사실 질병 이름이다. 걸리면 죽는다. 그리고 작성자는 자기글에 자기가 성지순례중이다
1 개요
Klein Bottle(Klein's Bottle). 위상수학상의 특이입체. 간단히 말하자면 뫼비우스의 띠의 4D 버전. 병나발 클라인 대롱이라고도 한다.
4차원에선 표현 가능하나 3차원에선 표현하지 못한다.
독일의 수학자 펠릭스 클라인(Felix Klein)이 만들었다고 해서 이런 이름이 붙었다. 원래 이름은 클라인의 면을 뜻하는 Kleinsche Fläche였다고 하는데, 영어 번역 과정에서 와전되어 클라인의 병(Kleinsche Flasche)이 되었고, 그것을 독일어권이 받아들였다(...).
클라인 병을 둘로 쪼개면 뫼비우스의 띠 모양이 나타난다. 각 띠의 가장자리가 맞붙은 형태. 뫼비우스의 띠A에서 한 쪽을 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠B로 갈아타고, 뫼비우스의 띠 B에서 또 한 쪽으로 한 바퀴 돌고 다른 쪽으로 나올 때 뫼비우스의 띠A로 갈아타는 식이다.
뫼비우스의 띠와 마찬가지로 겉과 속이 일체화된 도형으로, 3차원상에서는 표현의 한계로 뚫고 들어가는 부분이 생기나 실제로는 그렇지 않다고 한다. 위 그림은 단지 보기쉽게 3차원으로 표현한것일 뿐이다. 여튼 위상수학을 공부하는 수학자라면 지겹게 보게 되는 도형. 2차원 공간의 한계를 3차원 공간에서 해결한 뫼비우스의 띠와 비슷하게, 3차원의 한계를 4차원에서 해결한 초입방체로, 그 구조는 뫼비우스의 띠와 같아 안과 밖이 구분되지 않는다는 점이 특징이다. 따라서 이 병에 물을 담을 수는 없다.
어떻게 만드느냐면, 그냥 튜브 하나 준비해서 튜브 한편 안쪽과 다른편 바깥쪽을 맞붙이면 된다.[1] 하지만 현실에서는 절대로 만들 수 없는데, 이는 우리가 사는 세상이 3D이기 때문인지라, 이렇게 하려면 적어도 튜브에 구멍 하나 정도는 뚫어야 하기 때문.[2] 이 때문에 클라인 병은 입체가 아닌 '초'입체로 분류된다. 그 중에는 비슷하게 모형을 만든 것도 있지만, 이 모형들은 전부 구멍을 뚫은 탓에 안팎이 구분되므로 엄연히 같지는 않다. 현실에서 제대로 만든 모형은 뼈대만 있는 와이어프레임(Wireframe) 모형뿐이다.
3ds max 같은 그래픽 툴을 이용해서 다음과 같은 과정으로 만들 수 있다. 그래픽 툴은 3d인데 어떻게 4d를 만들 수 있는가 의문이 들 수도 있는데, 위의 클라인 병은 3차원 이미지가 아닌 4차원 이미지다. 클라인 병은 3차원으로 볼 시 공중에 덩그러니 떠 있는 원 2개로 보일 뿐 병으로는 보이지 않을 것이다. [3]
 | 1. 속이 빈 원기둥을 준비한다.[4] |
 | 2. 1.을 ㄷ자 모양으로 구부린다. |
 | 3. 2.에서 한쪽 끝을 반대쪽 끝의 벽에 쑤셔넣고 뚫려 있는 곳으로 그 끝을 빼낸다. |
 | 4. 3.에서 삐져나온 부분을 뒤집어서 반대쪽 끝과 연결한다. |
어때요? 참 쉽죠?
한편, 이 도형을 4차원 방향으로 뒤집으면[5] 대략 아래와 같이 전혀 막히거나 겹쳐지는 부분이 없는 형태가 나온다. 쉽게는 그냥 클라인 병이 유령(...)과 같이 실체가 없어서 스스로를 통과할 수 있다고 생각하고 뒤집는다 상상하면 된다. 그럼 고무줄이 두번 꼬인 듯한 모습이 연상될 것 이다. 보통은 그냥 저런 것도 있다는 것만 알면 된다.
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2 클라인의 병이 언급된 사례
네이버 웹툰 쿠베라에서 넌지시 언급되는 위상형태. 그리고 댓글란은 관통하는 모양이 뭐냐며 멘탈붕괴
푸른 강철의 아르페지오에서 안개의 함대가 현대 병기 공격들을 무력화한 비결인 클라인 필드의 원리이기도 하다.
문과생들은 조세희 작가의 연작소설 난장이가 쏘아올린 작은 공에 나오는 챕터 '클라인씨(氏)의 병'에서 언급되는 걸로 알게 되는 경우가 많다. 피해자가 가해자가 되고, 가해자가 피해자가 되는 자본주의의 현실과, 모든 사람이 불평등 없이 살고자 하는 희망을 나타내는 일종의 장치. 주인공 영수는 클라인씨의 병을 보고 깨달음을 얻고 은강그룹 회장의 동생을 살해한다.
매직 더 개더링의 Elkin Bottle은 클라인의 애너그램이며 그림 역시 클라인의 병이다. 카드 그림 카드 특수 능력도 4차원적이다
리비아썬에서는 이 병에 시체들을 숨겨서 옮긴 뒤, 특수한 허브와 소금을 넣은 단지에 넣어서 부활시키는 갈바룬[6]인들이 나온다.
폴아웃: 뉴 베가스의 DLC인 올드 월드 블루스의 씽크탱크의 일원인 클라인 박사의 이름도 여기서 따왔다. 다른 멤버들의 이름도 모두 무한함을 상징하는 단어에서 따왔다는 걸 생각하면 씽크탱크의 속성과도 잘 연결되는 설정.
일본의 추리소설 중에도 여기에서 제목을 따온 '클라인의 항아리(クラインの壺)'라는 작품이 있다. 1993년에 나온 작품으로 VR(가상현실) 게임을 소재로 하고 있으며, 같은 VR 게임을 소재로 한 후대의 작품인 소드 아트 온라인에서는 이 작품의 제목으로부터 이름을 따온 클라인이라는 인물이 등장한다.