해석적 정수론

Analytic Number Theory
미적분학보다 적분기호를 많이 볼 수 있는 곳

1 개요

정수론을 연구하는 데 미적분학, 복소해석학, 푸리에해석 등을 이용하는 정수론의 한 분야. 처음 보는 사람은 도대체 어떻게 하는 건지 신기할 수도 있지만, 막상 하다보면 그냥 계산의 천국이라고 느껴진다.(하지만 확실히 신기한 결과들이 많이 나오기는 한다)

존 더비셔의 리만 가설등의 책을 통해서 꽤나 많이 알려져 있는데, 그에 비해 연구하기도 어렵고 연구하는 사람도 적은 편. 그럴 수밖에 없는 게 주로 연구할 분야가 제타함수, 골드바흐 추측, 소수 사이의 간격 등 난제 관련된 경우가 대부분이라(...) 문제 하나 잘 풀면 필즈상 직행이라는게 위안이랄까.

2 역사

해석적 정수론은 대 수학자 오일러가 바젤 문제[1]를 풀면서 시작되었다고 볼 수 있다[2]. 오일러는 바젤 문제를 일반화한 제타 함수라는 것을 만들었는데, 이는 후에 또다른 위대한 수학자 리만이 <주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여 > 라는 논문에서 다루면서 수학계의 화두가 되었다. 리만은 제타 함수와 소수세기 함수(주어진 수보다 작은 소수의 개수를 표현하는 함수) 의 관계를 증명하고, 그의 스승인 가우스가 만든 추측인 소수 추측(소수 정리가 증명되기 이전)[3][4] 에 있어서, 이를 증명하는 방법을 제시하는 동시에 갯수를 훨씬 정확하게(사실상 같게) 구하는 방법을 제시했다. 특히 두번째로 직결되는것이 바로 수학계 최고의 떡밥인 리만 가설.

처음에는 소수 정리로 가는 길 정도로만 여겨졌던 리만 가설은 차츰 그 자체로 주목을 받게 되었는데, 왜냐하면 리만 가설을 증명하면 수많은 좋은 결과가 따라나온다는 것이 밝혀졌기 때문이다. 많은 수학자들이 리만 가설의 증명을 발견하려 노력했지만.. 아무튼, 복소해석과 정수론을 놀라울만큼 관계지은 리만의 논문 이후로, 리만가설에 관련된 것들 뿐 아니라 대다수의 정수론 문제들이 복소해석적으로 접근 가능함을 알게 되었고, 따라서 그러한 방법의 연구와 함께 해석적 정수론이 황금기를 맞이하게 되었다.

해석적 정수론은 대개 복소해석을 쓰지만, 복소수를 다루지 않고 증명하는 것은 '초등적 증명'이라 한다. 물론 해석학적 접근을 하기 때문에 이 또한 해석적 정수론이다. 이렇게 복소수를 다루지 않고는 소수 정리를 증명할 수 없을 것이라는 의견이 많았는데, 아틀레 셀버그와 폴 에르되시가 그 증명을 독립적으로 발견하였다.[5]

해석적 정수론의 또다른 난제인 골드바흐 추측도 많이 연구되었는데, 대표적으로 러시아 수학자 Vinogradov의 "충분히 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타내어진다"[6]와 중국 수학자 첸징룬의 "충분히 큰 모든 짝수는 소수와 유사소수의 합으로 나타내어진다" 가 있다. 참고로 첸징룬은 저 정리를 1966년 증명했는데 중국의 문화대혁명 때문에 1973년 발표했다고 한다. 흠좀무

최근에는 쌍둥이 소수 추측이 많이 연구되고 있는데, 중국 수학자 Yitang Zhang의 "차가 7천만[7]보다 작은 소수의 쌍은 무한히 많다" 의 증명 덕분에 테렌스 타오를 비롯한 많은 해석적 정수론 학자들이 소수 사이 간격에 대한 연구에 매진하고 있다고 한다.

3 특징

대수적 정수론보다는 진입장벽이 낮다. 대수학을 꽤나 많이 공부해야 공부할 수 있는 대수적 정수론과는 달리 미적분학과 기초적인 복소함수론 내용을 알면 입문용 책 하나는 어렵지 않게 볼 수 있다.

