=\sqrt{ac}[/math]로 표현할 수 있다.[2] 이때, b는 등비중항이라고 한다.

등차수열에서는 수열의 합을 거꾸로 더해서 공통을 삭제하여 간소화하는 반면, 등비수열에서는 그런 것이 통하지 않는데, 등비수열의 합 [math]S_n[/math]을 구할 때는 등비수열의 합에서 등비수열의 합에 [math]r[/math]을 곱한 것을 빼서 공통인 부분을 소거하여 간소화한다.

[math]S_n=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n-1}+0[/math] 여기서 [math]r[/math]을 곱한 것을 또 쓰면
[math]rS_n=0+ar+ar^2+ar^3+ar^4+...+ar^n[/math] 여기서 위 두 값을 빼면

[math]ar[/math]부터 [math]ar^{n-1}[/math]까지의 값들이 한방에 지워지므로 [math]S_n-rS_n=a-ar^n[/math]이다.
여기서 [math]S_n[/math]를 묶으면 [math]\left(1-r\right)S_n=a-ar^n[/math]인데, 여기서 [math]\left(1-r\right), \, \left(r \neq 1\right)[/math]을 나누면, [math]S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}[/math]이 된다.
만약 [math]r=1[/math]이면 첫 항을 n번 더한 것과 같으므로 [math]S_n=an[/math]이 된다. 등비수열의 합을 증명할 때 연산 순서가 반대여도 등비수열의 합을 표현하는 데는 문제가 없으므로 [math]S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}[/math]로도 표현할 수 있다. 이것도 공비의 부호에 따라서 어떤 걸 써도 상관없으나 부호에 유의한다.

보통 공비가 2 이상인 등비수열의 경우 증가속도가 상당히 빠른 수열이다.

1.3 조화수열 (Harmonic Sequence)

어떤 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이룰 때, 원래 수열을 조화수열이라 부른다. 예시를 하나 들어보자면 [math]\left\lt1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9},\ldots\right\gt[/math]이 있다. 이 수열의 각 항의 역수를 취한 뒤 다시 나열하면 [math]\left\lt1, 3, 5, 7, 9,\ldots \right\gt[/math]이 되고 이 수열은 등차수열이므로 원래 수열은 조화수열이 된다. 조화수열에서도 연속적인 3항의 중간을 조화중항이라 부른다. 수열 [math]\left\lta, b, c\right\gt[/math]가 조화수열의 연속적인 세 항이라면 [math]b=\frac{2ac}{a+c}[/math]인 관계가 성립한다[3].

1.4 계차수열

어떤 수열이 있을 때 그 수열의 연속적인 두 항의 차를 계차라 부르고, 그 계차들을 나열한 것이 계차수열이다. [math]\left\lt1, 3, 7, 13, 21\ldots\right\gt[/math]을 예로 들어보면, 인접한 항의 차가 [math]\left\lt2, 4, 6, 8\ldots\right\gt[/math]로 계차수열이 등차수열이 된다. 계차수열을 이용해 일반항 구하는 방법은 다음과 같다. 원래 수열을 [math]\left\{a_n\right\}[/math], 계차수열을 [math]\left\{b_n\right\}[/math]라 하자. 그럼 [math]a_1 = a_1, a_2 = a_1+b_1, a_3 = a_2+b_2 = a_1+b_1+b_2, \cdots[/math]이 되고 이 과정을 반복하면 [math]\displaystyle a_n = a_1+\left(b_1+b_2+\cdots +b_{n-1}\right) = a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k[/math]이다.

1.5 군수열

어떤 수열이 전체로 보았을때는 규칙성을 찾을 수 없으나, 특정한 규칙에 의해 인접한 수열을 묶었을 때 규칙이 발생하면 군수열이라 한다. 예를들어, [math]\left\lt 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5 \ldots\right\gt[/math] 와 같은 수열이 대표적인 군수열이 된다.

2 관련 · 하위 항목

  1. ↑ 산술평균과 같은 의미이다. 영어로는 둘다 Arithmetic Mean, 줄여서 AM이라 한다.
  2. ↑ 기하평균과 같은 의미이다. Geometric Mean 또는 GM. 산술기하 부등식을 AM-GM이라고 하는 경우도 있음.
  3. ↑ 조화평균과 같은 의미이다.
  4. ↑ 2014학년도 고1 입학생부터 적용되는 교육과정으로 고등학교 수학 II에 등장하는 대표적인 수열로는 등차수열, 등비수열이 있다. 그리고 수열의 합 시그마#s-1를 배울 때 자연수의 거듭제곱의 합도 덤으로 배운다. 여기서 배우는 수학적 귀납법은 중요하다. 나중에 극한에 가게되고 곧 미분으로 연결된다.
  5. ↑ 현행 교육과정과 달리 과거에는 수열을 수학 Ⅰ(고2 과정)에서 배웠다. 현재 고1 때 배우는 수열보다 그 중요성이 매우 컸으며 수학 '나'형뿐만 아니라 '가'형에서도 직접 출제 범위에 포함되어 있었다.