1 개요
1738년 과학자 다니엘 베르누이가 정리,발표한 내용으로 유체가 규칙적으로 흐르는 것에 대한 속력, 압력, 높이의 관계에 대한 법칙.
간략하게 말해서 에너지 보존 법칙의 이상유체 버전이라고 생각해도 된다.[1] 이것을 일반적인 유체로 확장한 것이 나비에-스톡스 방정식이다.
2 전제
베르누이의 정리를 적용하기 위해서는 몇 가지 전제가 만족되어야 한다.
- 유체는 비압축성이어야 한다. 압력이 변해도 밀도가 변하지 않아야 한다.[2]
- 유선(Streamline)이 경계층을 통과해서는 안 된다. 단, 비회전성 유동일 경우에는 상관없다.
- 점성력이 존재하지 않아야 한다.
- 시간에 대한 변화가 없어야 한다(정상 상태). [3]
기체의 경우 속도가 낮을 때나 비압축성으로 볼 수 있고, 액체의 경우 속도가 높아지게 되면 공동 현상(cavitation)[4]과 같은 비선형 과정이 발생해 적용이 되지 않는다.
3 정리
[math] p + {1 \over 2} \rho v^2 + \rho gh = \text {constant} [/math]
[math] {p \over \rho} + {v^2 \over 2} +gh = \text {constant} [/math]
유체 내의 한 점에 대해,
- [math] p [/math]는 그 점에서의 압력
- [math] \rho [/math]는 유체의 밀도
- [math] v [/math]는 그 점에서의 유체의 흐름 속도
- [math] h [/math]는 그 점의 기준면에 대한 높이
- [math] g [/math]는 중력 가속도
를 나타낸다. (constant는 일정하다는 뜻)
여기서 [math] q \equiv {1 \over 2}\rho v^2 [/math]를 동압력이라고 정의하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math] q + \rho gh + p = \text{constant} [/math]
4 유도
4.1 연속 방정식
물 호스의 끝을 누르게 되면, 물줄기가 가늘어지고 유속이 빨라진다. 질량 보존의 법칙에 따라, 결과적으로 단위 시간당 흐르는 물의 양은 일정하게 된다. 이것을 식으로 정리하면,
[math] S_1v_1 = S_2v_2 [/math] 또는 [math] {S_2 \over S_1} = {v_1 \over v_2} [/math] ([math] S [/math] : 단면적, [math] v [/math] : 속력)
이고, 이를 연속 방정식이라고 부른다.
4.2 베르누이 방정식
일-에너지 정리에 의해, [math] W=\Delta K + \Delta U [/math] 이다. ([math] W [/math] : 일, [math] K [/math] : 운동 에너지, [math] U [/math] : 위치 에너지, [math] \Delta [/math] : 변화량을 의미.)
일의 정의에서
[math] W=F\Delta x[/math] 이고, ([math] F [/math] : 힘, [math] x [/math] : 위치)
압력의 정의 [math] p = {F \over A} [/math]를 이용하면, ([math] A[/math] : 단면적)
[math] W=pAx=p\Delta V [/math] 가 된다. ([math] V [/math] : 부피)
식을 풀어 쓰면,
[math] W = p_1A_1\Delta x_1 - p_2A_2\Delta x_2 = (p_1 - p_2) \Delta V [/math]
[math] (p_1 - p_2)\Delta V = {1 \over 2}\Delta m(v_2^2-v_1^2) + \Delta mg(h_2 - h_1) [/math] ([math] v [/math] : 속도, [math] h [/math] : 높이, [math] g [/math] : 중력 가속도)
[math] = {1 \over 2}\rho \Delta V(v_2^2-v_1^2) + \rho \Delta Vg(h_2-h_1) [/math]
[math] \Delta V [/math]를 소거하고 정리하면
[math] p_1+ \rho gh_1 + {1 \over 2} \rho v_1^2 = p_2+ \rho gh_2 + {1 \over 2} \rho v_2^2 [/math]
5 설명
일상적인 예로 바람이 많이 부는 날 창문이 살짝 열려 있으면 바람이 쌩쌩 소리를 내며 들어오는 것이 있다. 빨리 달리는 차에 앉아서 창문을 열면 휴지나 비닐봉지들이 정신없이 날라다니며 결국 바깥으로 탈출하는 경우도 여기에 해당되고 바깥의 넓은 공간에서 좁은 창문 통로를 지나면 압력 차이가 생기고 속력이 증가하여 바람이 빨리 들어와서 바람이 쌩쌩 들어오는 것이다. 또 다른 예로 바람이 많이 부는 날 문이 열려 있을 때 문이 저절로 세게 닫히게 되는 것이 있다. 문이 닫히기 시작하면 계속 압력 차이가 심해지고 공기의 속력은 빨라지므로 더욱 더 문이 닫히는 쪽으로 공기가 흐르게 되므로 문의 속력이 빨라지다가 세게 큰 소리를 내며 닫히는 것이다.
