절대부등식의 하나로, 코시-슈바르츠 부등식과 함께 중고등학교 때부터 가장 쉽게 접할 수 있는 부등식이다. 교과서에서도 짧게나마 찾아볼 수 있다.
1 평균의 정의
항목 참조
2 산술 평균
Arithmetic Mean
[math]\displaystyle AM=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i=\frac{1}{n}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)[/math]
가장 일반적으로 사람들이 생각하는 평균으로 다 합쳐서 개수만큼 나눠서 얻을 수 있다. 각각의 관찰값 a들의 총합을 n으로 나눈 값이라고 말하기도 한다. 어찌보면 당연한 사실이겠지만 모든 관찰값들에 동일하게 임의의 x값을 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눈 뒤 다시 평균을 내면 평균에도 동일한 값이 계산된 결과가 나온다.
3 기하 평균
Geometric Mean
[math]\displaystyle GM=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}[/math]
숫자들을 모두 곱해서 n 제곱근을 취해서 얻는 평균.
기하 평균은 예를 들어 연간 경제성장률, 물가인상율, 연간 이자율, 감쇠/증폭율, 백분비, 크기 확대 비율 같이 표본들이 비율이나 배수이고 각 표본값이 연속성/연계성이 있어서 표본들을 곱한 값이 의미가 있는 경우에 주로 쓰인다. 예를 들어 한국의 2000 년 부터 2010년까지 평균경제성장률 등.
4 산술·기하 평균 부등식
[math]n[/math]개의 수 [math]a_1,a_2,\cdots,a_n[/math]가 모두 양수라 하자. 그러면,
[math]\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n}[/math]
가 성립한다. 단, 등호는 [math]a_1=a_2=\cdots=a_n[/math]일 때만 성립.
4.1 증명
보통 귀납법을 사용한다. 물론 연역법과 반대되는 그것이 아니고, 엄밀한 수학적 귀납법이다.
보다 더 정확히 말하자면, 흔히 아는 'n=1에서 성립하고, n에서 성립하면 n+1에서 성립한다' 보다 조금 더 복잡하다!
① [math] n=1 [/math]일 때는 당연하고, 자주 이용할 [math] n=2 [/math]일 때를 보자. 이 때 증명하고자 하는 것은
[math]\frac{a_1+a_2}{2}\geq\sqrt{a_1a_2}[/math], 즉 이는 [math]\frac{a_1+a_2}{2}-\sqrt{a_1a_2}=\left(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}\right)^2\geq0[/math]
이므로 성립한다.
② [math]n[/math]일 때 성립하면 [math]2n[/math]일 때 성립함을 보이자. [math]2n[/math]개의 양수를 [math]a_1,a_2,\cdots,a_{2n}[/math]라 하자. 가정에 의해,
[math]m_1=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq g_1=\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n}[/math]
[math]m_2=\frac{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n}}{n}\geq g_2=\left(a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\right)^\frac{1}{n}[/math]
의 두 부등식이 성립한다. 또한, 우리는 [math]n=2[/math]일 때의 산술·기하 평균 부등식을 사용 가능하다.
[math]\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{2n}}{2n}=\frac{m_1+m_2}{2}\geq\frac{g_1+g_2}{2}\geq\left(g_1g_2\right)^\frac{1}{2}=\left(a_1a_2\cdots a_{2n}\right)^\frac{1}{2n}[/math]
따라서, [math]n[/math]일 때 성립하면 [math]2n[/math]일 때도 성립한다.
③ [math]n[/math]일 때 성립하면 [math]n-1[/math]일 때 성립함을 보이자. 임의의 [math]n-1[/math]개의 수 [math]a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}[/math]에 대해, [math]a_n[/math]을 저 [math]n-1[/math]개의 수의 산술평균으로 두자. 그러면 전체 [math]n[/math]개의 수의 산술평균을 계산하면
[math]\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\,\left(=a_n\right)[/math]이 되어, 원래 [math]n-1[/math]개 수의 산술평균과 같은 값임을 알 수 있다. 또한, [math]n-1[/math]개 수의 기하평균을 [math]g[/math]로 두자.
이제 보이고자 하는 것은 [math]a_n\geq g[/math]인데, 가정에 의해 n개의 수에 대해 산술·기하 평균 부등식이 성립하므로
[math]a_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n}={a_n}^{\frac{1}{n}}g^\frac{n-1}{n}[/math]
즉 [math]a_n\geq {a_n}^\frac{1}{n}g^\frac{n-1}{n}[/math]이고, [math]{a_n}^\frac{n-1}{n}\geq g^\frac{n-1}{n}[/math], [math]a_n\geq g[/math]이다.
따라서 [math]n[/math]에서 성립하면 [math]n-1[/math]일 때도 성립한다.
①②③에 의해 모든 자연수 [math]n[/math]에 대해 성립한다. 왜냐하면, ②에 의해 [math]2^m[/math]꼴의 모든 자연수에 대해서 성립하며, ③에 의해 [math]2^m[/math]보다 작은 모든 자연수에 대해서 성립하게 되는데, 모든 자연수는 자신보다 큰 [math]2^m[/math]꼴의 자연수를 당연히 가지기 때문이다.
자연상수를 이용한 증명도 존재한다.
[math] e^{x-1} \ge x [/math]를 이용하는데, 이는 [math] f(x)=e^{x-1}-x [/math]로 놓고 [math] f'(x) [/math]를 통하여 증명 가능하다.
[math]X=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}[/math] 라 하면 다음이 성립한다.
[math] e^{\frac{a_1}{X}-1} \ge \frac{a_1}{X} [/math]
[math] e^{\frac{a_2}{X}-1} \ge \frac{a_2}{X} [/math]
[math] \cdots [/math]
[math] e^{\frac{a_n}{X}-1} \ge \frac{a_n}{X} [/math] 에서 이를 모두 곱하면
[math] e^{\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{X}-n} \ge \frac{a_1}{X} \frac{a_2}{X} \cdots \frac{a_n}{X} [/math]
이때 [math] \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{X}-n=n-n=0 [/math]
따라서 [math] e^0=1 \ge \frac{a_1a_2\cdots a_n}{X^n} [/math]
[math] X^n \ge a_1a_2\cdots a_n [/math]
[math] \therefore \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \ge \left(a_1a_2\cdots a_n\right)^\frac{1}{n} [/math]
5 기타
역사가 오랜 부등식이며, 형태도 간단한 만큼 아주 다양한 형태의 확장이 나왔다. 멱평균부등식/가중치 산술·평균부등식 등이 잘 알려져 있으며 그 하나하나가 올림피아드와 같은 경시대회에서는 반드시 알게 되어 있는 것들이다.
대수적 정수론 분야에서 이름높은 수학자 Kiran Kedlaya는 졸업논문으로 다음과 같은 재미있고 기괴한 절대부등식의 증명을 내놓았다:
[math]\frac{a_1+\left(a_1a_2\right)^{1/2}+\cdots+\left(a_1a_2\cdots a_n\right)^{1/n}}{n}\leq\left(a_1\times\frac{a_1+a_2}{2}\times\cdots\times\frac{a_1a_2\cdots a_n}{n}\right)^\frac{1}{n}[/math]
양변에 산술평균과 기하평균이 혼합되어있다. 증명이 궁금한 사람은 여기로.머리가 터진다!