정수론

Number Theory [1]
整數論

1 개요

왜 정수론을 연구하냐구요? 정수론이 거기에 있기 때문입니다.

정수론 공부하는데 이유가 어딨어! 그냥하는거지!

수학 그 자체를 위한 수학이자 수학의 꽃[2]

정수론, 또는 수론은 정수의 성질을 연구하는 학문이다.

옛 수학에선 기하학, 해석학, 대수학과 함께 어엿한 학문의 파트 중 하나였다고 한다. 흔히 수학으로 산술, 대수, 기하, 해석으로 분류하는데 몇 세기 전만 해도 산술과 동의어였다. 독자적인 이론도 풍부했으며, 그 때문에 한국수학올림피아드같은 곳에선 아직도 독립된 분야로 다루고 있다.

잉여과목인 듯하지만 사실 맞다[3] 사용하는 곳이 많다. 암호학의 기본 이론도 이 정수론을 기본으로 하고 있으며,[4] 정보와 관련된 이론들도 상당부분 정수론을 기본으로 한다. 컴퓨터가 발달되면서 사용빈도가 늘었다. 그 이유라 하면, 컴퓨터에서 정수는 정확한 값을 가질 수 있기 때문이다. 실수형 타입의 경우에는 round off error[5]때문에 오차가 생기고, 이 오차는 계산을 거듭할수록 걷잡을 수 없이 커지기 때문이다.

정수론의 현실세계에서의 쓰임새는 다른 수학 분야에 비해 적지만, 아이러니하게도 정수론의 문제를 해결하기 위해 모든 분야들을 총동원하는 것을 볼 있다. 문제를 해결하기 위해서 온갖 상상력을 동원하다보니 최전방의 수학 분야들이 정수론 문제들을 고려하여 이끌어 진 것이 꽤 되고, 이 과정 속에서 필즈상을 타는 경우도 제법 있다. 그런 이유에서 동떨어진듯한 분야에서의 놀라운 정리가 사실 역사적으로는 정수론의 문제를 해결하려는 도중에 발견된 것들도 많이 있다.

정수론에서 가장 큰 떡밥은 1990년대에 앤드류 와일즈에 의해 풀린 페르마의 마지막 정리다. 문제는 너무 쉬워서 누구나 이해할 수 있지만, 풀이는 전문가만이 이해할 수 있다. 이 정리의 내용은, "정수 [math]n\ge 3[/math]에 대해, [math]x^{n} +y^{n} =z^{n}[/math] 을 만족하는 자명하지 않은 해[6]는 존재하지 않는다" 이다.

이 분야에서 아직까지 풀리지 않은 문제는 골드바흐의 추측과 리만 가설 등이 있다. 사실은 유명한 난제가 제일 많이 존재하는 수학 세부분야이다. 문제를 풀어내기 위해서는 분야가 다른 수학교수라면 이해를 못 할 정도의 고난이도의 방법론이 사용되지만, 문제 그자체는 중학생도 이해할 수 있을 정도로 쉬운 경우가 많기 때문에 유명해진 문제들이 많다. 다른 분야는 적절한 지식이 없으면 아예 문제 그자체를 이해를 못한다. 심지어 수학의 제왕이라 불리는 가우스조차 누구나 쉽게 페르마의 정리와 같은 문제를 만들어 낼 수 있을 것이라고 했을 정도.[7]

정수체계는 수학의 가장 중심적인 영역이기도 한데, 인간이 연구하는 수학적인 관념들이 시작점 중 하나이기 때문. 이와 관련하여 수학자 크로네커의 경우, 정수[8]는 신의 선물, 나머지 모든것은 그것을 갖고 만든 인간의 작품이라는 명언을 남기기도 하였다.