하지만 유체역학을 공부하면 모든 경우에서 베르누이의 정리가 성립하는 것은 아니라는 것을 알 수 있다. 베르누이의 정리는 점성이 없는 유체(Inviscid Flow)에서만 성립하며[5], 유체가 비회전성(Irrotational)인 경우가 아니라면 동일한 유선(Streamline) 상에서만 성립하는 정리이다. 한편 압축성(Compressible) 유체의 경우에는 공식이 위의 식과는 약간 달라진다. 다만 항공이나 공기역학 분야에서 다루는 유체(주로 공기)는 대부분 점성이 거의 없다고 가정하므로, 이러한 한계에도 불구하고 베르누이의 정리는 현실에서도 유용하게 사용이 가능하다.
6 이용
- 온돌(구들)
- 유량 측정 장치(유량계)
- 날개 없는 선풍기
- 마그누스 힘 - 쉽게 설명하면 회전하며 날아가는 공이 뜨는 원리. 공의 입장에서 보면 공 주변의 공기가 공의 속력과 같은 속력으로 공을 지나치게 되는데, 이때 공이 회전하고 있기 때문에 회전하는 방향에 나란한 방향으로 속력이 증가하게 되면서 공 위아래에 속도 차로 인한 압력 차가 발생하여 공이 위로 뜨거나 아래로 급격히 떨어지게 된다.[6]
- (항공기의) 날개 - 베르누이 정리와도 어느정도 관련은 있다. 날개 주변을 흐르는 공기는 날개 위는 압력이 커지고 아래는 압력이 낮아지는 경향이 생기며 이탓에 날개 위아래 공기흐름의 속도차이 역시 발생한다. 상세한 내용은 양력참조.
- 카뷰레이터 - 공기의 흐름을 좀 더 유도하고 보다 나은 연료의 기화를 위해 카뷰레이터 내부에 벤츄리 튜브가 설치 되어 있다. 문제는 차에서는 나쁘지 않은 시스템일지 모르지만 카뷰레이터를 아직 사용하는 오래된 경비행기에서는[7] 기화하는 연료와 저기압의 형성으로 인해 대기 중 수분이 얼어 카뷰레이터 내부에 얼음이 생성될 수 있다. 좀 더 위에 있는 스로틀 조절용 버터플라이 벨브에서도 같은 현상이 일어날 수 있어 파일럿들은 이것들에 대해 열심히 훈련받는다.
7 참고
베르누이의 정리- ↑ 이해를 위해서는 에너지 보존이라고 생각해도 무방하나, 엄밀히는 뉴턴의 운동법칙 F=ma의 변형형이라 보는 것이 정확하다 (나비에-스톡스 방정식도 결국은 a= F/m 이고, 일반화된 베르누이 정리의 유도는 나비에-스톡스 방정식에서 출발함을 떠올려보면 이는 자명하다). 하지만, 유도된 형태는 에너지 보존 법칙과 동일한 형태를 갖는데, 이는 비 압축성 유동의 경우 에너지 방정식이 운동량 방정식과 분리(decoupled)되면서, 운동량 방정식의 해는 에너지 방정식의 해를 자연히 만족한다는 사실에서 기인한다 (비 압축성유동의 경우 에너지 방정식은 온도에 관한 방정식과 운동에너지에 관한 방정식으로 나누어 질 수 있고. 여기서 비점성 유동을 가정하면, 운동에너지에 관한 방정식은 운동량 방정식과 속도의 내적과 동치임을 보일 수 있다. 즉 운동량 방정식의 해는 운동에너지 방정식의 자명한 해다). 이는 상당히 중요한 사실인데, 왜냐면 근본적으로 운동량 보존과 에너지 보존은 별개의 법칙이기 때문이다. F=ma를 속도형태로 변형한뒤 중력장에서 적분하면 운동에너지와 위치에너지의 합이 보존됨을 보일 수 있지만, 이것이 에너지 보존법칙 자체의 증명과는 별개인 것과 같은 이치다.
- ↑ 압축성일 경우에는 압력이 밀도의 함수가 되므로, 아래의 식 전체를 밀도로 나눈 후, 압력/밀도 항을 적분형으로 고쳐주면 압축성 유체에 대하여도 정리를 확장할 수 있다.
- ↑ 위의 압축성 조건과 마찬가지로, 비정상 조건을 포함한 형태로도 정리의 확장이 가능하다. 정리를 적용하고자 하는 유선을 따라 유체의 가속을 고려하면 된다. 역시, 결국은 F=ma가 모든걸 설명한다...
- ↑ 액체의 속도가 너무 높아져서 압력이 낮아지고, 그에 따라 액체가 기체로 변해, 액체 내에 기포가 생기는 현상.
- ↑ 역학적 에너지 보존의 법칙이 마찰이 있는 경우에 성립하지 않는 것과 비슷한 이유이다.
- ↑ 엄밀하게 말하면 마그누스 힘은 베르누이의 정리가 아닌 Kutta-Zhukhovsky Lift Theorem에 의해 설명된다. 이는 물체 주변에 Boundary Layer가 생기고, Layer 내부의 현상은 베르누이의 정리로 설명할 수 없기 때문이며, 마그누스 힘의 근원은 회전에 의한 '압력 차'가 아닌 '회전(Circulation)' 그 자체이기 때문이다.
- ↑ 요즘 항공기용 왕복 엔진은 연료 분사식을 쓴다. 대부분 이런경우 injection의 i자가 엔진 이름에 들어간다.