Projective plane. [1]
1 개요
위상수학의 다양체중 하나로 비가향 곡면의 대표적인 예시이고 모든 비가향인 닫힌연결곡면[2]은 이 사영평면들의 연결합으로만 표현된다. 마찬가지로 다른 다양체인 클라인의 병 또한 이 사영평면 두개를 붙여서 만든다.
눈으로 볼 수 없는 곡면이라 만드는 과정이 복잡하다 생각할 수 있는데 기하학적으로 만드는 방법은 의외로 간단하다.
1. 경계가 있는 속이 찬 원판을 준비한다.
2. 원판의 원점을 중심으로 서로 반대편에 있는 두 점을 택한다.
3. 2에서 선택한 두 점을 이어 붙인다.
4. 모든 점에서 2와 3을 반복한다.
저게 쉽다고??? 조금더 쉽게 말하자면 보자기를 쌀때 맞은편을 서로 묶는것을 생각하면 비슷하다.
비슷한 원리로 원판에서만이 아닌 고차원으로 확장하여 또다른 사영 평면을 생각할 수도 있다. 또한 실수가 아닌 복소수에서 특별한 관계를 정의한 복소사영공간 또한 존재한다.
2 시각화
비가향 곡면이고 3차원에서 완전한 모양은 볼수 없지만 대략적으로는 확인이 가능한데, 문제는.. 서로의 모양이 서로 매우 다른 시각화가있다는 점이다. 일단 대표적인 것 두개를 들어보자면.
전개도를 보고 겹침을 허용하여 만든 Cross-capped disk
3차원 공간으로 immersion[3] 사상인 boy's surface.
??? 동일곡면입니다. 이때는 대략 정신이 멍해진다?
다시한번 말하지만 동일한 곡면이다 심지어 원판으로 만든거다. 어떤 마개조를 했길래....
시각화중 boy's surface.에 관한 이야기로는 다비트 힐베르트가 미해결 문제이던 것을 학생들에게 과제로 제시했는데 그에 대한 학생의 해답이라고 한다. 심지어 힐베르트는 immersion이 불가능하다 추측하여 불가능함을 증명해 오라 하였는데 한 학생이 의도와는 반대로 가능함을 증명해 온 것. 미해결 문제를 과제로 내는 교수나, 그걸 풀어오는 학생이나...