하지만 이것이 절대 해석적 정수론이 쉽다는 뜻이 아니다!!!

오히려 해석적 정수론은 어려운 분야에 속한다. 갈수록 적용되는 복소함수론이 어려워지며 갈수록 대수학은 물론이고 조합론, 심지어는 대수기하학(!!!)까지 알아야 공부할 수 있다. 뿐만 아니라 연구를 하려 해도 난제들이 앞을 가로막는다(...). 진입장벽이 비교적 낮을 뿐 어려운 분야다.

4 세부 분야

  • 승법적 정수론: Multiplicative Number Theory

곱셈 위에서 정수의 여러 성질들을 연구한다. 예컨대 정수가 커질 수록 소인수들이 평균 몇개인지, 특정 승법적 수론함수의 합이 어떻게 행동하는지 등등. 애초에 소수라는 개념 자체가 승법(곱셈)의 정의에서 유도되는 것이니, 리만이 제시한 방법들과 리만 가설로부터, 아래에 나올 가법적 정수론보다 일차적으로는 결과들이 직결된다고 볼 수 있겠다.

  • 가법적 정수론: Additive Number Theory

어떤 꼴의 자연수를 어떤 꼴의 자연수들의 합으로 나타낼 수 있는지, 방법은 몇 가지인지 등을 연구하는 것. 골드바흐 추측, 웨어링의 문제[8] 등이 있다. 사실 이상하게도, 생각해 보면 우리는 쉬워보이는 덧셈보다는 적어도 그보다는 약간 어려워 보이는 곱셈에 관해 더 잘 알고 있음을 깨닫는다. 위에서 설명했듯, 소수라는 것이 곱셈에 의한 정의이니만큼 그 위에 덧셈을 추가한 문제가 어려워지는 것은 당연지사라 볼 수도 있겠다.

위의 두 정수론 분야는 사실 뚜렷히 나뉘어지는 것은 아니다. 특정 승법 함수의 합도 어떤면에서는 가법이며, 웨어링의 문제 같은 경우도 승법적 성질을 갖고 있다. 굳이 문제가 승법적인가 가법적인가로 불리는 것은 그 문제의 대표적 성질에 따른 것이지, 가법적이라 불리는 문제가 승법적 접근으로 풀릴 수도 있고, 승법적이라 불리는 문제가 가법적으로 풀릴수도 있다. 그 두가지 성질에 관해 동시에 많은 것을 알려주는 것이 바로 리만 가설이다.

  • Sieve Theory

어떤 집합에서 특별한 조건을 만족하는 수들을 골라내는 방법을 연구하는 것. 한국어로 직역하면 '체론'이지만 대수학의 '체론'(Field Theory)과 헷갈려서인지 '체론'으로 번역하는 경우는 없는 듯 하다.
이는 위에서 말한 초등적 방법으로 많이 연구하는 분야이며, 정의를 보면 알겠지만 굉장히 광범위하다. 실제로 정수론의 많은 정리들을 Sieve의 형식으로 쓸 수 있으니.

5 관련 전공서적

  • Introduction to Analytic Number Theory, Tom Apostol

springer에서 발매한 Undergraduate Texts in Mathematics 시리즈 중 하나. 기초정수론과 미적분학, 기초 복소함수론을 알면 볼 수 있으며, 해석적 정수론의 기초를 쌓는 데 굉장히 좋다.

  • Multiplicative Number Theory, Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan

Cambridge Studies in Advanced Mathematics 시리즈 중 하나. 보통 Apostol을 본 후 보는 책. 위에 설명한 승법적 정수론에 대해 다루는 책이며, 무려 500개 이상의 연습문제를 담았다! 연습문제가 없는 수학 전공서적도 허다한 것을 생각하면 엄청난 문제 숫자이다.

  • Multiplicative Number Theory, H. Davenport

springer의 Graduate Texts in Mathematics 시리즈 중 하나. 꽤나 얇으며 연습문제가 아예 없다!