2 소수모에

정수론에서 가장 중심적으로 연구하는 것은 소수이다. 당장 생각나는 특징들은 모두 소수와 관련된 정리나 추측인 것이 많다. 예로, 4이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다라든가, 6이상의 모든 자연수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다라든가.[9]

[math]\left(p-1\right)! = -1 \left(\text{mod} p\right)[/math][10] 와 [math]x^{p-1} = 1 \left(\text{mod} p\right)[/math][11]같은 간단한 식도 소수일 때에 성립하는 식들이다.

정수론에서 이렇게 소수에 열광하는 이유는 바로 소수들에 대해서 알면 바로 정수 전체에 대해서 알 수 있기 때문이다. 대표적인 예로 Hasse-Minkowski principle이 있는데, 모든 [math]p[/math]진 체와 실수 집합에 대해서 유리계수 이차형식이 solution을 가지면 유리수 위에서 solution을 가진다. 그러니까 모든 소수들 (실수 집합도 하나의 소수라고 보자.)에 대해서 그 solution을 가지고 있다면 바로 유리수에 대한 존재성으로 생각할 수 있다.

사실 이 p진체라는 것이 대수적 정수론에서 매우 중요한 개념인데, 이는 실수와 다른 방향으로의 유리수의 완비화로서 Hensel's lemma를 통해 정수의 국소적 성질이 옮겨질 수 있고, 위상적 성질도 꽤나 간단하며 이를 이용해서 adele이라는 개념을 정의하여 소수의 곱도 위상적으로 나타낼 수 있다. 이의 응용으로 p진 양자역학이라는 것도 있다.

3 현대의 연구

현대 정수론은 대수(代數)적인 방법이나 해석적인 방법(주로 복소해석학)론을 사용한다. 혹자는 전자의 경우를 대수적 정수론, 후자를 해석적 정수론 이라고 나누어 부르기도 한다. 사실 분야를 나눈다기보다, 정수론을 연구하는 사람들이 각자 관심을 가지는 연구분야/즐겨 사용하는 방법론에 따라 구분하는 것이 보통. 사실 정수론 문제를 해결하기 위해 모든 현대 수학의 도구를 이용한다고 보면 된다. 어쩌면 집합론으로 리만 가설을 해결할수도 있다. 정수론 문제를 해결하기 위해 조화해석학과 대수기하학을 쓰기도 한다. 모든 현대수학이 다 그렇겠지만, 어차피 구분하기 힘들 정도로 이 둘이 상당히 통합된 분야도 많다. 그리고 대수적 정수론이든 해석적 정수론이든 대수기하학을 알아야 제대로 공부할 수 있다 카더라. 아님 말고

4 공부

호기심이든 진지한 수학쪽 진로설정이든 입덕이던 간에 정수론에 입문코자 한다면 우선 한국수학올림피아드 대비교재를 보는 게 가장 좋다. 올림피아드니까 어렵지 않겠느냐고 할 수 있는데 본디 머리좋은 중학생 보라고 만든 교재이기 때문에 수학 내신이 2등급 정도 되는 고등학생이나 중상위권 이과 대학생이면 어렵지 않게 읽을 수 있다. 유명한 건 <한국수학올림피아드의 바이블>이나 티투의 <104 정수론>, 마두식의 김광현의 <정수론>이 괜찮다. 다른 올림피아드 시리즈도 그렇지만 한 번 제대로 공부해 놓으면 고등학교 수학은 물론이고 수학과 중반까지도 도움이 되는 어마무시한 약발을 자랑한다.

약간 깊이 들어가고 싶으면 대학 교재가 좋은데, <친절한 수론 길라잡이>라는 책은 교수 4명이 번역한 주제에 드립의 냄새가 풀풀(...) 굳이 대학에서 사용하지 않아도 혼자 읽는데에 적절한 내용으로 이루어져 있다. 박승안, 김응태의 <정수론>은 엄청난 고전이고 많은 대학에서 교재로 사용했던 책이다.

