범함수

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Functional.

1 개요

함수들의 집합을 정의역으로 갖는 함수이다.

일반적인 함수는 숫자를 입력받아 숫자가 결과물로 나온다. 예를 들어 $$f(x) = x^2 - 4x + 5$$ 라는 함수가 있다면 $$x = 3$$ 을 입력하였을 때 $$f(x) = 2$$ 라는 결과가 나온다.

여기에서 숫자 대신 함수를 입력받는 함수를 생각할 수 있는데, 이를 특별히 범함수(functional) 라고 이름붙인 것이다. 예를 들어 $$\displaystyle J \left[y \left( x \right) \right] = \int_0^1 \left( y^2 - 4xy + 5x^2 \right) dx$$ 로 정의하면 $$y \left( x \right)$$ 가 어떤 함수냐에 따라 $$J$$ 의 값이 바뀌게 될 것이다. $$\displaystyle y \left( x \right) = 2x$$ 라면 $$\displaystyle J \left[y \left( x \right) \right] = \int_0^1 \left( 4x^2 - 8x^2 + 5x^2 \right) dx ={ {1} \over{3} }$$ 이 된다.

자주 사용되는 범함수들은 위와 같은 형태의 적분 내부에 $$y(x)$$ 만이 아니라 그 일차미분 $$y^\prime \left( x \right)$$ 가 들어가는 형태, 즉 $$\displaystyle J = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ f \left\{ y \left( x \right) , y^\prime \left( x \right) ; x \right\} } dx$$ 와 같은 형태가 많다.

2 예시

흔히 알려져 있는 미분, 부정적분, 정적분이 모두 범함수이다. 수능 모의고사에 자주 나오는 "어떤 함수의 불연속점의 개수" 또한 범함수이다.

$$(x_1,y_1)$$ 이라는 점과 $$(x_2,y_2)$$ 라는 점을 연결하는 미분 가능한 함수 $$y(x)$$ 를 생각해 보자. 이러한 함수들은 무수히 많이 존재할 것이고, 이 함수로 표현되는 곡선의 전체 길이는 (약간의 유도 과정을 거치면) $$J = \int_{x_1}^{x_2} {\sqrt{1+{y^\prime}^2}} dx$$ 이다.

두 점 사이의 최단경로, 즉 이 곡선의 길이를 최소화시키는 함수가 무엇이냐는 질문의 답이 두 점을 연결한 직선이라는 것은 초등학생도 어렵지 않게 추측할 수 있지만, 그것을 실제로 증명하는 것은 절대로 쉽지 않다. 일반적인 범함수의 최소/최대를 찾는 방법으로 도입된 것이 오일러 방정식이다. 자세한 것은 해당 항목을 참조하기 바란다.

디랙 델타함수를 이용한 적분변환의 경우, 디랙 델타 함수는 통상적인 의미의 함수가 아니므로 적분 또한 적분변환이 아니다. 하지만 함수의 적분변환과 성질이 상당히 비슷한(그래서 물리학에서는 그냥 함수를 곱해서 적분한다고 퉁쳐버리는) 범함수라고 할 수 있다.

3 용도

위에서 예로 든 것과 같이 다양한 수학, 물리학에서의 개념과 최소화 문제가 범함수로 표현이 된다.

높은 레벨의 고전역학에서 사용되는 라그랑지언의 시간적분인 액션이 범함수의 일종이다. 액션을 최소화하는 경로를 찾는 오일러 방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 부른다. 양자장론에서도 그 출발점은 언제나 라그랑지언 밀도의 4차원 적분으로 표현되는 적절한 액션이다.