목차
1 개요
[math]\displaystyle 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}[/math]
뭐라구요??
스리니바사 라마누잔이 만들어낸 수식이다. 1+2+3+4+...은 당연히 무한대로 발산하므로 수가 아니다. 그런데, 이 비범한 천재 라마누잔은 그걸 하나의 수라고 가정하고 식을 전개한 뒤, 그것이 -1/12이 된다고 직관적으로 계산해 냈다.
사실 실제로 Ramanujan Summation이라고 부르는 것은 이렇게 간단한 것은 아닌데, 이미 외계어 수준이라 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.
2 분석
2.1 1-2+3-4+... = ?
[math] 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - \cdots = ? [/math]
라마누잔은 이를 직관적으로 1/4이라고 계산했다. 이를 증명(?)하면 아래와 같다.
[math]|x|\lt1[/math] 에 대해서 무한등비급수 [math]\displaystyle 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\frac{1}{1+x}.[/math] 이 성립한다.
미분하면 [math]\displaystyle-1+2x-3x^2+4x^3-\cdots=\frac{-1}{(1+x)^2}[/math]
양변에 -1을 곱하면 [math]\displaystyle1-2x+3x^2-4x^3+\cdots=\frac{1}{(1+x)^2}[/math] 이 된다.
이 식은 애초에 [math]|x|\lt1[/math] 에서만 성립한다. 그런데, [math]1^-[/math] 에서의 극한을 생각하보면 다음과 같은 식이 성립한다.
[math]\displaystyle1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.[/math]
[math]\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots) = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} [/math]
[math]\displaystyle1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac{1}{4}[/math]
이 식은 [math]|x|\lt1[/math] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 x=1에서는 정의되진 않는다. [math]1^+[/math] 에서의 극한값이 존재하지 않으므로 1에서의 극한값은 정의되지 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 1/4이다.
2.2 1+2+3+4+... = ?
다시 라마누잔의 메모로 돌아가서
[math] c = 1 + 2 + 3 + 4 + ... [/math] 으로 두고, 양변에 4를 곱한 뒤
[math] 4c =\quad 4 + \quad 8 + ... [/math] 이를 한칸씩 엇갈려서 두 식을 빼면
[math] -3c = 1 - 2 + 3 - 4 + ... [/math] 이 된다.
앞에서 [math]\displaystyle1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}[/math] 이라고 계산했으니, [math]\displaystyle -3c = \frac{1}{4}[/math].
즉 [math]\displaystyle1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}[/math] 이 된다.
일반적인 덧셈과 구분하기 위해서 [math] (\Re) [/math] 이란 표기를 추가하여
[math]\displaystyle1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12} (\Re) [/math] 로 표기한다.
2.3 1-1+1-1+... = ?
3.1에서 언급한 무한등비급수에서
[math]\displaystyle 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\frac{1}{1+x}.[/math]
위 식에서 x=1로 가는 극한을 구해 보면,
[math]\displaystyle1-1+1-1+\cdots=\frac{1}{(1+1)}=\frac{1}{2}[/math] 이 된다.
앞의 것과 마찬가지로 [math]|x|\lt1[/math] 에서 정의되므로, 원칙적으로는 정의되진 않는다. 하지만, 정의된다고 가정하면 그 값은 1/2이다.
3 영향
이 기묘한 식은 수학적으로 별로 중요하지도 않고 이상한 숫자놀음밖에 되지 않는다고 생각할지도 모르겠지만 나중에 수학계에 어마어마한 영향을 준다.
이는 '제타 함수'로 이어지고, '리만 제타 함수'로 넘어가서, 밀레니엄 문제인 리만 가설로 이어지기 때문이다. 마치 [math] x^{2}=-1 [/math]의 해를 구하기 위해 억지춘양으로 정의했던 [math] i = j = \sqrt{-1} [/math]가 이후 오일러의 등식등으로 연결되면서 수체계 자체가 복소수까지 정의된 것 처럼
3.1 리만 가설
리만 가설의 바로 그 베른하르트 리만은 리만 제타 함수라는 것을 만드는데 아래와 같다.
[math]\displaystyle\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}[/math]
이 식은 원래 실수 중에서 s>1일 때만 수렴하는 식이다. 리만은 이를 복소수로 확장하여 s의 실수부가 1보다 크기만 하면 수렴한다고 증명하였다. 그리고, 그렇지 않은 s에 대해서도 연구하기 시작한다.
그리고, s=-1을 대입하면 바로 위의 그 식이 나오며, 리만 제타 함수에서도 이 값은 -1/12이 나온다(단, 이렇게 쓰기 위해서는 여러가지 수학적 장치가 필요하다.).
그리고, 방정식 [math]\displaystyle\zeta(s) =0[/math] 에 대해서 -2, -4, -6, -8 ... 등의 해가 있음(자명한 근)을 증명하였고, 자명하지 않은 근이 존재함도 밝혔는데, '자명하지 않은 근의 실수부는 모두 1/2 이다.'가 그 유명한 리만 가설이다.