Functional.
1 개요
함수들의 집합을 정의역으로 갖는 함수이다.
일반적인 함수는 숫자를 입력받아 숫자가 결과물로 나온다. 예를 들어 [math] f(x) = x^2 - 4x + 5 [/math] 라는 함수가 있다면 [math] x = 3 [/math] 을 입력하였을 때 [math] f(x) = 2 [/math] 라는 결과가 나온다.
여기에서 숫자 대신 함수를 입력받는 함수를 생각할 수 있는데, 이를 특별히 범함수(functional) 라고 이름붙인 것이다. 예를 들어 [math]\displaystyle J \left[y \left( x \right) \right] = \int_0^1 \left( y^2 - 4xy + 5x^2 \right) dx [/math] 로 정의하면 [math] y \left( x \right) [/math]가 어떤 함수냐에 따라 [math] J [/math]의 값이 바뀌게 될 것이다. [math]\displaystyle y \left( x \right) = 2x [/math] 라면 [math]\displaystyle J \left[y \left( x \right) \right] = \int_0^1 \left( 4x^2 - 8x^2 + 5x^2 \right) dx ={ {1} \over{3} }[/math] 이 된다.
자주 사용되는 범함수들은 위와 같은 형태의 적분 내부에 [math] y(x) [/math] 만이 아니라 그 일차미분 [math] y^\prime \left( x \right) [/math]가 들어가는 형태, 즉 [math]\displaystyle J = \int_{ x_1 }^{ x_2 }{ f \left\{ y \left( x \right) , y^\prime \left( x \right) ; x \right\} } dx [/math] 와 같은 형태가 많다.
2 예시
흔히 알려져 있는 미분, 부정적분, 정적분이 모두 범함수이다. 수능 모의고사에 자주 나오는 "어떤 함수의 불연속점의 개수" 또한 범함수이다.
[math] (x_1,y_1) [/math] 이라는 점과 [math] (x_2,y_2) [/math] 라는 점을 연결하는 미분 가능한 함수 [math] y(x) [/math] 를 생각해 보자. 이러한 함수들은 무수히 많이 존재할 것이고, 이 함수로 표현되는 곡선의 전체 길이는 (약간의 유도 과정을 거치면) [math] J = \int_{x_1}^{x_2} {\sqrt{1+{y^\prime}^2}} dx [/math] 이다.
두 점 사이의 최단경로, 즉 이 곡선의 길이를 최소화시키는 함수가 무엇이냐는 질문의 답이 두 점을 연결한 직선이라는 것은 초등학생도 어렵지 않게 추측할 수 있지만, 그것을 실제로 증명하는 것은 절대로 쉽지 않다. 일반적인 범함수의 최소/최대를 찾는 방법으로 도입된 것이 오일러 방정식이다. 자세한 것은 해당 항목을 참조하기 바란다.
디랙 델타함수를 이용한 적분변환의 경우, 디랙 델타 함수는 통상적인 의미의 함수가 아니므로[1] 적분 또한 적분변환이 아니다. 하지만 함수의 적분변환과 성질이 상당히 비슷한(그래서 물리학에서는 그냥 함수를 곱해서 적분한다고 퉁쳐버리는) 범함수라고 할 수 있다.
3 용도
위에서 예로 든 것과 같이 다양한 수학, 물리학에서의 개념과 최소화 문제가 범함수로 표현이 된다.
높은 레벨의 고전역학에서 사용되는 라그랑지언의 시간적분인 액션이 범함수의 일종이다. 액션을 최소화하는 경로를 찾는 오일러 방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 부른다. 양자장론에서도 그 출발점은 언제나 라그랑지언 밀도의 4차원 적분으로 표현되는 적절한 액션이다.