  • Analytic Number Theory, Iwaniec & Kowalski

해석적 정수론의 정수. 영원한 Reference. AMS의 Mathscinet의 정보로 증명한다.
인용횟수, 저자, 책 이름, 출판년도
988 Silverman, Joseph H. The arithmetic of elliptic curves. 1986.
748 Titchmarsh, E. C. The theory of the Riemann zeta-function.1986.
700 Lidl, Rudolf; Niederreiter, 1997.
550 Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel Analytic number theory. 2004.
오후 8:14 2014-05-11에 추출한 정보다.
MSC 11의 정보이며, 2000년대 출간된 주제에 수많은 80~90년대 책들을 제치고 4위를 차지했다.

굉장히 어려운 해석적 정수론 서적. 거의 논문모음집 수준이며 연습문제 따윈 없다. 이 책을 완벽하게 읽고 이해할 수 있다면 이제 이 분야의 논문을 읽고 쓸 수준이라 생각해도 된다.

이 내용만 보면 저 세권만 읽으면 해석적 정수론 논문을 쓸수 있다 하니 쉽네? 라 생각할 수도 있을 것 같은데, 절대 그렇지 않다! 그 말은 루딘삼종세트만 보면 해석학 논문을 읽고 쓸 수 있으므로 해석학은 쉽다(...)라는 것과 마찬가지 수준. (사실 그런데 루딘삼종세트만 보고는 택도 없다) 일단 저 책들을 읽는 데 필요한 지식을 익히고 책을 읽는 것만 해도 얼마나 걸릴지 모른다...

  • Additive Number Theory 1,2, Melvyn B. Nathanson

springer의 Graduate Texts in Mathematics 시리즈 중 하나. 1권 The Classical Bases, 2권 Inverse Problems and Geometry of Sumsets로 이루어져 있으며, 가법적 정수론을 공부하기에 매우 좋다. 단점이라면 계산이 더럽고(...) 연습문제가 없는 것과 다를 바가 없다는 것 정도?

6 대표적인 수학자들

매우 많지만, 관련된 교양 서적을 보면 나오는 인물 혹은 타 분야 사람들에게도 어느정도 알려져 있는 수학자들 위주로 써보면 다음과 같다.

7 문제와 정리들

  1. ↑ 모든 자연수의 제곱의 역수의 합을 구하여라
  2. ↑ 이 오일러라는 수학자가 진짜 대단한 게, 정수론의 다른 한 갈래인 대수적 정수론도 오일러의 페르마의 마지막 정리의 n=3인 경우를 해결한 것이 시발점이 됐다. 현대 정수론이 모두 오일러에 근간을 두고 있는 셈.
  3. ↑ x보다 작은 소수의 개수는 x/ln x에 수렴한다
  4. ↑ 여기서 또다시 가우스의 천재성을 볼수 있는게, 가우스는 소수를 구하는 작업을 모두 손으로 했다! 그것도 10만 단위의 수를!
  5. ↑ 이것에 관련된 재미있는 일화가 있다. 셀버그는 공식 하나를 발견하고 이를 이용해서 소수정리를 초등적으로 증명하려 했는데, 셀버그가 그 공식을 발표하는 것을 본 에르되시가 "그 공식을 이용해서 소수 정리의 초등적인 증명을 공동연구하자" 고 했지만, 영광을 혼자 차지하고 싶었던 셀버그는 "이걸로 안 될 것 같다"고 하면서 거절했다. 하지만 에르되시가 먼저 증명을 완성했다! 그래도 셀버그도 후에 증명을 완성했고, 먼저 아이디어를 떠올린 셀버그의 공로를 인정해 둘 모두 소수 정리의 초등적인 증명의 발견자로 인정받고 있다.
  6. ↑ 현재는 Harald Helffgott 에 의해 모든 홀수가 세 소수의 합으로 나타내어진다는 것이 증명됐다.
  7. ↑ Zhang의 방법에 더 연구하여, 많은 수학자들에 의해 현재는 246까지 줄여졌다. Generalized Elliot-Halberstam conjecture을 가정하면 6까지 줄여졌다.
  8. ↑ 자연수를 몇 개의 거듭제곱수들의 합으로 나타낼 수 있을까