공부하는 데 있어 가장 핵심적인 것은

이다. 이걸 바탕으로 심화지식을 쌓으면 개론수준의 정수론은 섭렵할 수 있다. 이 때 증명이 기하학 수준으로 엄청 중요하다. 정수론은 기초 부분에서는 증명이 심하게 자질구레하고 당연한 것 아닌가 싶은 것까지 증명하는데 그렇다고 손놓고 구경만 하다 보면 갈수록 터져나오는 정리들을 감당할 수 없을 정도가 된다. 정수론 문제가 정리에 대입만 하면 풀리는 것도 아니고 정리를 증명하는 데 필요한 과정을 중간까지 잘라먹고 문제를 풀 일도 있으니까 정리마다 증명을 꼭 해보고 넘어가야 한다. 취미로 볼 거라면 상관없겠지만 수학을 취미로 하거나 수학자를 꿈으로 두는 주제에 증명을 귀찮다고 잘라먹으면 수학에 대한 자신의 깜냥을 의심해 볼 필요가 있다.

5 하위 항목

  1. ↑ 줄여서 NT라고 쓰기도 한다.
  2. ↑ 가우스는 "수학은 학문(Wissenschaft)의 여왕, 정수론은 수학의 여왕"이라고 했는데, 정수론이 가우스의 주 연구분야인 걸 감안한다면 자화자찬적 평가일 수도 있다. 가우스가 수학의 황제인 이유.
  3. ↑ 정수론은 잉여계에 대해 깊게 연구한다(...) 정수론을 공부하다 보면 이차 잉여 등 나머지와 연관지어서 잉여라는 말을 상당히 많이 볼 수 있다.
  4. ↑ 예를 들어, 현재까지 쌍둥이 소수(두 수의 차가 2인 소수의 쌍)의 무한성이 증명되지 않았는데, 증명 여부에 따라 쌍둥이 소수가 암호로서 가지는 능력이 결정될 수 있다. 유한하다면 컴퓨터로 해결할 수 있지만 무한하다면 얘기가 달라지기 때문이다.
  5. ↑ 반올림 오류의 한 예로, 루트 2는 1.41421356237…로 계속되는 무리수인데, 물리법칙에 따라 만들어진(시공간적인 제한이 있는) 컴퓨터로는 무한한 길이를 가진 루트 2의 정확한 값을 저장할 수 없다. 그리고 대신 저장한 근사값인 1.41421356237를 제곱하면 2가 나오지 않고 1.9999999999가 나온다. 이런 오차는 정보를 정확히 저장해야 하는 컴퓨터의 입장에서는 사용하기 곤란하다. 이걸 해결하려면 소프트웨어적으로 "루트 2"라고 저장하고 제곱을 비롯한 계산을 할 때 따로 처리를 해주는 골룸한 짓거리를 해야 한다.
  6. ↑ [math]xyz\ne0[/math]인 해
  7. ↑ 사실 가우스가 페르마의 마지막 정리를 비하(?)하면서 내뱉은 말이다. 누군가가 가우스에게 페르마의 마지막 정리를 해결해보라고 권유했는데, 가우스는 매우 불쾌해하면서 '나도 그런 문제는 얼마든지 만들 수 있다.'라고 했다.사실, 해봤는데 잘 안 풀리니 열 받아서 한 말이라고 카더라, 사실 말 한 건 아니고 편지 답장이었다는 것이 함정
  8. ↑ 사실 자연수이다. 그거나 저거나... 하기 쉽지만, 사실 둘은 다르다. 자연수가 더 근본적인 건, 크로네커의 말로도 알 수 있는 사실.
  9. ↑ 전자가 성립하면 후자도 성립하지만 역은 성립하지 않는다. 그리고 후자는 2013년에 증명되었다.
  10. ↑ 윌슨의 정리
  11. ↑ 페르마의 소정리.
  12. ↑ 사실 별로 안 쓴다..
  13. ↑ 오일러의 정리, 페르마의 소정리, 윌슨의 정리, 중국인의 나머지 정리