- 상위 항목: 수학 관련 정보, 부등식, 산술·기하 평균 부등식
1 개요
중학교때 배운 AM-GM을 좀 더 확장시켜 온갖 평균을 다 집어넣은 버전. 수학을 좀 하는 아이들은 AM-GM에 더해 조화평균까지 알고 있는 경우가 많지만 그 뒤의 확장은 모르는 경우가 많다. 자세한 부등식에 들어가기 전에 먼저 몇가지 정의를 설명한다.
[math]n[/math]개의 양의 실수 [math]x_1,x_2,\cdots,x_n[/math]에 대하여,
* 최댓값 (Max): 말 그대로 최댓값 (=[math]\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)[/math])
* 제곱근 멱평균 (RMS: Root-Mean Square)[1]: [math]\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}[/math]
* 산술평균 (AM: Arithmetic Mean): [math]\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}[/math]
* 기하평균 (GM: Geometric Mean): [math]\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}[/math]
* 조화평균 (HM: Harmonic Mean): [math]\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}[/math] (역수들의 산술평균의 역수)
* 최솟값 (Min): 말 그대로 최솟값 (=[math]\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)[/math])
산술, 기하, 조화평균에 대한 자세한 내용은 평균 항목을 참조하자.
2 평균부등식
양의 실수 [math]a,b[/math]에 대하여, [math]\max\left(a,b\right)\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2ab}{a+b}\geq\min\left(a,b\right)[/math]이 성립한다. 즉, MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN이 성립한다. 등호는 [math]a=b[/math]일 때 성립한다.
2.1 증명
- WLOG [math]a\geq b[/math]라 가정한다. 그러면 [math]\max\left(a,b\right)=a=\sqrt{\frac{2a^2}{2}}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}[/math]. 즉, MAX ≥ RMS.
- [math]\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\geq0[/math]. 즉, RMS ≥ AM.
- [math]\frac{a+b}{2}- \sqrt{ab}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\geq0[/math]. 즉, AM ≥ GM.
- [math]\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0[/math]. 즉, GM ≥ HM.
- WLOG [math]a\geq b[/math]라 가정한다. 그러면 [math]\min\left(a,b\right)=b=\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}[/math]. 즉, HM ≥ MIN.
3 평균부등식의 확장
윗 문단에선 문자가 2개일 경우만 설명했지만, 사실은 임의의 [math]n[/math]개의 양의 실수에 대해서도 같은 부등식이 성립한다.
[math]\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\geq\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)[/math].
곧, MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN이 성립한다. 등호는 [math]x_1=x_2=\cdots=x_n[/math]일 때 성립한다.
3.1 증명
1. WLOG [math]x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n[/math]이라 가정한다. 그러면 [math]\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_1=\sqrt{\frac{n{x_1}^2}{n}}\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}[/math]. 곧, MAX ≥ RMS.
2. 코시-슈바르츠 부등식에 의해, [math]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left(1+1+\cdots+1\right)\geq\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2[/math]이다. 양변을 [math]n^2[/math]으로 나눠주고 정리하면, [math]\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}\geq\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2[/math]. 양변에 제곱근을 씌워주면, [math]\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}[/math]. 즉, RMS ≥ AM이 성립한다.
4. AM-GM을 활용한다. [math]\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2\cdots x_n}{{x_k}^n}} }{n}[/math][math]\geq1[/math]이므로, 이를 잘 정리해주면, [math]\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}[/math][math]\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k}}{n}[/math][math]\geq1[/math]이고, 곧, [math]\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}[/math]. 즉, GM ≥ HM이 성립한다.
5. WLOG [math]x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n[/math]이라 가정한다. 그러면 [math]\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_n=\frac{n}{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}[/math]. 즉, HM ≥ MIN이 성립한다.
4 예제
양의 실수 [math]a,b,c[/math]에 대하여, [math]\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9[/math]가 성립한다. AM-HM에 의해, [math]\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}[/math]이 성립하고, 이를 정리해주면 구하고자 하는 부등식이 증명된다. 등호는 [math]a=b=c[/math]일 때 성립한다.